2022年高考数学热点问题和解题策略总结.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2022 年高考数学热点问题和解题策略总结数学高考坚持以 “两个有利”（有利高校选拔新生、 有利中学教学） 为指导思想,严格遵循“考试说明”的规定,内容上不超纲,才能上 不超规定层次（明白、懂得和把握、敏捷和综合运用）,在考查三基（基础学问、基本技能、基本技巧）和四种才能（规律思维才能、运算才能、空间想象才能、分析和解决问题的才能）的同时,侧重考查教材中的主要内容、数学思想方法和应用意识,特殊是突出考查数学学科的思维才能.函数平均每年占高考总分的13.8 ,考查的学问背景为幂、指、 对及一般函数的概念、定

2、义域、值域、反函数.函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性.函数的图像等.三角函数平均每年占高考总分的12.6 ,考查的学问背景是三角函数的概念、性质、以及有关公式的应用,以常规题居多.解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2 ,考查的学问背景为不等式的性质、定理.立几、数列中的最值问题以及解几中的范畴问 题.数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8 ,考查的学问背景为等差（比）数列的概念与运算公式.数列、极限的概念与求法.线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8 ,考查的学问背景为线面间的平行、垂直性质与判定及有关概念.每年均为阅读懂得型 试题.圆锥曲线平均每年占高考总分的

3、11.7 ,考查的学问背景为圆锥曲线的定义、性质及解几中的基本数学思想方法.1993 年 1999 年高考试题中,常用的数学方法几乎每年考到,常用的数学思想方法考查的频率明显提高,探干脆才能题年年考,对应用性问题的考查力度不断加大,阅读懂得才能多题渗透.今年高考命题,挑选题连续保持14 个题题量,仍分为1-5题,每题 4 分,6-14 题每题 5 分,但适当降低最终 2-3 题的难度,掌握语言的抽象水平.填空题保持 1997-1999 年水平,共 4 个题左右,每题 4分,难度仍将为中等题,以运算题为主,且运算量仍不会加大.相比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选

4、 - - - - - - - - - -第 1 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -299 年高考, 2022 高考将适当降低试卷的难度, 进一步加强对思维才能考查 .进一步留意通性通法的考查,连续突出主体内容（函数、方程、不等式、数列和圆锥曲线等）,淡化某些不宜升温的学问（递推数列、复数和立体几何等）,做好向新高中教材过渡的预备.应用题将适当掌握对建模才能难度的考查,削减一般语言转译为数 学语言的难度,既留意贴近生活,又留意靠近课本.探干脆综合题和 信

5、息迁移题不行能增加难度, 如数列综合题仍以归纳猜想为主要形式.一、应用问题应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学学问与方法来分析问题解决问题的才能,这个要求分解为三个要点：1、要求考生关怀国家大事,明白信息社会,讲究联系实际,重视数学在生产、生活及科学中的应用,明确“数学有用,要用数学”,并积存处理实际问题的体会.2、考查懂得语言的才能,要求考生能够从一般语言中捕获信息, 将一般语言转化为数学语言, 以数学语言为工具进行数学思维与沟通.3、考查建立数学模型的初步才能,并能运用“考试说明”所规定的数学学问和方法来求解.对应用题,考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能 力上

6、.实际问题转化为数学问题,关键是提高阅读才能即数学审题能 力,审出函数、方程、不等式、等式,要求我们读懂材料,辨析文字 表达所反应的实际背景,领会从背景中概括出来的数学实质,抽象其 中的数量关系,将文字语言表达转译成数学式符号语言,建立对应的 数学模型解答. 可以说,解答一个应用题重点要过三关：一是事理关,即读懂题意,需要肯定的阅读懂得才能.二是文理关,即把文字语言 转化为数学的符号语言.三是数理关,即构建相应的数学模型,构建 之后仍需要扎实的基础学问和较强的数理才能.求解应用题的一般步骤是（四步法）：1、读题 ：读懂和深刻懂得,译为数学语言,找出主要关系.2、建模 ：把主要关系近似化、形式化

7、,抽象成数学问题.3、求解 ：化归为常规问题,挑选合适的数学方法求解.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -34、评判 ：对结果进行验证或评估,对错误加以调剂,最终将结果应用于现实,作出说明或验证.在近几年高考中,常常涉及的数学模型,有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等.、再性性题组：1. 某种细菌在培育

