极坐标系方程.ppt

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1、关于极坐标系方程现在学习的是第1页，共27页从这向南从这向南50005000米。米。请问：去万里请问：去万里怎么走？怎么走？现在学习的是第2页，共27页请分析上面这句话，他告诉了问路人什么请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从 这 向 南 走从 这 向 南 走 5 0 0 0米！米！出发点出发点方向方向距离距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平面上一点表示平面上一点的位置的思想，就是的位置的思想，就是极坐标极坐标的基本思想。的基本思想。现在学习的是第3页，共27页一、极坐标系的建立：一、极坐标系的

2、建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位再选定一个长度单位和和角度单位角度单位及及它的正方它的正方向向（通常取逆时针方向（通常取逆时针方向）。）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO现在学习的是第4页，共27页二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用，用 表示线段表示线段OM的长度，用的长度，用 表示从表示从OX到到OM 的角度，的角度，叫做点叫做点M的的极径极径，叫做点叫做点M的的极角极角，有序数对，有序数对（，

3、）就叫做就叫做M的极坐标。的极坐标。特别强调：特别强调：表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到极点到极点O的距离；的距离；表示从表示从OX到到OM的角度，即以的角度，即以OX（极轴（极轴）为始边，）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。现在学习的是第5页，共27页平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：特别规定：当当M在极点时，它的极坐在极点时，它的极坐标标=0，可以取任意值。可以

4、取任意值。想一想？想一想？现在学习的是第6页，共27页三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，4请说出点请说出点M的极坐标的其他的极坐标的其他表达式。表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：4 2k+4 ，极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角现在学习的是第7页，共27页四、四、1、负极

5、径的定义、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负在某些必要情况下，极径也可以取负值。值。对于点对于点M（，）负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，使 XOP=2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM=OXP M现在学习的是第8页，共27页OXP=/4M四、四、2、负极径的实例、负极径的实例在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点M（3，/4）的位置的位置1作射线作射线OP，使，使 XOP=/4 2在在OP的反向延长线的反向延长线上取一点上取一点M，使，使 OM=3现在学习的是第9页，共

6、27页四、四、3、负极径的实质、负极径的实质 从比较来看，负极径比正极从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线径多了一个操作，将射线OP“反反向延长向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也可以看成是而反向延长也可以看成是旋转旋转 ，因此，所谓因此，所谓“负极径负极径”实质是实质是管方向管方向的。这与数学中的。这与数学中通常的习惯一致，用通常的习惯一致，用“负负”表示表示“反向反向”。现在学习的是第10页，共27页六、极坐标系下点与它的极坐标的对应六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况情况1给定（给定（,）,就可以在就可以在极极坐标坐标平面内确定唯一的一点平面内确定唯一的一点M。2给定平面

7、上一点给定平面上一点M，但却，但却有无数个极坐标与之对应有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)现在学习的是第11页，共27页一般地一般地,若若(,)是一点的极坐标是一点的极坐标,则则(,+2k)、,+(2k+1)都可以作都可以作为它的极坐标为它的极坐标.如果如果限定限定0,02或或,那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以平面内的点和极坐标就可以一一对应一一对应了了.现在学习的是第12页，共27页曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程f(,)=0有如下关系有如下关系()曲线上任一点的

8、坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中至所有坐标中至少有一个少有一个)符合方程符合方程f(,)=0；()方程方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在的所有解为坐标的点都在曲线上。曲线上。则曲线的方程是则曲线的方程是f(,)=0。现在学习的是第13页，共27页探 究如图，半径为如图，半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标上任意一点的极坐标(,)满足的条件？满足的条件？xC(a,0)O现在学习的是第14页，共27页题组练习题组练习1 1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程()中心在极点，半径为中心在极点，半径为2；()

9、中心在中心在(a,0)，半径为，半径为a；()中心在中心在(a,/2)，半径为，半径为a；()中心在中心在(0,)，半径为，半径为r。2 2acos 2asin 2+0 2-2 0 cos(-)=r2现在学习的是第15页，共27页 极坐标方程分别是极坐标方程分别是cos和和sin的两个圆的圆心距是多少的两个圆的圆心距是多少 22练习练习2现在学习的是第16页，共27页练习3以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为半径为半径的圆的方程是的圆的方程是.2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC现在学习的是第17页，共27页练习4曲线曲线 关于极轴对关于极轴对称的

10、曲线是：称的曲线是：sin5cos35 6 61 10 06 61 10 06 61 10 06 61 10 0cos.Dcos.Ccos.Bcos.AC现在学习的是第18页，共27页例题例题1：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 oMx4 分析：分析：如图，所求的射线如图，所求的射线上任一点的极角都上任一点的极角都是是 ，其，其/4 极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为(0)4 新课讲授新课讲授现在学习的是第19页，共27页1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方

11、程。坐标方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极的直线的极坐标方程。坐标方程。4 544 或或现在学习的是第20页，共27页和前面的直角坐标系里直线方程的表和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，为了弥补这个不足，取全体实数。则取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为上面的直线的极坐标方程可以表示为()4R 或或5()4R 现在学习的是第21页，共27页例题例

12、题2求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极，且垂直于极轴的直线轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点(,)M 为直线为直线L上除点上除点A外的任意外的任意一点，连接一点，连接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。现在学习的是第22页，共27页求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；、据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；(,)M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方

13、程，程，并化简；并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。现在学习的是第23页，共27页练习：设点练习：设点P的极坐标为的极坐标为A ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。(,0)a ll解：如图，设点解：如图，设点(,)M 为直线为直线 上异于的点上异于的点l连接连接OM，oMx A在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina显然显然A点也满点也满足上方程。足上方程。现在学习的是第24页，共27页例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。11(,)lloxMP 1 1 现在学习的是第25页，共27页解：如图，设点解：如图，设点(,)M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知,OMxOM1OP 1xOP 设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则在在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得11sin()sin()11sin()sin()显然点显然点P的坐标也的坐标也是它的解。是它的解。现在学习的是第26页，共27页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第27页，共27页