2022年直线的参数方程及其应用 .pdf

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1、精品资料欢迎下载直线的参数方程及应用目标点击：1掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义；2熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题；基础知识点击 ：1、直线参数方程的标准式(1)过点 P0(00,yx)，倾斜角为的直线 l 的参数方程是s i nc o s00tyytxx（t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段PP0的数量， P(yx ,)为直线上任意一点. P0P=t P0P=t(2)若 P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则 P1P2=t2t1P1P2=t 2t 1(3)若 P1、P2

2、、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3则 P1P2中点 P3的参数为 t3221tt,P0P3=221tt(4)若 P0为 P1P2的中点，则 t1t20，t1t20 时，点 P在点 P0的上方；当 t 0 时，点 P与点 P0重合；当 t0 时，点 P在点 P0的右侧；当 t 0 时，点 P与点 P0重合；当 t0 时，点 P在点 P0的左侧；问题 2：直线 l 上的点与对应的 参数 t 是不是一对应关系？我们把直线 l 看作是实数轴，以直线 l 向上的方向为正方向，以定点P0为原点，以原坐标系的单位长为单位长，这样参数 t 便和这条实数轴上的点P建立了一一对应关系 . 问题

3、 3：P1、P2为直线 l 上两点所对应的参数分别为t1、t2，则 P1P2？， P1P2=？P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1问题 4：若 P0为直线 l 上两点 P1、P2的中点， P1、P2所对应的参数分别为 t1、t2，则 t1、t2之间有何关系？根据直线 l 参数方程 t 的几何意义，P1Pt1，P2Pt2，P0为直线 l上两点 P1、P2的中点， | P1P| | P2P| P1PP2P，即 t1t2, t1t20,设这个二次方程的两个根为t1、 t2,由韦达定理得t1t2815, t1t2425，由 M 为线段 AB 的中点，根据 t 的几何意义，得

4、| PM| 221tt1615中点 M 所对应的参数为 t M=1615,将此值代入直线的标准参数方程*，M 点的坐标为4316155416411615532yx即M（1641，43）(3)|AB| t 2t 1222114)(tttt7385点拨：利用直线 l 的标准参数方程中参数t 的几何意义，在解决诸如直线l 上两点间的距离、直线l 上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线l 的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例 7：已知直线 l 经过点 P（1,33）, 倾斜角为3，(1)求直线 l 与直线 l ：32xy的交点 Q 与 P点的距离 | PQ| ；(2)求直线 l 和圆22y

5、x16的两个交点 A，B 与 P 点的距离之积 . 解：(1) 直线 l 经过点 P（1,33）, 倾斜角为3,直线 l 的标准参数方程为3sin333cos1tytx，即tytx2333211（t 为参数）代入直线 l ：32xy得032)2333()211(tt整理，解得 t=4+23t=4+23即为直线 l 与直线 l 的交点 Q 所对应的参数值，根据参数t 的几何意义可知： | t| =| PQ|, | PQ|= 4+23. A B M P (2,0) xy 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎

6、下载(2) 把直线 l 的标准参数方程为tytx2333211（t 为参数）代入圆的方程22yx16，得16)2333()211 (22tt,整理得： t28t+12=0，=82-4120,设此二次方程的两个根为t1、t2 则 t1t2=12 根据参数 t 的几何意义， t1、t2 分别为直线和圆22yx16 的两个交点A, B 所对应的参数值，则 | t1| =| PA|,|t2| =| PB|, 所以| PA| | PB| =| t1 t2|=12 点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标

7、再利用两点间的距离公式简便.例 8：设抛物线过两点A(1,6)和 B(1,2)，对称轴与x轴平行，开口向右，直线 y=2x+7 被抛物线截得的线段长是410，求抛物线方程 . 解：由题意，得抛物线的对称轴方程为y=2.设抛物线顶点坐标为（a，2）方程为 (y2)2=2P(xa) (P0) 点 B(1,2)在抛物线上， (22)2=2P(1a)aP=8P 代入得(y2)2=2Px2P+16 将直线方程 y=2x+7 化为标准的参数方程tg=2, 为锐角，cos=51, sin=52得tytx525511（t 为参数）直线与抛物线相交于A，B, 将代入并化简得：75212542tPt0 ，由=35

8、5)6(42P0,可设方程的两根为t1、t2，又|AB|= t 2t 1222114)(tttt41043544)212(52P=(410)2化简，得 (6P)2=100 P=16 或 P=-4(舍去) 所求的抛物线方程为 (y2)2=32x48 点拨： (1)（对称性）由两点 A(1,6)和 B(1,2)的对称性及抛物线的对称性质，设出抛物线的方程（含 P 一个未知量，由弦长AB 的值求得 P）. (2)利用直线标准参数方程解决弦长问题.此题也可以运用直线的普通方程与抛物线方程联立后，求弦长。对于有些题使用直线的参数方程相对简便些.例 9：已知椭圆134) 1(22yx，AB 是通过左焦点

