平稳随机过程讲稿.ppt

《平稳随机过程讲稿.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平稳随机过程讲稿.ppt（44页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、平稳随机过程第一页，讲稿共四十四页哦6.1 平稳平稳随机过程的概念随机过程的概念 定义定义6.1 设设 X(t)，t T 是是随机过程，随机过程，对任意常数对任意常数 和正整数和正整数n，t1,t2,tn T,t1+,t2+,tn+T，若若(X(t1),X(t2),X(tn)与与 (X(t1+),X(t2+),X(tn+)有相同的联合分布，则称有相同的联合分布，则称 X(t)，t T 为为严平稳过程严平稳过程，也称，也称狭义平稳过程狭义平稳过程。第二页，讲稿共四十四页哦6.1 平稳平稳随机过程的概念随机过程的概念 定义定义6.2 设设 X(t)，t T 是是随机过程，随机过程，并满足：并满足：

2、(1)(1)X(t)，t T 是二阶矩过程；是二阶矩过程；(2)(2)对任意对任意t T，mX(t)=EX(t)=常数；常数；(3)(3)对任意对任意s,t T，RX(s,t)=EX(s)X(t)=RX(t-s)，则称则称 X(t)，t T 为为宽平稳过程宽平稳过程，也称，也称广义平稳过程广义平稳过程，简称，简称平稳过程平稳过程。若若T为离散集，为离散集，称称平稳过程平稳过程 Xn，n T 为为平稳序列平稳序列。第三页，讲稿共四十四页哦6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 宽平稳过程宽平稳过程 严平稳过程严平稳过程 严平稳过程严平稳过程 宽平稳过程宽平稳过程 严平稳过程严平稳过

3、程 宽平稳过程宽平稳过程正态过程正态过程二阶矩存在二阶矩存在第四页，讲稿共四十四页哦6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 设设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),t0，且，且Y,Z相互独立，相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2，试讨论随机过程，试讨论随机过程X(t),t0的平稳性的平稳性。解解 0)sin()cos()sin()cos()()(EZtEYttZtYEtEXtmX )()(),(tXsXEtsRX)sin()cos()(sin()cos(tZtYsZsYE 第五页，讲稿共四十四页哦6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念)cos()sin()

4、sin()cos()cos()sin()sin()(sin)cos()cos()()sin()sin()()(sin)()cos()cos()sin()sin()(sin)cos()cos()(sin)cos()cos(2222222sttstsDZtsEYEZtsDYtsZEtsYZEtsYEtsZtsYZtsYZtsYtsE所以所以 X(t)，t T 为宽平稳过程。为宽平稳过程。第六页，讲稿共四十四页哦6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 设设Xn,n=0,1,2,是实的互不是实的互不相关随机变量序列，且相关随机变量序列，且EXn=0，DXn=2，试讨论随机序列的平稳性，试

5、讨论随机序列的平稳性。解解 因为因为EXn=0，所以所以Xn,n=0,1,2,是平稳随机序列。是平稳随机序列。2000XnnR(n,n)E X X,第七页，讲稿共四十四页哦6.1 6.1 平稳随机过程的概念平稳随机过程的概念 设状态连续、时间离散的随机过设状态连续、时间离散的随机过程程X(t)=sin(2 t)，其中，其中 是是(0,1)上的均上的均匀分布随机变量，匀分布随机变量，t只取整数值只取整数值1,2,，试讨论随机过程试讨论随机过程X(t)的平稳性的平稳性。解解0)2sin()()2(sin)2sin()(10dtdfttEtXE第八页，讲稿共四十四页哦6.1 6.1 平稳随机过程的概

6、念平稳随机过程的概念 所以所以X(t)是平稳过程。是平稳过程。0,00,21)2(2)2(2sin2)2(sin21)2(2cos)2cos(21)(2sin)2sin()()(),(101010ttdtdtttXtXEttRX第九页，讲稿共四十四页哦6.2 联合平稳联合平稳随机过程随机过程 定义定义6.4 设设 X(t)，t T 和和 Y(t)，t T 是两个平稳是两个平稳过程，若它们的互相关函数过程，若它们的互相关函数EX(t)Y(t-)及及EY(t)X(t-)仅与仅与 有关，有关，而与而与t无关，即无关，即 RXY(t,t-)=EX(t)Y(t-)=RXY()RYX(t,t-)=EY(t