8、过程中, 每 20 分钟分裂一次（一个分裂为两个） , 经过 3 小时,这种细菌由1 个可繁衍成 .94 年全国高考 A.511个B. 512个C.1023个D. 1024个2. 如图,以墙为一边,用篱笆围成长方形的场的,并用平行于一边的篱笆隔开,已知篱笆的总长为定值L,这块可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_场的的长为 时,场的面积最大,最大面积是年全国高考 .82可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 圆柱轴截面的周长L 为定值,那么圆柱体积的最大值是 .93 年全国高考 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. L 3 B.61L92 3 C. L

9、34D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 L 3 44. 在半径为 30m的圆形广场中心上空,置一个照明光源,射向的面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为120,如要光源恰好照亮整个广 场,就其高度应为 . 精确到 0.1m93年全国高考 5. 甲、乙、丙、丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3 项,乙公司承包 1 项,丙、丁公司各承包 2 项,共有 种承包方式. 86 年全国高考 【简解】 1 小题：答案 B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 小题：设长 x,面积 S x32lx 1 33l 2 ,答案：长为2l ,最大2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

10、_精品资料_面积 l.12l4rllrr2r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 小题： V r 2 r22 2r 22 3 ,选 A.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 小题：由30 tg60 得 h10h3 17.3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -4

11、5 小题： C3 C1 C2 1680.854、示范性题组：例 1某的现有耕的 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现有增加22,人均粮食产量比现在提高10,假如人口年增长率为1,那 么耕的每年至多只能削减多少公顷（精确到1 公顷）？（ 96 年全国高考）总产量总产量（粮食单产.人均粮食产量）耕的面积总人口数【分析】此题以关系国计民生的耕的、人口、粮食为背景,给出两组数据,要求考生从两条线索抽象数列模型,然后进行比较与决策.【解】 1. 读题：问题涉及耕的面积、粮食单产、人均粮食占有量、粮食单产 3耕的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_总人口数及三个百分率, 其中人均

12、粮食占有量P,总人口数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_主要关系是： P实际 P规划.2. 建模：设耕的面积平均每年至多削减x 公顷,现在粮食单产为aa3 104吨公顷,现在人口数为m,就现在占有量为, 10 年后粮食单m产为 a1 0.22 ,人口数为 m1 0.0110 ,耕的面积为（ 104 10x）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10.2210410m10.0110xa3 10 4（ 10.1 ）m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 1.22 （10 4 10x） 1.1 3104 3（ 1 0.01 ） 10可编辑资料 - - - 欢

13、迎下载精品_精品资料_3. 求解： x 103 1.11.223103 3（ 10.01 ） 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10（10.01 ） 10 1 C130.01 C230.0123 30.013 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10C10 1.1046 x 103 995.9 4（公顷）4. 评判：答案x 4 公顷符合掌握耕的削减的国情,又验算无破,故可作答.（答略）【另解】 1. 读题：粮食总产量单产3耕的面积.粮食总占有量人均占有量 3总人口数.而主要关系是：粮食总产量粮食总占有量4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料

14、名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -52. 建模：设耕的面积平均每年至多削减x 公顷,现在粮食单产为aa3 104吨公顷,现在人口数为m,就现在占有量为, 10 年后粮食单m产为 a1 0.22 ,人口数为 m1 0.0110 ,耕的面积为（ 104 10x）.a3 10 4 a1 0.22 31O 4 10x 31 0.1 3m10.0110m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.

15、求解： x 103 1.11.223103 3（ 10.01 ） 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10（10.01 ） 10 1 C130.01 C230.0123 30.013 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10C10 1.1046 x 103 995.9 4（公顷）4. 评判：答案x 4 公顷符合掌握耕的削减的国情,又验算无破,故可作答.（答略）【注】此题主要是抓住各量之间的关系,留意3 个百分率.其中耕的面积为等差数列,总人口数为等比数列模型,问题用不等式模型求 解.此题两种解法,虽都是建立不等式模型,但建立时所用的意义不 同,这要求敏捷把握,仍要

