2022年初中数学竞赛精品标准教程及练习24：连续正整数的性质 .pdf

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1、中考数学复习资料，精心整编吐血推荐, 如若有用请打赏支持，感激不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（24）连续正整数的性质一、内容提要一. 两个连续正整数1. 两个连续正整数一定是互质的，其商是既约分数。2. 两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。3. 两个连续正整数的和是奇数，差是1。4. 大于 1 的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如312，793940，1115556。二. 计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到 99999的个数，它是9999910000190000（个）1. n 位数的个数一般可表示为910n-1(n 为正整数

2、， 1001) 例如一位正整数从1 到 9 共 9 个（9100） ，二位数从 10 到 99 共 90 个（9101）三位数从 100 到 999 共 900 个（9102）2. 连续正整数从 n 到 m的个 数是m n+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3. 从 13 到 49 的连续奇数的个数是21349119 从 13 到 49 的连续偶数的个数是21448118 4.从 13 到 49 能被 3 整除的正整数的个数是31548112 从 13 到 49的正整数中除以3 余 1 的个数是31349113 你能从中找到计算规律吗？三. 计算

3、连续正整数的和1.123 n（1n）2n（n是正整数）连续正整数从 a 到 b 的和记作(a+b)21ab把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2.111315 55（1155）223759 （从 11 到 55 有奇数21155123 个）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页3.111417 53（1153）215480 （从 11 到 53 正整数中除以 3 余 2 的数的个数共31153115）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1.123456789各数位上的数字和是（

4、 09）（ 18）（ 45）9545 2.123499100计算各数位上的数字和可分组为： （0，99） ， （1，98） ，（2，97）（ 48，51） ， （49，50）共有 50 个 18，加上 100中的 1 各数位上的数字和是18501901 五. 连续正整数的积从 1 开始的 n 个正整数的积 123 n 记作 n！ ，读作 n 的阶乘1.n个连续正整数的积能被n！整除，如 111213 能被 123 整除； 979899100能被 4！整除；a（a+1）(a+2) (a+n) 能被（n+1） ！整除。2.n！含某因质数的个数。举例如下： 1 23 10 的积中含质因数 2 的个数

5、共 8 个其中 2，4，6，8，10都含质因数 2 暂各计 1 个，共 5 个其中 422含两个质因数 2 增加了 1 个其中 823含三个质因数 2 再增加 2 个 1 23 130 的积中含质因数 5 的个数的计算法5，10，15，125，130 均含质因数 5 暂各计 1 个，共 26 个其中 25，50，75，100均含 52有两个 5 各加 1 个，共 4 个其中 12553 含三个 5 再增加 2 个积中含质因数 5 的个数是 32 二、例题例 1. 写出和等于 100的连续正整数解：1002504255201010 其中 2 个 50 和 10 个 10 都不能写成连续正整数而

6、4 个 25：1213，1114，1015，916 得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。5个 20 可由 20，1921，1822 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页得第二组连续正整数18，19，20，21，22。例 2. 一本书共 1990页用 0 到 9 十个数码给每一页编号共要多少个数码？解：页数编码中，一位数1 到 9 共 9 个两位数 1099，共 90 个，用数码 902180个三位数 100999，共 900 个，用数码 90032700个四位数 10001990，共 991

7、个，用数码 99143964个共用数码 9180270039646853 例3. 用连续正整数 1 到 100 这 100 个数顺次连接成的正整数：123499100。问：它是一个几位数？它的各位上的数字和是多少？ 如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大， 那么剩下的数的前十位数是多少？解： 这个数的位数 =91+902+3=192 各位上的数字和 =1850+1=901(见上页第四点 ) 划去 100 个数，从最高位开始并留下所有的9：包括 18，1018，19 中的 1，2028，29 中的 2， 50 到 56 这里共有 8191919191498个，再划去 57，58中的

8、两个 5，剩下的数的前十位是9999978596 。例4. 算术平方根的整数部分等于11 的连续正整数共有几个？解：12111，14412 算术平方根的整数部分等于11 的正整数 x 是 112x122; 符合条件的连续正整数是121，122，123， 143。共 23个。例 5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2 倍， 求这两个连续正整数。解：设连续正整数为x,x+1, 相同数码的三位数为100a+10a+a 根据题意，得 x(x+1)=2(100a+10a+a) 即 x(x+1)=222a （1）把 222 分解质因数得x(x+1)=2 337a（2）连续正整数的积的

9、个位数只能是0，2，6 且 0a9 由（1）可知 a 可能是 1，3，5，6，8 分别代入（ 2）只有 6 适合x(x+1)=36 37 答所求的连续正整数是36 和 37 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页三、练习 24 1. 除以 3 余 2 的两位数共有 _个，三位数有 _个，n 位数有 _个。2. 从 50 到 1000的正整数中有奇数 _个，3 的倍数_个。3. 由连续正整数连写的正整数1239991000是_位数，它的各位上的数字和是_。4. 把由 1 开始的正整数依次写下去，直写到第198 位为止，位1

10、98123那么这个数的末三位数是 _，这个数的各位上的数字和是_ 这个数除以 9 的余数是 _ 5. 已知 a=1199011111个, b=9199099999个那么 ab=_ ab 的各位上的数字和是 _(可用经验归纳法 ) 6. 计算连续正整数的平方和的个位数： 12+22+32+92和的个位数是 _ 12+22+32+192和的个位数是 _ 12+22+32+292和的个位数是 _ 12+22+32+392和的个位数是 _ 12+22+32+1234567892和的个位数是7. 写出所有和能等于 120 的连续正整数 (仿例 1)它们共有三组：_ ，_ ，_ 。8. 连续正整数的积 1

11、234 100 这积中含质因数 5 的个数有 _，积的末尾的零连续 _个。9. 恰有 35 个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数是多少10. 设 a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那么 b2是( ) (A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)15376 11. 计算： 2+4+6+100= 1+4+7+10+ +100= +10+15+100= 12. 有 11 个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？如果有 (n+1) 个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。13. 一串数 1，4，7，1

12、0， 697，700 的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页个数加，直到 700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。提示：先求积中含质因数 5 的个数练习 24 参考答案：1. 30，300，310 n-12. 475个，317 个3. 2893，13501 4. 102，906，6 5. 988880111119891989个个19909 6. 5，0，5，0，5 7. 39，40，41；22，23，24，25，26；1，2，315 8. 24，24 9.

13、 17 10. （B）11. 2550，1717，1050 12.小于 20 的正整数中有 10 个奇数，与奇数连续的正偶数，它们必互质，把互质数放在同一个抽屉，设有 10 抽屉， 11个正整数放入其中，至少有一个抽屉里放有两个。这一串数是除以 3 余 1 的正整数，我们来计算含质因数5 的个数：能被 5 整除且除以 3 余 1 的正整数是 10，25，40， 700，先各算 1 个能被 52整除且除以 3 余 1 的正整数是 25，100，175，700，各多算 1 个能被 53整除且除以 3 余 1 的正整数是 250，625，再各加 1 个，能被 54整除且除以 3 余 1 的正整数是 625，再加 1 个，共含有 60 个 5 答积的尾部共有零60个（上述可用式子表示：315k，3125k，31125k，31625k的整数值）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页