7、)X(t-)=RYX()则称则称X(t)和和Y(t)是是联合平稳随机过程联合平稳随机过程。第十页，讲稿共四十四页哦6.2 6.2 联合平稳随机过程联合平稳随机过程 命题：当命题：当X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程 时，时，W(t)=X(t)+Y(t)是平稳随机过程。是平稳随机过程。事实上，事实上，EW(t)=EX(t)+EY(t)=常数，常数，)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(WYYXXYXRRRRRtYtYEtXtYEtYtXEtXtXEtYtYtXtYtYtXtXtXEtYtXtYtXEtWt

8、WE第十一页，讲稿共四十四页哦6.2 6.2 联合平稳随机过程联合平稳随机过程 设设X(t)=Asin(t+)，Y(t)=Bsin(t+-)为两个平稳过程，为两个平稳过程，其中其中A,B,是常数，是常数，是是(0,2)上的均匀分布随机变量，上的均匀分布随机变量，证明：证明：X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程。证明：证明：第十二页，讲稿共四十四页哦6.2 6.2 联合平稳随机过程联合平稳随机过程)()cos(21)22cos()cos(21220 XYRABdtAB 2021)sin()sin()sin()sin()()(),(dttABtBtAEtYtXEttRXY第十三

9、页，讲稿共四十四页哦6.2 6.2 联合平稳随机过程联合平稳随机过程)()cos(21)22cos()cos(21220 YXRABdtAB 2021)sin()sin()sin()sin()()(),(dttABtAtBEtXtYEttRYX所以所以X(t)和和Y(t)是联合平稳随机过程是联合平稳随机过程。第十四页，讲稿共四十四页哦6.3 随机分析简介随机分析简介 微积分中普通函数的连续、导数和积分微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析积分上即随机分析第十五页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析

10、简介 定义定义6.5 设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn和二和二阶矩随机变量阶矩随机变量X，若有，若有 成立，则称成立，则称Xn均方收敛均方收敛于于X。记作记作 或或0|lim2XXEnnXXnnl.i.mXXnm.s(mean square)(limit in mean)第十六页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.1（柯西收敛定理）（柯西收敛定理）二阶矩随机序列二阶矩随机序列Xn收敛于二阶矩随机收敛于二阶矩随机变量变量X的充要条件是的充要条件是0|lim2,mnmnXXE第十七页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.

11、2 设设Xn,Yn,Zn,都是二阶矩随都是二阶矩随机序列，机序列，U是二阶矩随机变量，是二阶矩随机变量，cn为常为常数序列，数序列，a,b,c为常数，令为常数，令 则则(1)(2)(3),l.i.mXXnn,l.i.mYYnn,l.i.mZZnnccnnlimcccnnnnliml.i.mUUnl.i.mcUUcnnl.i.m第十八页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介(4)(5)(6)bYaXbYaXnnnl.i.mnnnnXEEXEXl.i.mlimnnnnnnnYXEXYEYXEl.i.ml.i.mlim222l.i.mlimnnnnXEXEXE第十九页，讲稿共四十

12、四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.3 设设Xn 为二阶矩随机序列，为二阶矩随机序列，则则Xn均方收敛的充要条件是下列极限均方收敛的充要条件是下列极限存在存在mnmnXXE,lim第二十页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定义定义6.6 设有二阶矩过程设有二阶矩过程X(t),t T，若，若对每一个对每一个t T，有，有 则称则称X(t)在在t点均方连续，记作点均方连续，记作 若对若对T中的一切点都均方连续，则称中的一切点都均方连续，则称X(t)在在T上上均方连续均方连续。0|)()(|lim20tXhtXEh)()(l.i.m0tXhtXh第二

13、十一页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.4（均方连续准则）（均方连续准则）二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，在，在t点均方连续点均方连续的充要条件为相关函数的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)处连续。处连续。推论推论 若相关函数若相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上连续，则它在上连续，则它在T T上连续。上连续。),(),(),(),(|)()(|2ttRthtRhttRhthtRtXhtXEXXXX 第二十二页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定义定义6.7 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t