9、F1的弦， F2为右焦点，求| F2A| | F2B| 的最大值 . 解：由椭圆方程知a2，b=3,c=1, F1(0,0),F2(2,0),设过的弦所在直线的参数方程为sincostytx（t 为参数）代入椭圆方程整理得（3sin2）t26 t cos9=0 ，=36cos236（3sin2）0 此方程的解为 t1、t2，分别为 A、B 两点对应的参数，由韦达定理t1t2=2sin3cos6t1 t22sin39根据参数 t 的几何意义， t1、t2 分别为过点 F1的直线和椭圆的两个交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共

10、 8 页精品资料欢迎下载A, B 所对应的参数值， | F1A| | t1| F1B| | t2|AB|= t 2t 1222114)(tttt2sin312| F1A| | F1B| | t1| | t2|=| t1t2|由椭圆的第一定义 | F1A| | F2A| 2a4， | F1B|+| F2B|=2a4| F2A| | F2B|=(4-| F1A|)(4-| F1B|)=16-4|AB|+| F1A| | F1B| =16-4t 2t 1+| t1t2|=16-42sin312+2sin39=16-2sin339当 sin21 时，| F2A| | F2B| 有最大值425点拨：求过

11、定点的直线与圆锥曲线相交的距离之积，利用直线的参数方程解题，此题中两定点F1(0,0),F2(2,0),显然 F1坐标简单，因此选择过F1 的直线的参数方程，利用椭圆的定义将| F2A| F2B| 转化为 | F1A|F1B|. 例 10： （黄冈习题册： P155,第 23 题）（2）除书中解法外，补充解法二. 解法二：设过点 P(a,0) 的直线 l 的参数方程为sincostytax(t 为参数),0(，且2) (1)直线 l 与圆22yx5 相交于 B,C 将直线 l 的方程 (1)代入圆的方程得 t2+2at cos +a250，=(2acos )2-4(a25)0. 即 a2 si

12、n2+50 (2)tBtC=2acostB tC= a25直线 l 与抛物线 y2=x+7 相交于 A,D 将直线 l 的方程 (1)代入抛物线的方程得 (sin2) t2t cos a70 ，= cos2-4(sin2)(-a7)0 即 1+(4a+27) sin20 (3)tAtD=2sincostB tC= 2sin7a又|AB|=|CD| 线段 AD与线段 BC的中点重合，即tAtD=tBtC2sincos= - 2acos即- 2a=2sin1，),0(, 且20sin21将 sin2a21代入(2) 、(3)a必须满足1202272010aaaa -10a21点拨：此题利用直线参数

13、方程形式比普通方程求a的范围运算量相对要小，注意使用直线上两个点的中点的参数.方法总结： 利用直线 l 的参数方程sincos00tyytxx（t 为参数） ，给研究直线与圆锥曲线C：F(yx,)=0的位置关系提供了简便的方法. 一般地， 把 l 的参数方程代入圆锥曲线C： F(yx,)=0 后， 可得一个关于 t 的一元二次方程，)(tf=0, 1、(1)当0 时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载l 与 C 相交有两个交点；2、当0 时，方程)(tf=0 的两个根分别记为t1、t2，把 t1、t2

14、分别代入 l 的参数方程即可求的 l 与 C的两个交点 A 和 B 的坐标 . 3、定点 P0(00, yx)是弦 AB 中点t1+t2=0 4、 l 被 C 截得的弦 AB 的长|AB| | t1t2| ；P0AP0B= t1t2；弦 AB 中点 M 点对应的参数为221tt；| P0M |=221tt基础知识测试2：7、 直线t21ytx(t 为参数 )与椭圆8222yx交于 A、B两点，则 |AB| 等于 ( ) A 22 B 334 C 2 D 368、直线sincos00tyytxx（t 为参数）与二次曲线A、B两点，则 |AB| 等于 ( ) A |t1+t2| B |t1| |

15、t2| C |t1t2| D 221tt9、 直线t211212ytx(t 为参数 )与圆122yx有两个交点A、B，若 P点的坐标为 (2,-1),则 |PA| |PB|= 10、过点 P(6,27) 的直线t2726ytx(t 为参数 )与抛物线y2=2x相交于 A、B 两点，则点 P 到 A,B 距离之积为. 参数方程 1 答案1、D 2 、D 3、 D 4 、A 5、D 6 、 （1）actgyatgx（ 2）3251545154tytx（3）sin2cos2yx或sin2cos2yx7、D 8、抛物线 x221（y-2 ）上包含 1 x1 的一段弧直线的参数方程答案1、tytx2172362、D 3、C 4、112tt5、B 6 、437、 B 8、 C 9、4 10、45精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页