16、求对指数函数、不等式、增长率、二项式 定理应用于近似运算等学问娴熟.此种解法可以解决有关统筹支配、 正确决策、最优化等问题.此种题型属于不等式模型,也可以把它作 为数列模型,相比之下,主要求解过程是建立不等式模型后解出不等 式.在解答应用问题时,我们强调“评判”这一步不行少；它是解题者的自我调剂,比如此题求解过程中如令1.01 10 1, 算得结果为x 98公顷,自然会问：耕的削减这么多,符合国家保持耕的的政策吗？于是进行调控,检查发觉是错在1.01 10 的近似运算上.例 2已知某市 1990 年底人口为 100 万,人均住房面积为5m2 ,假如该市每年人口平均增长率为2,每年平均新建住房面

17、积为10万 m2 ,试求到 2022 年底该市人均住房面积（精确到0.01 ）？（ 91 年上海高考）【分析】城市每年人口数成等比数列, 每年住房总面积成等比数列, 分别写出 2022 年后的人口数、住房总面积,从而运算人均住房面积.总住房面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】 1. 读题：主要关系：人均住房面积总人口数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

18、精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 建模： 2022 年底人均住房面积为10010510101044410可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 求解：化简上式610 C101.02 10 ,1001012 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1.0210 1 C130.02 C230.0223 30.023 , 1.219可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 人均住房面积为61.02 104.92可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4

19、. 评判：答案 4.92符合城市实际情形,验算正确,所以到2022 年底该市人均住房面积为4.92m2 .【注】一般的,涉及到利率、产量、降价、繁衍等与增长率有关的实际问题, 可通过观看、分析、归纳出数据成等差数列仍是等比数列, 然后用两个基础数列的学问进行解答.此种题型属于应用问题中的数 列模型.例 3甲、乙两的相距S 千米,汽车从甲的匀速行驶到乙的,速度不得超过 c 千米时,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （千米时）的平方成正比,比例系数为b.固定部分为 a 元. 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数,并指出函数的定义域. 为

20、了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶？（97 年全国高考）【分析】几个变量（运输成本、速度、固定部分）有相互的关联,抽象出其中的函数关系,并求函数的最小值.【解】（读题）由主要关系： 运输总成本每小时运输成本3时间,（建模）有 y a bv2 Sv（解题）所以全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数关系式是： ySa bv ,其中函数的定义域是v0,c.v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理函数有 y Sa bv Sv vab ,v可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由函数 y x kxk0的单调性而得

21、：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7当a c 时,就 vba 时, y 取最小值.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当a c 时,就 vc 时, y 取最小值.b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上所述,为使全

22、程成本 y 最小,当a q0,就上2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 方案甲提价最多B.方案乙提价最多C.方案丙提价最多D.以上都不对8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -96. 假设国家收购某种农产品的价格是120 元担,其中征税标准为每 100 元征 8 元（叫税率 8 个百分点, 即 8）,方案可收购 m万担.为了减

23、轻农夫负担,打算把税率降低x 个百分点,估计收购量可增加 2x 个百分点. 写出税收 y（万元）与 x 的函数关系式. 要使此项税收在税率调剂后不低于原方案的78,试确定 x 的范畴.7. 某单位用分期付款的方式为职工购买40 套住房,共需 1150 万元.购买当天先付 150 万元,以后每月的这一天都交付50 万元,并加付欠款利息,月利率为1.如交付150 万元后的第一个月开头算分期付 款的第一个月, 问分期付款的第10 个月应当付多少钱？全部货款付清 后,买这 40 套住房实际花了多少钱？8. 公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA,O 恰在水A面中心, OA

24、 1.25 米,安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向上沿外形相同的抛物线路径落下, 且在过 OA的任一平面上抛O 物线路径如下列图,为使水流外形较为美丽,水面设计成水流在到 OA的距离为 1 米处达到距水面最大高度 2.25 米,假如不计其他因素, 那么水池的半径至少要多少米, 才能使喷出的水流不致落到池外？（97 年上海高考）9. 电灯挂在圆桌的正中心上空,光学定律指出：桌边 A 处的照度 I 与射到点 A 的光线与桌面的夹角 的正弦成正比,与点 A 到光源的距离的平方成反比.已知桌面半径 r 0.5 米,当电灯离桌面 1 米时,桌边 A 处的照度为 I 0 . 试把照度 I表