14、 T，若存在，若存在随机过程随机过程X(t)，满足，满足 则称则称X(t)在在t点点均方可微均方可微，记作记作 并称并称X(t)为为X(t)在在t点的点的均方导数均方导数。0)()()(lim20tXhtXhtXEhhtXhtXdttdXtXh)()(l.i.m)()(0第二十三页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 若若X(t)在在T上每一点均方可微，则称上每一点均方可微，则称X(t)在在T上均方可微。上均方可微。类似地可定义二阶均方导数类似地可定义二阶均方导数 相关函数相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义为的广义二阶导数定义为htXhtXdttXdtXh)()

15、(l.i.m)()(0 21212212121122110021212),(),(),(),(lim),(21hhttRhttRhhthtRhthtRttttRXXXXhhX第二十四页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.5（均方可微准则）（均方可微准则）二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，在，在t点均方可微点均方可微的充要条件为相关函数的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)的广义二阶导数存在。的广义二阶导数存在。推论推论1 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T 在在T上均方上均方可微的充要条件为相关函数可微的充要条件为相关函数RX(t1,

16、t2)在在(t,t)，t T上每一点广义二阶可微。上每一点广义二阶可微。推论推论2 若相关函数若相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一点广义二阶可微，则上每一点广义二阶可微，则第二十五页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介)()(),(),()4()()()()(),()3()()()()(),()2()()()()1(),(,),(,),(,)(211221221212211212212112112121212221121tXtXEttttRttttRtXtXEttXtXEtttRtXtXEttXtXEtttRtXEdttdEXdttdmTTttttRt

17、ttRtttRTdttdmXXXXXXXXX上存在，并且有上存在，并且有在在上上在在第二十六页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 均方积分均方积分 设设X(t),t T为二阶矩过程，为二阶矩过程，f(t)为普通函为普通函数，其中数，其中T=a,b，用一组分点将，用一组分点将T划分如划分如下：下：a=t0t1tn=b，),2,1(,)()(,max11111nittttttXtfSttiiiniiiiinniini其中其中作和式作和式记记第二十七页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介定义定义6.8 如果当如果当 n0时，时，Sn均方收敛于均方收敛于S

18、，即，即 ，则称在区间，则称在区间a,b上上均方可积均方可积，并记为，并记为0|lim20SSEnn)()(l.i.m )()(110iiiniibatttXtfdttXtfSn第二十八页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.6（均方可积准则）（均方可积准则）f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条上均方可积的充要条件为件为 存在，存在，特别地，二阶矩过程特别地，二阶矩过程X(t)在区间在区间a,b上上均方可积的充要条件为均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在在a,b a,b上可积。上可积。babaXdtdtttRtftf212121),()()

19、(第二十九页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.7 设设 f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可上均方可积，则有积，则有(1)(2)babababadttEXdttXEdttEXtfdttXtfE)()()()()()(特特别别地地有有 babaXbababaXbabadtdtttRdttXEdtdtttRtftfdttXtfdttXtfE21212212121222111),()(),()()()()()()(特特别别地地有有第三十页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 定理定理6.8 设二阶矩过程设二阶矩过程X(t),t T 在

20、区在区间间a,b上均方连续，则上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程在均方意义下存在，且随机过程Y(t),t T在区间在区间a,b上均方可微，有上均方可微，有Y(t)=X(t)。推论推论 设设X(t)均方可微，且均方可微，且X(t)均方连续均方连续，则，则)(,)()(btadXtYta batadXaXbXdXaXtX )()()()()()(特别地有特别地有第三十一页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 设设 X(t),t T 是实均方可微过程是实均方可微过程，求其导数过程，求其导数过程X(t),t T的协方差函的协方差函数数BX (s,t)。解解 由定理由定理6

21、.5推论推论2(1)由定理由定理6.6推论推论2(4)()()()(tmtXEdttdEXdttdmXX),()()(),(2tsRtXsXEtstsRXX第三十二页，讲稿共四十四页哦6.3 6.3 随机分析简介随机分析简介 tstsBtmsmtsRtsdttdmdssdmtstsRtmsmtsRtmsmtXsXEtmtXsmsXEtsBXXXXXXXXXXXXXXX),()()(),()()(),()()(),()()()()()()()()(),(222所以所以第三十三页，讲稿共四十四页哦6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 定义定义6.9 设设 X(t),-t 是均方连续是均方连续的

