2022年高三一轮复习平面向量知识点整理 .pdf

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1、- 1 - 平面向量知识点整理1、概念（1）向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度（2）单位向量：长度等于1个单位的向量（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！ （因为有零向量) 三点 A、 B、C共线ACAB、共线（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量（5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是 -a （6）向量表示：几

2、何表示法AB；字母 a 表示；坐标表示：aj（，）. （7）向量的模：设OAauu u rr，则有向线段OAuu u r的长度叫做向量ar的长度或模，记作：|ar. （222222|,|axyaaxyrrr。 ）（8）零向量：长度为0的向量。a Oa O. 【例题】 1.下列命题： （1）若abrr，则abrr。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。 （3）若ABDCuu u ruuu r，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形， 则ABDCuuu ruuu r。 （5）若,ab bcrr rr，则acrr。 （6）若/ , /ab bcrr rr，则/acr

3、r。其中正确的是 _ （答： （4） （5） ）2. 已知,a br r均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|3 |abu u rr_ （答：13） ；2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：abababrrrrrrbrarCabCCuu u ruu u ruu u rrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页- 2 - 运算性质：交换律：abbarrrr；结合律：abcabcrrrrrr；00aaarrrrr坐标运算：设11,ax yr，22,bxyr，则1212,abx

4、xyyrr3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,ax yr，22,bxyr，则1212,abxxyyrr设、两点的坐标分别为11,x y，22,xy，则1212,xxyyu uu r【例题】（1）ABBCCDuuu ruuu ruuu r_；ABADDCuuu ruuu ruuu r_；()()ABCDACBDuuu ruuu ruuu ru uu r_ （答：ADuu u r；CBuu u r；0r） ；（2）若正方形 ABCD的边长为 1，,ABa BCb ACcuuu rr u uu rr uuu rr，则|abcrrr_ （答：2 2）

5、；（3）已知作用在点(1,1)A的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)FFFuu ruu ruu r，则合力123FFFFu ru u ruu ruu r的终点坐标是（答： （9,1） ）4、向量数乘运算：实数与向量 ar的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作araarr；当0时，ar的方向与 ar的方向相同；当0时，ar的方向与 ar的方向相反；当0时，0arr运算律：aarr；aaarrr；ababrrrr坐标运算：设,ax yr，则,ax yxyr【例题】 （1）若 M（-3，-2） ，N （6，-1） ，且1MPMN3，则点 P 的坐标为 _ （答：7( 6,)3） ；5、

6、向量共线定理：向量0a arrr与br共线，当且仅当有唯一一个实数，使barr设11,ax yr，22,bxyr， （0brr）22()(| |)a ba br rrr。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页- 3 - 【例题】 (1) 若向量( ,1),(4, )axbxrr，当x_时ar与br共线且方向相同（答： 2） ；（2）已知(1,1),(4, )abxrr，2uabrrr，2vabrrr，且/uvrr，则 x_ （答： 4） ；6、向量垂直：0| |aba bababrrrrrrrr12120 x xy y.

7、 【例题】 (1) 已知( 1,2),(3,)OAOBmuuu ruuu r，若OAOBuuu ruuu r，则m（答：32） ；（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，90B，则点 B 的坐标是 _ （答： (1,3)或（3，1） ） ；（3）已知( , ),na br向量nmru r，且nmrur，则mur的坐标是 _ （答：( ,)(, )bab a或）7、平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba baboorrrrrrrr零向量与任一向量的数量积为0性质：设ar和br都是非零向量，则0aba brrrr当ar与br同向时，a ba brrrr；当ar

8、与br反向时，a ba brrrr；22a aaar rrr或 aa arr ra ba brrrr运算律：a bb arrrr； aba babrrrrrr； abca cb crrrrr rr坐标运算：设两个非零向量11,ax yr，22,bxyr，则1212a bx xy yrr若,ax yr，则222axyr，或22axyr设11,ax yr，22,bxyr，则abab0 x1x2y1y20.则 abab(b0)x1y2 x2y1.设ar、br都是 非零 向量 ，11,ax yr，22,bxyr，是 ar与 br的夹 角，则121222221122cosx xy ya ba bxyxy

9、rrrr； （注| |a bab?rrrr）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页- 4 - 【例题】（1）ABC 中，3|AB，4| AC，5| BC，则BCAB_ （答： 9） ；（2）已知11(1, ),(0,),22abcakb dabrrrrr u rrr，cr与du r的夹角为4，则k等于_ （答：1） ；（3）已知2,5,3aba brrr rg，则abrr等于_ （答：23） ；（4）已知,a br r是两个非零向量，且ababrrrr，则与aabrrr的夹角为 _ （答：30o）（5）已知)2,(a，)

