2022年解析几何初步知识点 .pdf

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1、1 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线上面的定义可简言之：( 方程)有一个解 ( 直线上 ) 就有一个点； (直线上 ) 有一个点(方程) 就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念直线的倾斜角的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点 P1的坐标满足方程当直线的斜率为0时 k=0，直线的方程是y=y1 当直线的斜率为90时( 图 1-26) ，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横

2、坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1(二)斜截式已知直线l 在 y 轴上的截距为b，斜率为k，求直线的方程代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0) y=kx+b 上面的方程叫做直线的斜截式方程为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的当k0 时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和 b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距(三)两点式已知直线l 上的两点 P1(x1，y1) 、P2(x2，y2)，(x1x2) ，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程当y1y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成精选学习资料 -

3、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 对两点式方程要注意下面两点：(1) 方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行 (x1=x2或 y1=y2) 时，可直接写出方程； (2) 要记住两点式方程，只要记住左边就行了， 右边可由左边见 y 就用 x 代换得到，足码的规律完全一样(四)截距式已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是a 和 b(a0，b0)，求直线 l 的方程因为直线l 过 A(a，0)和 B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是这个方程是由直线在x 轴和 y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截

4、距式对截距式方程要注意下面三点：(1) 如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2) 将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和 y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3) 与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示直线的点斜式、 斜截式、两点式和截距式表示直线有一定的局限性，只有直线的一般式能表示所有的直线，要搞清直线与二元一次方程的对应关系直线与二元一次方程是一对多的关系同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于x、y 的一次方程反过来，对于x、y 的一次方程的一般形式精选学习资料 -

5、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 Ax+By+C=0 (1) 其中A、B不同时为零(1)当 B0 时，方程 (1) 可化为(2)当 B=0时，由于 A、B不同时为零，必有 A0，方程(1) 可化为它表示一条与y 轴平行的直线这样，我们又有：关于x 和 y 的一次方程都表示一条直线我们把方程写为Ax+By+C=0这个方程(其中 A、B不全为零 ) 叫做直线方程的一般式(一)特殊情况下的两直线平行与垂直当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 90，互相平行； (2) 当另一条直线的斜率

6、为0 时，一条直线的倾斜角为 90，另一条直线的倾斜角为0，两直线互相垂直(二)斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和 l2的斜率为 k1和 k2，它们的方程分别是 *(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；(4)与已知直线垂直的直线的设法(一)两直线交点与方程组解的关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 设两直线的方程是l1： A1x+B1y+c1=0， l2： A2x+B2y+C2=0如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点

7、的坐标一定是这两个方程的公共解； 反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和 l2的交点因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组是否有唯一解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 求曲线的方程的一般步骤是：1)建立适当的直角坐标系，用(x ，y) 表示曲线上任意点 M的坐标， 简称建系设点；(2)写出适合条件 P的点 M的集合 P=M|P(M)|

8、，简称写点集；(3)用坐标表示条件 P(M)，列出方程 f(x ，y)=0，简称列方程；(4)化方程 f(x ，y)=0 为最简形式，简称化简方程；(5)证明化简后的方程就是所求曲线的方程，简称证明其中步骤(1)(3)(4)必不可少1求圆的方程的方法(1)待定系数法，确定 a，b，r ；(2)轨迹法，求曲线方程的一般方法2点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d，圆半径为 r ：(1)点在圆上d=r；(2)点在圆外dr ；(3)点在圆内dr 3以 A(x1， y1)、B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0 1点与圆的位置关系设圆C(x-a)2+

9、(y-b)2=r2，点 M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)dr 点 M在圆外；(2)d=r 点 M在圆上；(3)dr 点 M在圆内2直线与圆的位置关系设圆 C(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为 Ax+By+C=0 ，圆心 (a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 判别式为，则有：(1)dr 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)dr 直线与圆相离，即几何特征；或(1) 0 直线与圆相交；(2)=0 直线与圆相切；(3)0 直线与圆相离，即代数特征，3圆与圆的位置关系设圆C1：(x-

10、a)2+(y-b)2=r2和圆 C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k r) ，且设两圆圆心距为 d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)dk+r 两圆外离；(4)dk+r 两圆内含；(5)k-rdk+r 两圆相交4其他(1)过圆上一点的切线方程：圆x2+y2=r2，圆上一点为 (x0，y0) ，则此点的切线方程为x0 x+y0y=r2( 课本命题) 圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2( 课本命题的推广 )(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1x2+y

11、2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0(3)圆系方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 设圆C1x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆 C2x2+y2+D2x+E2y+F2=0 若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( 为参数，圆系中不包括圆 C2，=-1 为两圆的公共弦所在直线方程) 设圆C x2+y2+Dx+Ey+F=0 与直线 l ：Ax+By+C=0 ，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+ (Ax+By+C)=0(为参数) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页