22、平稳过程，则的平稳过程，则时间均值时间均值时间相关函数时间相关函数dttXTtXTTT)(21l.i.m)(dttXtXTtXtXTTT)()(21l.i.m)()(第三十四页，讲稿共四十四页哦6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 定义定义6.10 设设 X(t),-t 是均方连是均方连续的平稳过程，续的平稳过程，若若 则称平稳过程的则称平稳过程的均值具有遍历性均值具有遍历性；若若 则称平稳过程的则称平稳过程的相关函数具有遍历性相关函数具有遍历性。XTTTmtXEdttXT)()(21l.i.m1.Pr)()()(21l.i.m1.Pr XTTTRdttXtXT第三十五页，讲稿共四

23、十四页哦6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 定义定义6.11 如果均方连续的平稳过程如果均方连续的平稳过程X(t),-t 的均值和相关函数都具有的均值和相关函数都具有遍历性，则称该遍历性，则称该平稳过程具有遍历性平稳过程具有遍历性。设随机相位过程设随机相位过程X(t)=acos(t+)，a,为常数，为常数，为服从为服从(0,2)上均匀分上均匀分布的随机变量，讨论布的随机变量，讨论X(t)的的遍历性。遍历性。解解021)cos()(20 dtatXE第三十六页，讲稿共四十四页哦6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 故均值遍历从而有,0)()(0cossin22l.i.m

24、0)sin()sin(2l.i.m)cos(21l.i.m)(1.Pr1.Pr1.PrtXEtXTTaTTTadttaTtXTTTTT第三十七页，讲稿共四十四页哦6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性)()cos(2)cos()cos(2)cos()cos(),(2202 XXRadttatataEttR第三十八页，讲稿共四十四页哦6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性)cos(222cos2sin22l.i.m)cos(22)22sin()22sin(2l.i.m )cos(2)22cos()cos(212l.i.m)cos()cos(21l.i.m)()(21.Pr22

25、222aTTaaTTTaadttTadttataTtXtXTTTTTTTT）（）（第三十九页，讲稿共四十四页哦6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 讨论讨论随机过程随机过程X(t)=Y的的遍历性，其遍历性，其中中Y是方差不为零的随机变量。是方差不为零的随机变量。解解 X(t)=Y是平稳过程，因为是平稳过程，因为 EX(t)=EY=常数，常数，。历历的的所所以以随随机机相相位位过过程程是是遍遍故故相相关关函函数数遍遍历历从从而而有有,),()()(1.Pr XRtXtX12211212TTTPr.TTTPr.XX(t)l.i.mYdtYTX(t)EX(t)X(t)X(t)l.i.mY

26、dtYTX(t)X(t)R()X(t)Y故均值不具有遍历性故相关函数不具有遍历性随机过程不具有遍历性12211212TTTPr.TTTPr.XX(t)l.i.mYdtYTX(t)EX(t)X(t)X(t)l.i.mYdtYTX(t)X(t)R()X(t)Y故均值不具有遍历性故相关函数不具有遍历性随机过程不具有遍历性故均值不具有遍历性。第四十页，讲稿共四十四页哦6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 12211212TTTP r.TTTP r.XX(t)l.i.mY d tYTX(t)E X(t)X(t)X(t)l.i.mYd tYTX(t)X(t)R()X(t)Y 故均值不具有遍历性

27、故相关函数不具有遍历性随机过程不具有遍历性XR(t,t)E(X(t)X(t)22XEY DYEY R()常数第四十一页，讲稿共四十四页哦6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性定理定理6.10 对于均方连续平稳过程对于均方连续平稳过程X(t),-t ，均值遍历的充要条件是，均值遍历的充要条件是0|)(2|121lim222dmRTTTTXXT)(D|)(2|121lim222tXdmRTTTTXXT22|)(E|)(|E)(D tXtXtXdRTTdtdttXtXTEdttXdttXTEdttXTmi lEtXETTXTTTTTTTTTTTTTT 2221212222)(2|121lim)()(41lim)()(41lim|)(21.|)(|第四十二页，讲稿共四十四页哦dmTTmtXEdRTTtXETTXTXTTXT22222222|2|121lim|)(|)(2|121lim|)(|第四十三页，讲稿共四十四页哦6.4 6.4 平稳过程的遍历性平稳过程的遍历性 定理定理6.11 对于均方连续平稳过程对于均方连续平稳过程X(t),-t ，相关函数各态历经的充要条，相关函数各态历经的充要条件是件是 其中其中0)()(2|121lim122211dRBTTTTXT)()()()()(111 tXtXtXtXEB第四十四页，讲稿共四十四页哦