10、2,3(b，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是 _ （答：43或0且13） ；（6）已知向量a（sinx，cosx）, b（sinx，sinx）, c（1，0） 。 （1）若 x3，求向量a、c的夹角；（答： 150） ；8、b在a上的投影：即| cosbr，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】已知3|a，5| b，且12ba，则向量 a 在向量 b 上的投影为_ （答：512)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页- 5 - 平面向量高考经典试题一、选择题1已知向量( 5,6)ar，(6,5)br，则ar

11、与brA垂直B不垂直也不平行C平行且同向D平行且反向2、已知向量(1)( 1)nn，ab，若2ab与b垂直，则a（）A1B2C2D4 3、若向量,a br r满足| |1abrr，, a br r的夹角为60 ，则 a aa brrrr=_；4、 在ABC中，已知D是AB边上一点，若123ADDB CDCACBuu u ruuu r u uu ru u u ruu u r， 则（）A23B13C13D235、若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）AEFOFOEuuu ruu u ruuu rB. EFOFOEuu u ruuu ruuu rC. EFOFOEu uu ru

12、 uu ruuu rD. EFOFOEu uu ru uu ruuu r6、已知平面向量(11)(11)，ab，则向量1322ab（）( 21)，( 2 1)，( 1 0)，( 1 2)，二、填空题1、已知向量2 411，a =b =若向量()ba +b，则实数的值是2、若向量 a br r， 的夹角为60，1abrr，则aabrrrg3、在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为(0 0)O，(11)B ，则AB ACu uu r uuu rg三、解答题：1、已知 ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4) 、 B(0，0) 、C(c，0) (1)若0AB ACg，求c的值

13、；(2) 若5c，求 sin A的值2、在ABC中，角ABC， ，的对边分别为tan3 7abcC， ， ，（1）求cosC；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页- 6 - （2）若52CB CAu u u r uu u rg，且9ab，求c3、 在ABC中 ，abc， ，分 别 是 三 个 内 角ABC， ，的 对 边 若4, 2Ca，5522cosB，求ABC的面积S4、设锐角三角形ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，2 sinabA（）求 B 的大小；（）若3 3a，5c，求 b5、在ABC中，1

14、tan4A，3tan5B（）求角C的大小；（）若ABC最大边的边长为17，求最小边的边长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页- 7 - 答案选择题1、A. 已知向量( 5,6)ar，(6,5)br，30300a br r，则ar与br垂直。2、C 2(3, )nab =，由2ab与b垂直可得：2(3,) ( 1, )303nnnn，2a。3、32解析：1311 122a aa brrrr，4、A 在 ? ABC 中，已知D 是 AB 边上一点，若AD=2DB，CD=CBCA31，则22()33CDCAADCAABCAC

15、BCAu uu ru uu ruuu ru uu ruuu ruu u ruuu ruu u r1233CACBuu u ruu u r，=32。5、B 由向量的减法知EFOFOEuu u ruuu ruuu r6、D 1322ab( 1 2).，填空题1、解析：已知向量2 411abrr，=量(2,4)abrr，()babrrr+，则2+ +4+ =0，实数=32、21【解析】2211cos60122aabaa baabrrrrrrrrrg。3、解析：(0,1) ( 1,1)0( 1)1 11.AB ACu uu r uuu rg解答题1、解 : (1) ( 3, 4)ABuu u r(3,

16、 4)ACcuuu r由3(3)162530AB ACccuuu r u uu rg得253c(2) ( 3, 4)ABuu u r(2, 4)ACuuu r6161cos5205AB ACAABACu uu r u uu rguu u ruuu rg22 5sin1cos5AA2、解：（1）sintan3 73 7cosCCCQ，又22sincos1CCQ解得1cos8Ctan0CQ，C是锐角1cos8C精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页- 8 - （2）52CB CAuu u r u u u rQg，5cos2a

17、bC，20ab又9abQ22281aabb2241ab2222cos36cababC6c3、解：由题意，得3cos5BB，为锐角，54sin B，102743sin)sin(sinBCBA，由正弦定理得710c，111048sin222757SacBg4、解：（）由2 sinabA，根据正弦定理得sin2sinsinABA，所以1sin2B，由ABC为锐角三角形得6B（）根据余弦定理，得2222cosbacacB2725457所以，7b5、本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12 分解： （） ()CABQ，1345tantan()113145CAB又0CQ，34C（）34CQ，AB边最大，即17AB又tantan0ABABQ， ，角A最小，BC边为最小边由22sin1tancos4sincos1AAAAA，且02A，得17sin17A由sinsinABBCCA得：sin2sinABCABCg所以，最小边2BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页