2022年高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的不等式问题试题理 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高考专题突破四高考中的不等式问题试题理 北师大版1正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为( ) A相交B平行C垂直相交D不确定答案B 解析如图取B1C1中点为F，连接EF，DF，DE，则EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA. 2设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：x、y、z均为直线；x、y是直线，z是平面；z是直线，x、y是平面；x、y、z均为平面其中使“xz且yz?xy”为真命题的是( ) A BC D答案C 解析由正方体模型可知为假命题；由线面垂直的性质定理可知

2、为真命题3 (2016成都模拟) 如图是一个几何体的三视图( 左视图中的弧线是半圆) ，则该几何体的表面积是 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页学习必备欢迎下载A203B243C204D244答案A 解析根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中正方体的棱长为2， 半圆柱的底面半径为1， 母线长为 2， 故该几何体的表面积为452 21220 3. 4(2016沈阳模拟) 设 ， 是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：a，b ； a，b ； b，a.如果命题“ a，b

3、， 且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_( 把所有正确的序号填上) 答案或解析由线面平行的性质定理可知，正确；当b，a 时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，正确故应填入的条件为或.5. 如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点若PAAC，PA6，BC8，DF5. 则直线PA与平面DEF的位置关系是_；平面BDE与平面ABC的位置关系是_(填“平行”或“垂直”)答案平行垂直解析因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA. 又因为PA 平面DEF，DE平面DEF，所以直线PA平面DEF. 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA

4、6，BC8，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页学习必备欢迎下载所以DEPA，DE12PA3，EF12BC4. 又因为DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC. 题型一求空间几何体的表面积与体积例 1 (2016全国甲卷) 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位

5、置(1) 证明：ACHD；(2) 若AB5，AC 6，AE54，OD 22，求五棱锥DABCFE的体积(1) 证明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得AEADCFCD，故ACEF，由此得EFHD，折后EF与HD保持垂直关系，即EFHD，所以ACHD.(2) 解由EFAC得OHDOAEAD14. 由AB5，AC6 得DOBOAB2AO24，所以OH1，DHDH3，于是OD2OH2(22)2 129DH2，故ODOH. 由(1) 知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC. 又由EFACDHDO得EF92. 精选学习资料

6、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页学习必备欢迎下载五边形ABCFE的面积S126812923694. 所以五棱锥DABCFE的体积V136942 22322思维升华(1) 若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2) 若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3) 若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相

7、切( 如图) 求：(1) 这个正三棱锥的表面积；(2) 这个正三棱锥内切球的表面积与体积解(1) 底面正三角形中心到一边的距离为1332262，则正棱锥侧面的斜高为12223. S侧31226392. S表S侧S底921232(26)29263. (2) 设正三棱锥PABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页学习必备欢迎下载VPABCVOPABVO PBCVOPACVO ABC13S侧r13SABCr13S表r(3223)r.

8、 又VPABC131232(26)2123，(3223)r23，得r23322323223181262. S内切球4(62)2 (40166) . V内切球43 (62)383(9622) . 题型二空间点、线、面的位置关系例 2 (2016济南模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1) 求证：平面ABE平面B1BCC1；(2) 求证：C1F平面ABE；(3) 求三棱锥EABC的体积(1) 证明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC. 因为AB平面ABC，所以BB1AB. 又因为ABBC，BCBB1B

9、，所以AB平面B1BCC1. 又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1. (2) 证明方法一如图 1，取AB中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FG12AC. 因为ACA1C1，且ACA1C1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习必备欢迎下载所以FGEC1，且FGEC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1FEG. 又因为EG平面ABE，C1F 平面ABE，所以C1F平面ABE. 方法二如图 2，取AC的中点H，连接C1H，FH. 因为H，F分别是AC，B

