弹性力学空间问题有限元法讲稿.ppt

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1、弹性力学空间问题有限元法第一页，讲稿共十九页哦 当分析结构的形状、尺寸和边界条件不具备某种特殊性时，当分析结构的形状、尺寸和边界条件不具备某种特殊性时，这种结构便属于空间问题。这时结构内的任一点这种结构便属于空间问题。这时结构内的任一点i都具有三个位都具有三个位移分量，即移分量，即 Tiiiiwvuq TxyzxyyzzxTuvwuvvwwuxyzyxzyxz和六个应变分量和六个应变分量以及六个应力分量以及六个应力分量 TxyzxyyzzxD以上以上15个分量都是空间坐标（个分量都是空间坐标（x，y，z）的函数。）的函数。第二页，讲稿共十九页哦空间问题：规模大、网格划分困难，网格划分占有较长时

2、间。空间问题：规模大、网格划分困难，网格划分占有较长时间。分析这类结构时要充分利用求解问题的特点（对称性、相似性和分析这类结构时要充分利用求解问题的特点（对称性、相似性和重复性等），尽量减少有限元模型规模。重复性等），尽量减少有限元模型规模。有些结构可以先近似为轴对称问题或平面问题进行粗算，然后再有些结构可以先近似为轴对称问题或平面问题进行粗算，然后再按空间问题求解。按空间问题求解。第三页，讲稿共十九页哦工程中的绝大部分结构都属于空间问题工程中的绝大部分结构都属于空间问题这类结构的几何模型为三维实体模型，网格划分时可采用这类结构的几何模型为三维实体模型，网格划分时可采用四面体、五面体和六面体形

3、式的空间实体单元。四面体、五面体和六面体形式的空间实体单元。第四页，讲稿共十九页哦第二节第二节 空间问题有限元法空间问题有限元法第五页，讲稿共十九页哦一、结构离散一、结构离散在空间结构的离散中，常用的单元是四节点四面体单元。在空间结构的离散中，常用的单元是四节点四面体单元。zyxOpupvpwpmumvmwmiuiviwijujvjwj第六页，讲稿共十九页哦1、位移函数、位移函数四面体单元，其节点为四面体的四面体单元，其节点为四面体的4个顶点，节点坐标分别为个顶点，节点坐标分别为i（xi,yi,zi），），j（xj,yj,zj），m（xm,ym,zm），p（xp,yp,zp）。每个节点有。每个

4、节点有3个位移分量，个位移分量，即三个自由度，一个单元共有即三个自由度，一个单元共有12个自由度。个自由度。二、单元分析二、单元分析单元的位移列阵为单元的位移列阵为 Tpppmmmjjjiiiewvuwvuwvuwvu第七页，讲稿共十九页哦假设单元的位移函数为线性函数假设单元的位移函数为线性函数123456789101112uxyzvxyzwxyz121110987654321,iijjmmppi ijjm mppiijjmmppuN uN uN uN uvN vN vN vN vwN wN wN wN w将将4个节点的坐标值和位移分量分别代入上式，即可求得待定系数个节点的坐标值和位移分量分别

5、代入上式，即可求得待定系数 ，然后用形函数表达，然后用形函数表达第八页，讲稿共十九页哦单元的位移可写成单元的位移可写成 eTNwvu ijmpNN IN IN IN IijmpNNNN、式中式中称为形函数矩阵。其中称为形函数矩阵。其中I是三阶单位矩阵；是三阶单位矩阵；称为形函数，称为形函数，VzdycxbaNVzdycxbaNVzdycxbaNVzdycxbaNiiiiiiiiiiiiiiiiiiii6/6/6/6/iiiiabcd、系数为已知，系数为已知，V的四面体的体积。的四面体的体积。第九页，讲稿共十九页哦2.单元应变矩阵单元应变矩阵0000001,06000lllllllllbcdBl

