§5 平面与空间直线.ppt

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1、5 平面与空间直线,一.平面的点法式方程：,1.平面的法向量：与平面垂直的向量称为的法向量， 一个平面的法向量有无穷个。,2.点法式方程：设平面过一定点M0(x0,y0,z0)，且具有 法向量n=A,B,C，则称,A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,为该平面的点法式方程。,例1 已知平面过M0(3,-2,1),且与M0到M1(-2,1,4)的连线垂 直,求其方程。,解：所求平面的一个法向量n=-5,3,3，于是平面方程为,(-5)(x-3)+3(y+2)+3(z-1)=0,整理得 5x-3y-3z+18=0,二.平面的一般式方程：,1.一般式方程：我们称形为Ax+By+Cz+D

2、=0的方程为平面的一般式方程，其中A,B,C为其法向量n.,2.特殊情况：,当D=0时，Ax+By+Cz=0过原点；,当A=0时，By+Cz+D=0平行于x轴，其他类似；,当A=B=0时，Cz+D=0平行于xOy面，其他类似；,例2 求过x轴及点M(1,2,3)的平面方程。,解 因为平面过原点且平行于x轴，易知平面方程形为,By+Cz=0,三.平面的截距式方程：,称形如,的方程为平面的截距式方程。其中a,b,c为平面 在x,y,z轴上的截距。,例3 将x+2y+3z-6=0化为截距式方程。,解：原方程可化为 x+2y+3z=6,在上式两边同除以6得,四. 空间直线的对称式与参数式方程：,1.直

3、线的方向向量：,2.对称式方程：,任一平行于直线l的非零向量称为L的方向向量，一般记为s，一直线的方向向量有无限个。,设已知直线L上一点M0(x0,y0,z0)和它的一个方向向量 s=m,n,p，则该直线的方程为,称为该直线的对称式方程（或称为点向式、标准式方程）。,在上式中，若m=0, 则应理解为,其余类推。若有两个为0，例m=n=0，应理解为,直线的任一方向向量s的坐标m,n,p称为该直线的一组 方向数，而s的方向余弦称为该直线的方向余弦。,3.两点式方程：,过两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的直线的方程为,4.参数式方程：,在直线的对称式方程中令比例系数为t，则得如

4、下参 数方程：,例4 求过点(-2,1,0)且垂直于平面3x-13y-9z-2=0的直线 的对称式方程与参数式方程。,解 显然平面的法向量可以取作直线的方向向量，取 s=3,-13,-9,由对称式知直线方程为,再令上式等于t，便得到直线的参数式方程：,五.空间直线的一般式方程：,空间直线可看作两个平面的交线，设有两个平面,1：A1x+B1y+C1z+D1=0 2：A2x+B2y+C2z+D2=0,则称如下方程组为直线的一般式方程：,例 将 直线L 化成对称式方程,平面 的法向量,L的方向量,求直线L上一点M0(x0,y0,z0),令x0=1,得 Y0=4,z0=4,所求直线L方程为,五 导读,

5、1.两平面的夹角,两平面法向量的夹角,称为两平面的夹角.,若两平面互相垂直,则,若两平面互相平行,则,/,2 两直线间的夹角,3 直线与平面之间的夹角,当直线L与平面不垂直时,直线与平面的夹角规定为直线 与它在平面上的投影直线的夹角.,当 时,直线与平面平行,4 点到平面的距离,设M0(x0,y0,z0) 是平面 Ax+By+Cz+D=0 外一点, 下面求M0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0 的距离.,解:设M1(x1,y1,z1)为平面 上任一点, 为 的法向量, 且过M0点, A,B,C,设M0到 的距离为 ,则,5 平面束方程,两平面决定一条直线L,实际上过L的平面有无穷多个，我们称它为平面束,用 表示,L上的点一定在 和 上，因而也 一定在平面束上，通过L的任意平面 （除 外）都包含在平面束内。,例 求直线L：,在平面 的投影直线方程,解：要求投影直线方程，实际上是求一个与平面,垂直的平面且过L直线,为此，建立平面束方程,由于,代入平面束方程得,所以投影直线方程为,此平面与 的交线即为所求。,例 求通过两平面 和,的交线且与平面 成 角的平面,解 建立过已知两平面交线的平面束方程,其法向量为,而平面 的法向量为,