10、C的中点，所以HFAB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE. (3) 解因为AA1AC 2，BC 1，ABBC，所以ABAC2BC23. 所以三棱锥EABC的体积V13S ABCAA1131231233. 思维升华(1) 证明面面垂直， 将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题证明C1F平面ABE：( ) 利用判定定理，关键是在平面ABE中找 (作 ) 出直线EG，且满足C1FEG

11、.( ) 利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化(2) 计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化如图，在三棱锥SABC中， 平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB. 过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页学习必备欢迎下载求证： (1) 平面EFG平面ABC；(2)BCSA. 证明(1) 由ASAB，AFSB知F为SB中点，则EFAB，FGBC

12、，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC. (2) 由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，则AFBC. 又BCAB，AFABA，则BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA. 题型三平面图形的翻折问题例 3 (2015陕西 ) 如图 1，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD2，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2. (1) 证明：CD平面A1OC；(2) 若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值(1) 证明在题图 1 中，连接EC

13、，因为ABBC1，AD2，BAD2，ADBC，E为AD中点，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四边形BCDE为平行四边形，故有CDBE，所以ABCE为正方形，所以BEAC，即在题图2 中，BEOA1，BEOC，且A1OOCO，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC. (2) 解由已知，平面A1BE平面BCDE，又由 (1) 知，BEOA1，BEOC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页学习必备欢迎下载所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC2. 如图，以O为原点，以OB，OC，OA所在的直线

14、为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B22，0，0 ，E22，0，0 ，A10，0，22，C0，22，0 ，得BC 22，22，0 ，A1C 0，22，22，CDBE ( 2，0,0) ，设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1) ，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2) ，平面A1BC与平面A1CD夹角为 ，则n1BC0，n1A1C0，得x1y10，y1z10，取n1(1,1,1)；n2CD0，n2A1C0，得x20，y2z20，取n2(0,1,1)，从而 cos n1，n223263，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为63.

15、思维升华平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化(2016深圳模拟 ) 如图 (1) ，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如图 (2) 折叠，折痕EFDC. 其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页学习必备欢迎下载(1) 证明：CF平面MDF；(2) 求三棱锥MCDE的体积(1) 证明因

16、为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD. 又因为ABCD是矩形，CDAD，PD与CD交于点D，所以AD平面PCD. 又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF. 又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF. (2) 解因为PDDC，PC 2，CD1，PCD60，所以PD3，由 (1) 知FDCF，在直角三角形DCF中，CF12CD12. 如图，过点F作FGCD交CD于点G，得FGFCsin 60 123234，所以DEFG34，故MEPE334334，所以MDME2DE2334234262. SCDE12DEDC1234138. 故VM CDE13MDS CDE136238216.

17、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页学习必备欢迎下载题型四立体几何中的存在性问题例 4 (2016邯郸第一中学研究性考试)在直棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC1，E，F分别是CC1，BC的中点，AEA1B1，D为棱A1B1上的点(1) 证明：DFAE. (2) 是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由(1) 证明AEA1B1，A1B1AB，AEAB. 又AA1AB，AA1AEA，AB平面A1ACC1. 又AC平面A1ACC1，AB

18、AC. 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有A(0,0,0)，E(0,1 ，12) ，F(12，12，0) ，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)设D(x，y，z)，A1DA1B1，且 (0,1) ，即(x，y，z1)(1,0,0)，则D( ，0,1) ，DF(12，12， 1) AE(0,1 ，12)，DFAE12120，DFAE. (2) 解结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为1414. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页学习必备欢迎下载理由如下：由题意知平面ABC的

19、法向量为m(0,0,1)设平面DEF的法向量为n (x，y，z) ，则nFE 0，nDF 0.FE( 12，12，12) ，DF(12 ，12， 1) ，12x12y12z0，12x12yz0，即x3z，y12z.令z2(1 ) ，则n(3,1 2，2(1 ) 平面DEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为1414，|cos m，n| |mn|m|n|1414，即92221414，解得 12或 74( 舍去 ) ，存在满足条件的点D，此时D为A1B1的中点思维升华(1) 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在， 然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件