6、i j m pcbVddb知道单元内各点的位移后，就可确定单元内任一点的应变，位移表达式代入知道单元内各点的位移后，就可确定单元内任一点的应变，位移表达式代入几何方程式，得几何方程式，得式中各矩阵元素为已知，应变矩阵式中各矩阵元素为已知，应变矩阵B是常量矩阵，因此这类单元是常应变是常量矩阵，因此这类单元是常应变单元。单元。应变矩阵应变矩阵B epmjieTTzxyzxyzyxBBBBBzuxwxwzvxvyuzwyvxu第十页，讲稿共十九页哦3.单元应力矩阵单元应力矩阵11A 11111132222226,000lllllllllllllllllbAcAbAbcAdAbAcdASD Bli j

7、 m pA cA bVA dA cA dA b由物理方程，得由物理方程，得式中式中S为应力矩阵，也是常数矩阵。为应力矩阵，也是常数矩阵。2122 1A3136 112EA epmjieeSSSSSBDD第十一页，讲稿共十九页哦4.单元刚度矩阵单元刚度矩阵由虚位移原理推导出单元的刚度方程由虚位移原理推导出单元的刚度方程 TeB TVkBDB dxdydzDB V 1233456789,eTrkkkAkBDB Vkkkr si j m pVkkk写成分块矩阵形式为写成分块矩阵形式为式中，单元刚度是由节点坐标和材料弹性常数确定的，它是一个常数矩阵。式中，单元刚度是由节点坐标和材料弹性常数确定的，它是

8、一个常数矩阵。第十二页，讲稿共十九页哦三、总刚集成三、总刚集成 将每个单元在总体坐标系中的刚度矩阵进行叠加将每个单元在总体坐标系中的刚度矩阵进行叠加，便可得到结构的总刚度矩阵。，便可得到结构的总刚度矩阵。第十三页，讲稿共十九页哦四、载荷移置四、载荷移置 作用在结构的各类载荷同样需要移置为等效作用在结构的各类载荷同样需要移置为等效的节点载荷，移置方法与平面问题相同。的节点载荷，移置方法与平面问题相同。1、集中力的移置、集中力的移置 设作用在单元上的集中力为设作用在单元上的集中力为 TczcycxcpppP cTeeeeeijmpPRRRRR ,ellccRNPli j m p cP由由 移置后产

9、生的等效节点载荷为移置后产生的等效节点载荷为根据第二章介绍的方法，上式各矩阵元素的表达式为根据第二章介绍的方法，上式各矩阵元素的表达式为lcN式中式中 是形函数在载荷作用点处的值。是形函数在载荷作用点处的值。第十四页，讲稿共十九页哦2、表面力的移置、表面力的移置 设作用在单元上的表面力为设作用在单元上的表面力为 TssxsyszPppp sTeeeeeijmpPRRRRR,ellsSRNP dAli j m p sP由由 移置后产生的等效节点载荷为移置后产生的等效节点载荷为则有则有lN式中式中 是形函数在载荷作用点处的值。是形函数在载荷作用点处的值。第十五页，讲稿共十九页哦 eneeeRRn为

10、单元数量 csveeeePPPRRRR因此，由各类载荷移置产生的单元总的等效节点载荷列阵为因此，由各类载荷移置产生的单元总的等效节点载荷列阵为由此可求出整个结构的节点载荷列阵，由此可求出整个结构的节点载荷列阵，第十六页，讲稿共十九页哦3、体积力的移置、体积力的移置 设作用在单元上的表面力为设作用在单元上的表面力为 TvvxvyvzPppp vTeeeeeijmpPRRRRR,ellvVRNP dVli j m p vP由由 移置后产生的等效节点载荷为移置后产生的等效节点载荷为则有则有 csveeeePPPRRRR因此，由各类载荷移置产生的单元总的等效节点载荷列阵为因此，由各类载荷移置产生的单元总的等效节点载荷列阵为第十七页，讲稿共十九页哦五、约束处理和求解线性方程组五、约束处理和求解线性方程组 第十八页，讲稿共十九页哦ANSYS 算例算例 4-1第十九页，讲稿共十九页哦