2022年平面解析几何 .pdf

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1、精品资料欢迎下载平面解析几何圆的方程圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心 (a， b) 半径为 r一般x2y2DxEyF0充要条件： D2 E24F0 圆心坐标： (D2，E2) 半径 r12D2E24F【知识拓展】1确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r 或 D、E、F 的方程组；(3)解出 a、b、 r 或 D、E、 F 代入标准方程或一般方程2点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2 (yb)2r2

2、，点 M(x0，y0) (1)点在圆上： (x0a)2(y0 b)2r2；(2)点在圆外： (x0a)2(y0 b)2r2；(3)点在圆内： (x0a)2(y0 b)20.() (4)方程 x22axy20 一定表示圆() (5)若点 M(x0，y0)在圆 x2y2DxEyF0 外，则 x20y20Dx0Ey0F0.() 1(教材改编 )将圆 x2y22x4y10 平分的直线是() Axy 10 Bxy30 Cxy10 Dxy30 答案C 解析圆心是 (1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足2 已知圆 C：(x3)2 (y4)21 和两点 A(m,0)， B(m， 0)(m0)， 若圆

3、C 上存在点P，使得 APB90 ，则 m 的最大值为 () A7 B 6 C5 D4 答案B 解析根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为 (3,4)，半径 r1，且 |AB|2m. 因为 APB90 ，连接 OP，易知 |OP|12|AB|m. 要求 m 的最大值，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页精品资料欢迎下载即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为 |OC|32425，所以 |OP|max|OC|r6，即 m 的最大值为6. 3(2015 北京 )圆心为 (1,1)且过原点的圆的方程

4、是() A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22 答案D 解析圆的半径r12122，圆的方程为 (x1)2(y1)22. 4(教材改编 )圆 C 的圆心在x 轴上，并且过点A(1,1)和 B(1,3)，则圆 C 的方程为 _答案(x2)2y210 解析设圆心坐标为C(a,0)，点 A(1,1)和 B(1,3)在圆 C 上，|CA|CB|，即a121a 129，解得 a 2，圆心为 C(2,0)，半径 |CA|2 12110，圆 C 的方程为 (x2)2y210. 5(2016 浙江 )已知 aR，方程 a2x2(a2)y24x8y5

5、a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案(2， 4)5 解析由已知方程表示圆，则a2 a2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页精品资料欢迎下载解得 a 2 或 a 1. 当 a2 时，方程不满足表示圆的条件，故舍去当 a 1 时，原方程为x2y24x8y50，化为标准方程为(x2)2(y4)225，表示以 (2， 4)为圆心，半径为5 的圆 . 题型一求圆的方程例 1(1)(2016 天津 )已知圆 C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M(0，5)在圆 C 上，且圆心到直线2xy0的距离为4 55，则圆 C 的方程为

6、 _(2)(2015课标全国 )一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 _答案(1)(x2)2 y2 9(2) x322y2254解析(1)因为圆 C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C(a,0)，且 a0，所以圆心到直线2xy0 的距离 d2a5455，解得 a 2，所以圆C 的半径 r|CM|453，所以圆 C 的方程为 (x 2)2y29. (2)由题意知圆过 (4,0)，(0,2)，(0， 2)三点，(4,0)， (0， 2)两点的垂直平分线方程为y1 2(x2)，令 y0，解得 x32，圆心为32，0 ，半径为52. 思维升华(1)直接法：

7、根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页精品资料欢迎下载若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关， 则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r 的方程组，从而求出a，b， r 的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F 的方程组，进而求出D、E、F 的值(2016 湖北八校联考)已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点A(1,0) ，且被 x 轴分成两段弧，弧长之比为 1 2，则圆 C 的标准方程为

8、_答案x2(y33)243解析圆 C 关于 y 轴对称， 可设 C(0，b)，设圆 C 的半径为r，则圆 C 的标准方程为x2(yb)2 r2，依题意，得12 b2r2，|b|12r，解得r243，b33，于是圆 C 的标准方程为x2(y33)243. 题型二与圆有关的最值问题例 2已知点 (x，y)在圆 (x2)2 (y3)21 上求 xy 的最大值和最小值解设 txy，则 y x t，t 可视为直线y xt 在 y 轴上的截距，xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2 3 t|2

9、1，解得 t21 或 t21. xy 的最大值为21，最小值为21. 引申探究1在本例的条件下，求yx的最大值和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页精品资料欢迎下载解yx可视为点 (x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线的方程为ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k3|k211，解得k 2233或 k 2233.yx的最大值为22 33，最小值为2233. 2在本例的条件下，求x2y22x 4y

10、5的最大值和最小值解x2y22x4y5x12 y22，求它的最值可视为求点(x， y)到定点 (1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2， 3)到定点 (1,2)的距离与半径的和或差又圆心到定点(1,2)的距离为34，x2y22x 4y5的最大值为341，最小值为341. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点 (x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如 uybxa型的最值问题， 可转化为过点 (a，b)和点 (x，y)的直线的斜率的最值问题；形如 taxby 型的最值

