多元复合函数求导法则.ppt

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1、关于多元复合函数求导法则现在学习的是第1页，共20页一、链式法则一、链式法则定理 dtdvvzdtduuzdtdz 且其导数可用下列公式计算 ( ),( )zftt t则复合函数在对应点可导，),(vufz ),(vu函数在对应点具有连续偏导数，可导， ( )ut )(tv t如果函数及都在点一元复合函数( ),( )yf uux 求导法则ddddddyyuxuxuvtz现在学习的是第2页，共20页( ),zzzuvouv ( )zzuzvotutvtt dudtd vd t证()( ),uttt 则则);()(tttv tt 设设 有有增增量量，0lim.tdzzz duz dvdttu d

2、tv dt 22()() )uv () o 22()() uvtt 0t0 时,取“”号0t 当当时时， 由于函数),(vufz 在点故可微，即),(vu有连续偏导数，现在学习的是第3页，共20页例1 设 而2,xyze ( )yt sin ,xt 其中 可导，求( ) t .dzdtxytzdzz dxz dydtx dty dt 解z dxz dyx dty dt 22cos( 2)( )xyxyetet 2cos2( )xyett 现在学习的是第4页，共20页1.上定理的结论可推广到dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的导数 称为dtdz推广)(),(),(

3、tttfz 中间变量多于两个的情况:现在学习的是第5页，共20页,zzuzvxu xvx yvvzyuuzyz ),(yx的两个偏导数存在,且可用下列公式计算: ( , )ux y ),(yxv ),(yx如果及都在点),(vufz 具有对 x和y 的偏导数，且函数 ( , ),( , )zfx yx y 则复合函数在对应点),(vu在对应点具有连续偏导数， 2.上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：现在学习的是第6页，共20页uvxzy复合结构如图示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv ( , ),( , )zfx yx y 链式法则的规律：“连线相乘，

4、分线相加”现在学习的是第7页，共20页解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu uvxzy现在学习的是第8页，共20页zwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ),(yx在对应点的两个偏导数存在，且可用下列公式计算链式法则的规律：“连线相乘，分线相加”( , ),vx y ( , ),ux y ( , )wx

5、y 设),(yx都在点具有偏导数，( , ,)zf u v w 在则复合函数对应点( , ,)u v w具有连续偏导数，现在学习的是第9页，共20页),(yxufz ( , )ux y 即 ( , ), , ,zfx y x y ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中两者的区别yyxzxu区别类似3.中间变量即有一元函数,也有多元函数的情况：现在学习的是第10页，共20页解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvtzt现在学习的是第11页，共20页解令, zyxu ;xyzv 记,),(1u

6、vuff ,),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf zywxvu现在学习的是第12页，共20页 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 12wfyzfx zywxvu,21ff 现在学习的是第13页，共20页 设设函函数数),(vufz 具具有有连连续续偏偏导导数数，则则有有全全微微分分dvvzduuzdz ;当当),(yxu 、),(yxv

7、时时，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不变性的实质： 无论z是自变量x,y的函数或中间变量u,v 的函数，它的全微分形式是一样的.二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性现在学习的是第14页，共20页dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 现在学习的是第15页，共20页例5 设 而cos ,uzev ,uxy vxy ,.zzxy求解(cos )udzd ev cos( sin )uuevduev dv (),dud xyydxxdy (),dvd xydx dy ( cossin )( cossi

8、n )uuuudzev y ev dxev x ev dy dyyzdxxzdz cos() sin()xyeyxyxy dx cos()sin()xyexxyxy dy 比较现在学习的是第16页，共20页1、链式法则（连线相乘，分线相加）2、全微分形式不变性（特别注意特殊情况：函数的复合结构的层次）小结zzdzdudvuv 现在学习的是第17页，共20页思考题),(xvufz ( ),ux )(xv 设，而.dzdx求求xfdxdvvfdxduufdxdz dxdzxf 试问与是否相同？为什么？uzvxx现在学习的是第18页，共20页 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf uzvxx( , , ),zf u v x ( ),ux )(xv 等式左端的z是作为一个自变量x的函数， 写出来为 不相同.xfdxdvvfdxduufdxdz 现在学习的是第19页，共20页感谢大家观看现在学习的是第20页，共20页