矩阵的标准型.ppt

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1、关于矩阵的标准型现在学习的是第1页，共59页现在学习的是第2页，共59页 定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 的多项式的多项式那么我们称那么我们称 为为 的的矩阵多项式矩阵多项式。Ax1110()nnnnf xa xaxa xa1110()nnnnf Aa AaAa Aa En nAC现在学习的是第3页，共59页现在学习的是第4页，共59页现在学习的是第5页，共59页110c(),nnnEAaa 则则 c(A)=An+an-1An-1+a0E=0。对于一般的对于一般的n阶矩阵组成的集合，需要取出阶矩阵组成的集合，需要取出n2+1个才能个才能保证是线性相关的。保证是线性相关的。但是对于矩

2、阵序列但是对于矩阵序列I,A,A2,A3，按顺序取到第，按顺序取到第n+1个时，个时，An一定可以被前面的矩阵线性表出。一定可以被前面的矩阵线性表出。则则 An=-an-1An-1-a0E现在学习的是第6页，共59页现在学习的是第7页，共59页现在学习的是第8页，共59页现在学习的是第9页，共59页现在学习的是第10页，共59页现在学习的是第11页，共59页定理现在学习的是第12页，共59页现在学习的是第13页，共59页现在学习的是第14页，共59页现在学习的是第15页，共59页12A00AA设矩阵 为一个准对角矩阵A=112212,AmAmAmm并设 的最小多项式为的最小多项式为则 的最小多

3、项式为和的最小公倍数定理1rAA=A现在学习的是第16页，共59页现在学习的是第17页，共59页现在学习的是第18页，共59页例aaaaaaaaa11,01,式：求下列矩阵的最小多项现在学习的是第19页，共59页现在学习的是第20页，共59页现在学习的是第21页，共59页现在学习的是第22页，共59页现在学习的是第23页，共59页i 1dimisVni 1i 1dimissiVpndim=iiiVqp现在学习的是第24页，共59页现在学习的是第25页，共59页现在学习的是第26页，共59页定理定理：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几

4、何重数。每一个特征值的代数重数等于其几何重数。AnnA 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。1()()ispiifVVC 设：的特征多项式是，则下述条件是等价的：是可对角化的；f.1;dim.2ipVii，sVVVV21.31212-1=rpprpEEP APE综合综合4.iip有 个线性无关的特征向量现在学习的是第27页，共59页现在学习的是第28页，共59页现在学习的是第29页，共59页 现在学习的是第30页，共59页现在学习的是第31页，共59页现在学习的是第32页，共59页Jordan标准型标准型定理定理5：设：设A是是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵阶复矩阵，则必存在可逆矩

5、阵S，使得，使得 1s1diag,(),.,()SASJJJ 其中其中 1,s是是A的互不相同的特征值，的互不相同的特征值，1()diag(),.,(),1,.,iiiqiJJJis 1(),1,.,1jjinnijiiiJCjq 111.iqssjiijinpn而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。1()()ispiiC 即且且现在学习的是第33页，共59页现在学习的是第34页，共59页JordanJordan矩阵的结构与几个结论矩阵的结构与几个结论:Jordan Jordan块的个数块的个数 k k是线性无关特征向量的个数是线性无关特征向量的个

6、数;矩阵可对角化矩阵可对角化,当且仅当当且仅当s s=n n;(3)(3)相应于一个已知特征值相应于一个已知特征值 的的JordanJordan块的个数块的个数是该是该特征值的特征值的几何重数几何重数 ,它是相应的特征子空间的维数它是相应的特征子空间的维数,相应于一个相应于一个 的所有的所有JordanJordan块的块的阶数之和阶数之和是该特征值的是该特征值的代数重数代数重数 .特征值特征值 的几何重的几何重数数 代数重数代数重数(4)(4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.iq1iqjijnp iqipi i i J的对角元素给出了特征值的信息。的对

7、角元素给出了特征值的信息。现在学习的是第35页，共59页22 122 12 12J 222 122 12J 现在学习的是第36页，共59页推论：推论：设设n nAC,则下列命题等价：则下列命题等价：(1)是是可可对对角角化化矩矩阵阵A;(2)存在由 的特征值向量构成的一组基底。存在由 的特征值向量构成的一组基底。nCA(3)A 的的Jordan标准形中的标准形中的 Jordan块都是一阶的。块都是一阶的。(4)1 2iiqp(i,r)12121=rpprpEEP APE现在学习的是第37页，共59页推论推论：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一个可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的