11、问题， 可转化为动直线的截距的最值问题； 形如 (xa)2(y b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a， b)的距离平方的最值问题已知实数x，y 满足方程 x2y24x10.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)yx 的最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解(1)如图，方程x2y24x10 表示以点 (2,0)为圆心，以3为半径的圆设yxk，即 ykx，则圆心 (2,0)到直线ykx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页精品资料欢迎下载值由|2k0|k213，

12、解得 k23，kmax3，kmin3. (2)设 y xb，则 yxb，当且仅当直线yxb 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|20b|23，即 b 2 6，故(yx)min 26. (3)x2y2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC，与圆交于B 点，并延长交圆于C，则(x2 y2)max |OC|2(23)2 743，(x2 y2)min|OB|2(23)2743. 题型三与圆有关的轨迹问题例 3(2017 潍坊调研 )已知圆 x2y24 上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点， P，Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)

13、若 PBQ90 ，求线段PQ 中点的轨迹方程解(1)设 AP 的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为 (2x2,2y)因为 P 点在圆 x2 y2 4 上，所以 (2x2)2 (2y)24，故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为N(x， y)，在 RtPBQ 中，|PN|BN|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页精品资料欢迎下载设 O 为坐标原点，连接ON，则 ONPQ，所以 |OP|2|ON|2 |PN|2|ON|2|BN|2，所以 x2y2(x1)2(y1)

14、24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为x2y2xy 10. 思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等(2016 天津模拟 )设定点 M(3,4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以OM、ON 为两边作平行四边形 MONP ，求点 P 的轨迹解如图所示，设 P(x， y)， N(x0， y0)， 则线段 OP 的中点坐标为x2，y2， 线段 MN 的中点坐标为x032，y042.由于

15、平行四边形的对角线互相平分，故x2x032，y2y0 42.从而x0 x3，y0y4.又 N(x3，y4)在圆上，故 (x 3)2(y4)2 4. 因此所求轨迹为圆：(x 3)2(y4)2 4，但应除去两点95，125和 215，285(点 P 在直线 OM 上的情况 )21利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy 中，曲线yx26x1 与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页精品资料欢迎下载(1)一般解法 (代数法

16、 )：可以求出曲线yx26x1 与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式(2)巧妙解法 (几何法 )：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题规范解答解一般解法(代数法 )曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为 (0,1)， 与 x 轴的交点为 (32 2， 0)， (322，0)，设圆的方程是x2y2 DxEyF0(D2 E24F0)，则有1EF0，3 2 22D 322 F0，3 2 22D 322 F0，解得D 6，E 2，F 1，故圆的方程是x2y2 6x2y

17、10. 巧妙解法(几何法 )曲线 yx26x1 与 y 轴的交点为 (0,1)，与 x 轴的交点为 (32 2，0)， (3 2 2，0)故可设 C 的圆心为 (3，t)，则有 32(t1)2 (2 2)2t2，解得 t1. 则圆 C 的半径为32 t123，所以圆 C 的方程为 (x 3)2(y1)2 9. 1(2016 南昌检测 )圆心在 y 轴上，且过点(3,1)的圆与 x 轴相切，则该圆的方程是() Ax2y210y0 Bx2y210y 0 Cx2y210 x0 Dx2y210 x 0 答案B 解析根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r，则 32(r1)2r2，解得 r5，可得圆的

18、方程为x2y210y0. 2(2016 昆明一模 )方程 |x|11 y12所表示的曲线是() A一个圆B两个圆C半个圆D两个半圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页精品资料欢迎下载答案D 解析由题意得|x|12 y121，|x|10，即x12 y121，x1，或x12 y121，x1.故原方程表示两个半圆3若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2 y2 4x2y80 的周长，则1a2b的最小值为 () A1 B5 C42 D 322 答案D 解析由题意知圆心C(2,1)在直线 ax2by 20 上，2a2b

19、20，整理得ab1，1a2b(1a2b)(ab)3ba2ab3 2 ba2ab32 2，当且仅当ba2ab，即 b22，a2 1 时，等号成立1a2b的最小值为322. 4点 P(4， 2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是() A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 答案A 解析设圆上任一点坐标为(x0，y0)，x20y204，连线中点坐标为(x，y)，则2xx042yy02?x02x4，y02y2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页

20、精品资料欢迎下载代入 x20y204 中得 (x2)2 (y 1)21. 5(2016 绵阳诊断 )圆 C 的圆心在y 轴正半轴上， 且与 x 轴相切， 被双曲线 x2y231 的渐近线截得的弦长为3，则圆 C 的方程为 () Ax2(y1)21 Bx2(y3)23 Cx2(y1)21 Dx2(y3)23 答案A 解析依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60 ，结合图形 (图略 )可知，所求的圆 C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x2 (y 1)21. 6(2016 九江模拟 )已知 P 是直线 l：3x4y11 0 上的动点， PA，PB 是圆 x2y22x