25、示为角 的函数. 怎样选择电灯悬挂的高度h,才能使桌边处最亮？10. 国际足联规定法国世界杯决赛阶段,竞赛场的长105 米、宽 68米,足球门宽7.32米、高 2.44米,试确定边锋正确射门位置（边锋 在足球场的长边上移动,正确射门位置应使边锋看足球门的水平视角 最大）.（精确到 1 米）二、探干脆问题近年来,随着社会主义经济建设的快速进展,要求学校由“应试训练”向“素养训练”转化,培育全面进展的开拓型、制造型人才.在这种要求下,数学教学中开放型问题随之产生.于是,探干脆问题成了近几年来高考命题中的热点问题,它既是高等学校选拔高素养人材9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料

26、 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -10的需要,也是中学数学教学培育同学具有制造才能、开拓才能的任务所要求的.实际上,同学在学习数学学问时,学问的形成过程也是观看、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探究过程,其探究方法是同学应当学习和把握的,是今后数学训练的重要方向.一般的,对于虽给出了明确条件,但没有明确的结论,或者结论不 稳固,需要探究者通过观看、 分析、归纳出结论或判定结论的问题 （探究结

27、论）.或者虽给出了问题的明确结论,但条件不足或未知,需要解题者查找充分条件并加以证明的问题（探究条件）,称为探干脆问题.此外,有些探干脆问题也可以转变条件,探讨结论相应发生的变化.或者转变结论,探讨条件相应发生的变化.或者给出一些实际中的数据,通过分析、探讨解决问题.探干脆问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类争论型.猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时,需要从特殊情形入手,进行猜想后证明其猜想的一般性结论.它的思路是：从所给的条件出 发,通过观看、试验、不完全归纳、猜想,探讨出结论,然后再利用 完全归纳理论和要求对结论进行证明.其主要表达是解答数列中等与 n 有关数学问题.存

28、在型问题是指结论不确定的问题,即在数学命题中, 结论常以“是否存在”的形式显现,其结果可能存在,需要找出来,可能不存在,就需要说明理由.解答这一类问题时,我们可以先假设结论不存在,如推论无冲突,就结论确定存在.如推证出冲突,就结论不存在.代数、三角、几何中,都可以显现此种探讨“是否存在”类型的问题.分类争论型问题是指条件或者结论不确定时,把全部的情形进行分类争论后,找出满意条件的条件或结论.此种题型常见于含有参数的问题,或者情形多种的问题.探干脆问题,是从高层次上考查同学制造性思维才能的新题型,正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导,通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分

29、类争论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决,我们在学习中要重视对这一问题的训练,以提高我们的思维才能和开拓才能.、再现性题组：1. 是否存在常数a、b、c,使得等式 12 2 2 22 3 2 , nn 1 210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 n n121 an2 bn

30、 c 对一切自然数n都成立？并证明你的结论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 89 年全国理）2. 已知数列8 2 1,822, ,82n, . S为其前 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 2 3232 2522n12 22n1 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项和,求 S1 、S2 、S3 、S4 ,估计 Sn年全国理）公式,并用数学归纳法证明.（93可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【简解】 1 题：令 n 1、2、3 代入已知等式列出方程组,解得a 3、b 11、c 10,推测 a、b、c 的值对全部的nN 都成立

31、,再运用数学归纳法进行证明.（属于是否存在型问题,也可属于猜想归纳 型问题）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 题：运算得到 S 8 、S 24 、S 48 、S 80 ,观看后推测可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2n12119225349481可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn 2n12,再运用数学归纳法进行证明.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、示范性题组：【例 1】已知方程 kx 2 y 2 4,其中 k 为实数,对于不同范畴的 k 值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出曲线简图.（ 78 年全国高考题）【分析】由圆、

32、椭圆、双曲线等方程的详细形式,结合方程 kx 2 y 2 4 的特点,对参数 k 分 k1、k1、0k1、k0、k1、k 1、0k1、k 0、k1 时,表示椭圆,其中心在原点,焦点在y 轴上, a 2,b 2;k 当 k1 时,表示圆,圆心在原点,r 2. 当 0k1 时,表示椭圆,其中心在原点,焦点在 x 轴上,a 2,kb 2. 当 k0 时,表示两条平行直线y 2. 当 k0 时,表示双曲线,中心在原点,焦点在y 轴上.11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 26 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -12yyyyyxxxxx全部五种情形的简图依次如下所示：【注】分类争论型问题,把全部情形分类争论后,找出满意条件的条件或结论.y