8、代数重数等于其几何重数。特征值的代数重数等于其几何重数。AnnA 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。1()()ispiiAC 设方阵 的特征多项式是，则下述条件是等价的：可相似对角化；A.1;dim.2iipqVii，sVVVV21.312121=rpprpEEP APE综合：综合：4.iip有 个线性无关的特征向量()0iiVXAE X特征子空间现在学习的是第38页，共59页 121112121=,sqqssqP，iipqViidim，相似矩阵相似矩阵P的求法的求法现在学习的是第39页，共59页 1s1diag,(),.,()SASJJJ 定理定理5 5：1,s是是n n阶复

9、矩阵阶复矩阵A A的的互不相同的特征值，互不相同的特征值，1()diag(),.,(),1,.,iiiqiJJJis 1(),1,.,1jjinnijiiiJCjq 111.iqssjiijinpn1()()ispiiC 即且且(1)则必存在可逆矩阵则必存在可逆矩阵S，使得，使得则下面是等价的则下面是等价的 2.dim，iiiiVqp现在学习的是第40页，共59页 3iiq有 个线性无关的特征向量 124()0isipiVRRRRAE()0iipiiRAEA是 的关于 的根子空间 则则V V 上必然存在一个线性变换上必然存在一个线性变换T T，使得，使得T()iiRR亦即亦即 中必然存在一组基

10、中必然存在一组基(个个)，使得使得T在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为iR 1()diag(),.,(),1,.,iiiqiJJJis 1(),1,.,1jjinnijiiiJCjq ip现在学习的是第41页，共59页 1112111111211=,sssqqppssqsqspS，dim，iiiiVqp相似矩阵相似矩阵S的求法的求法现在学习的是第42页，共59页五五.Jordan标准型与最小多项式的关系标准型与最小多项式的关系设设A是是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得，使得 1s1diag,(),.,()SASJJJ 其中其中 1,s是是A的互不相同的特征值，的

11、互不相同的特征值，1()diag(),.,(),1,.,iiiqiJJJis 1(),1,.,1jjinnijiiiJCjq 111.iqssjiijinpn1()()ispiiC 即且且1maxiiij qrn 则则A的最小多项式为：的最小多项式为：1()()isriim.iiAJordanJordanr的标准形中以 为主对角元的块的最高阶数为现在学习的是第43页，共59页 12 112=2 122 12JJJ 122 122 12J 5()(1)(2)C31()(1)(2)m22()(1)(2)m 122 1222=2 122 12JJJ现在学习的是第44页，共59页块的块数为：阶为主对角

12、元的标准形中以的的特征值。则阶方阵是矩阵设JordankJordanAAn00。其中，EAB0六六.Jordan标准型的确定标准型的确定 Jordan Jordan标准型标准型 的两个关键要素：的两个关键要素：JordanJordan块的阶数与块数块的阶数与块数 1210110b2()()b()2()(),2kkkknr Br Br Br Br Bk 波尔曼波尔曼定理定理:Jordan:Jordan标准型标准型唯一性原理成立在计算中，若对某个0k00+1()=()kkr Br B，0k则约当块的最高阶即为块总块数为：的关于Jordan01()nr B 现在学习的是第45页，共59页例 323(

13、)(1),()1,()0,()=0ACrAErAErAEAJ o r d a n已 知 矩 阵的 特 征 多 项 式 是且求的标 准 形。11 11J P82 例2.3.6,2.3.7 现在学习的是第46页，共59页例 423()(2),(2)4,(2)3,(2)3Cr AEr AEr AE现在学习的是第47页，共59页定理定理5spsppAIc)()()()(2121)(J)(J)(JJssA2211)(iiiiJSAS波尔曼定理波尔曼定理现在学习的是第48页，共59页1)()()(0)(232jjnniiiiyyEAyyEAyEAEA现在学习的是第49页，共59页例例6 p77 2.3.3现在学习的是第50页，共59页现在学习的是第51页，共59页现在学习的是第52页，共59页现在学习的是第53页，共59页例例9 证明：若证明：若A的所有特征值是的所有特征值是 1,n，则，则Am的所有特的所有特征值是征值是 1m,nm。(1)(1)()!0()lklkkkklclklclk当当现在学习的是第54页，共59页现在学习的是第55页，共59页现在学习的是第56页，共59页现在学习的是第57页，共59页现在学习的是第58页，共59页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第59页，共59页