21、2y 10 的两条切线 (A，B 是切点 )，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是() A.2 B2 2 C.3 D23 答案C 解析圆的方程可化为(x1)2(y1)21，则 C(1,1)，当|PC|最小时，四边形PACB 的面积最小，|PC|min|3411|3242 2，此时 |PA| |PB|3. 所以四边形PACB 的面积 S212313，故选 C. 7 (2016 南 昌 模 拟 ) 若 圆C经 过 坐 标 原 点 与 点 (4,0) ， 且 与 直 线y 1 相 切 ， 则 圆C 的 方 程 是_答案(x2)2(y32)2254解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经

22、过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m)又因为圆与直线y1 相切，所以22m2|1m|，解之得 m32. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页精品资料欢迎下载所以圆 C 的方程为 (x 2)2(y32)2254. 8过点 P(1,1)的直线，将圆形区域( x，y)|x2y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为 _答案xy20 解析当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件圆心O 与点 P 连线的斜率k 1，所求直线方程为y1 (x1)，即 xy2 0. 9 已知 D 是由不

23、等式组x2y0，x3y0所确定的平面区域， 则圆 x2y24在区域 D 内的弧长为 _答案2解析作出可行域D 及圆 x2y24，如图所示，图中阴影部分所在圆心角 所对的弧长即为所求易知图中两直线的斜率分别为12、13，得 tan 12，tan 13，tan tan( )1213112131，得 4，得弧长l R422(R 为圆的半径 )10(2016 岳阳模拟 )在平面直角坐标系中，O 为原点， A(1,0)，B(0，3)，C(3,0)，动点 D 满足 |CD|1，则|OAOBOD|的最大值是 _答案71 解析设 D(x，y)，由 CD(x3，y)及|CD|1 知(x3)2y21，精选学习资料

24、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页精品资料欢迎下载即动点 D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆， 又OAOBOD(1,0)(0， 3)(x， y)(x 1，y3)，|OAOBOD|x12 y32. 问题转化为圆(x3)2 y21 上的点与点P(1，3)间距离的最大值圆心 C(3,0)与点 P(1，3)之间的距离为312 0327，故x12 y32的最大值为71. 11已知圆C 经过 P(4， 2)，Q(1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为4 3，半径小于5. (1)求直线 PQ 与圆 C 的方程；(2)若直线 lPQ，且

25、 l 与圆 C 交于点 A，B，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程解(1)由题意知直线PQ 的方程为xy20. 设圆心 C(a，b)，半径为r，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y12x32，即 yx1，所以 ba1.由圆 C 在 y 轴上截得的线段的长为4 3，知 r2 12a2，可得 (a1)2(b3)212a2，由 得 a1， b0 或 a5，b4. 当 a1，b0 时， r213，满足题意，当 a5，b4 时， r237，不满足题意故圆 C 的方程为 (x1)2y213. (2)设直线 l 的方程为y xm(m2)，A(x1，mx1)，B(x2，mx2)由题意可知O

26、AOB，即 OA OB0，x1x2(mx1)(mx2)0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页精品资料欢迎下载化简得 2x1x2m(x1x2)m2 0.由y xm，x12y213得2x22(m1)xm2120，x1x2m1，x1x2m2122，代入 ，得 m2 12m (1m) m20，m4 或 m 3，经检验都满足题意，直线 l 的方程为 xy40 或 xy30. 12在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在 x 轴上截得线段长为2 2，在 y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P

27、 点到直线yx 的距离为22，求圆 P 的方程解(1)设 P(x，y)，圆 P的半径为r . 则 y22r2，x23r2. y22x23，即 y2x21. P 点的轨迹方程为y2x21. (2)设 P 点的坐标为 (x0，y0)，则|x0 y0|222，即 |x0y0|1. y0 x0 1，即 y0 x0 1. 当 y0 x01 时，由 y20 x201，得 (x01)2x201. x00，y01，r23. 圆 P 的方程为x2(y1)23. 当 y0 x01 时，由 y20 x201，得 (x01)2x201. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

28、- - -第 14 页，共 15 页精品资料欢迎下载x00，y0 1，r23. 圆 P 的方程为x2(y1)23. 综上所述，圆P 的方程为x2(y 1)23. *13.已知 M 为圆 C： x2 y2 4x14y 450 上任意一点，且点Q( 2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若 M(m，n)，求n3m2的最大值和最小值解(1)由圆 C：x2y24x 14y450，可得 (x2)2(y7)2 8，所以圆心C 的坐标为 (2,7)，半径 r22. 又|QC|2 22 732 4 2. 所以 |MQ|max422262，|MQ|min4 22 22 2. (2)可知n3m2表示直线MQ 的斜率，设直线 MQ 的方程为y3k(x2)，即 kxy2k30，则n3m2k. 由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k72k3|1k22 2，可得 23k23，所以n3m 2的最大值为23，最小值为23. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页