20、，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设(2) 对于探索性问题用向量法比较容易入手一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1) 证明：B1C1CE；(2) 求二面角B1CEC1的正弦值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页学习必备欢迎下载(3) 设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的

21、正弦值为26，求线段AM的长(1) 证明如图，以点A为原点，分别以AD，AA1，AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)易得B1C1(1,0 ， 1) ，CE( 1,1 ， 1) ，于是B1C1CE0，所以B1C1CE. (2) 解B1C (1， 2， 1) 设平面B1CE的法向量m(x，y，z) ，则mB1C0，mCE0，即x 2yz 0，xyz0.消去x，得y 2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m( 3， 2,1) 由(1) 知，B1C1CE，又CC1B1C1，

22、CC1CEC，可得B1C1平面CEC1，故B1C1(1,0 ， 1)为平面CEC1的一个法向量于是 cosm，B1C1mB1C1|m|B1C1|4142277，从而 sin m，B1C1217，所以二面角B1CEC1的正弦值为217. (3) 解AE(0,1,0)，EC1(1,1,1)，设EMEC1( ，) ，0 1，有AMAEEM( ， 1，) 可取AB (0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量设 为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos AM，AB| |AMAB|AM|AB|22222322 1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

23、 - - - -第 12 页，共 21 页学习必备欢迎下载于是322126，解得 13( 负值舍去 ) ，所以AM2. 1(2016北京顺义区一模) 如图所示，已知平面平面 l，.A，B是直线l上的两点，C，D是平面 内的两点，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB 8.P是平面 上的一动点，且有APDBPC，则四棱锥PABCD体积的最大值是( ) A48 B 16 C 243 D 144 答案C 解析由题意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC. 因为DA4，CB8，所以PB 2PA. 作PMAB于点M，由题意知，PM . 令AMt(0t0知EHG是锐角，由EHG3

24、0，得 tan EHGtan 30 ，即52k33. 故k的取值范围为k21515. 9( 2016铁岭模拟 ) 如图所示，平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，ACBC4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，BD12AE2，O，M分别为CE，AB的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页学习必备欢迎下载(1) 求证：OD平面ABC；(2) 求直线CD和平面ODM所成角的正弦值；(3) 能否在EM上找一点N，使得ON平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由(1) 证明

25、如图，取AC中点F，连接OF，FB. F是AC中点，O为CE中点，OFEA且OF12EA. 又BDAE且BD12AE，OFDB且OFDB，四边形BDOF是平行四边形，ODFB. 又FB平面ABC，OD平面ABC，OD平面ABC. (2) 解平面ABDE平面ABC，平面ABDE平面ABCAB，DB平面ABDE，且BDBA，DB平面ABC. BDAE，EA平面ABC. 又ABC是等腰直角三角形，且ACBC，ACB90，以C为原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示ACBC4， C(0,0,0)，A(4 ， 0,0) ，B(0,4

26、,0)，D(0,4,2)，E(4,0,4)，O(2,0,2)，M(2,2,0)，CD(0,4,2)，OD( 2,4,0)，MD ( 2,2,2)设平面ODM的法向量为n (x，y，z) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页学习必备欢迎下载则由nOD，nMD，可得 2x4y0， 2x2y2z0.令x2，得y1，z 1，n(2,1,1)设直线CD和平面ODM所成角为，则 sin |nCD|n|CD|，1，4，22121202422266253010. 直线CD和平面ODM所成角的正弦值为3010. (3) 解当N是EM中点时，ON平面ABDE. 由(2) 设N(a，b，c) ，MN(a2，b2，c) ，NE (4 a，b,4c) 点N在ME上，MNNE，即(a2，b2，c) (4a，b,4c)，a 2a，b 2b，c c，解得a42 1，b21，c41.N(421，21，41) BD(0,0,2)是平面ABC的一个法向量，ONBD，412，解得 1. MNNE，即N是线段EM的中点，当N是EM的中点时，ON平面ABDE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页