正态总体均值方差的区间估计.ppt

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1、四. 区间估计,譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大似然估计为1000条.,1. 区间估计定义：,则称区间 是 的置信水平（置信度、 置信概率）为 的置信区间.,即要求估计尽量可靠.,可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度,两个要求：,1. 选取未知参数的某个估计量 ，,2. 寻找置信区间的方法,误差限 .,N(0, 1),选 的点估计为,明确问题,是求什么参数的置信区间? 置信水平是多少？,解：,寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.,有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.,对于给定的置信水平(大概率),

2、 根据U的分布， 确定一个区间, 使得U取值于该区间的概率为 置信水平.,使,z/2,-z/2,从中解得,由,于是所求 的 置信区间为,从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:,1. 明确问题, 是求什么参数的置信区间?,置信水平 是多少?,2. 寻找参数 的一个良好的点估计T (X1,X2,Xn),称S(T, )为枢轴量.,3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知.,只能含有待估参数,5. 对“aS(T, )b”作等价变形,得到如下 形式:,则 就是 的100( )的置信区间.,一、单个总体的情况,二、两个总体的情况,第五节 正态总体均值与方差的区

3、间估计,1.均值的置信区间,2.方差的置信区间,1.两个总体均值差的置信区间,2.两个总体方差比的置信区间,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,(1) 2已知, 求的置信度为1-置信区间,一、单个正态总体数学期望的区间估计,从点估计着手构造枢轴量:, 的1-置信区间:, 构造Z的 一个1-区间:,(2)2未知,求的置信度为1-置信区间,从点估计着手构造枢轴变量:, 构造T的 一个1-区间:, 的1-置信区间:,例1 设正态总体的方差为1, 根据取自该总体的容量为100的样本计算得到样本均值为5, 求总体均值的置信度为0.95的置信区间.,解 已知2=1, =0.05, 的1-

4、置信区间：,查表：,的1-置信区间:,例2 有一大批糖果.现从中随机地取16袋, 称得重量(单位: 克)如下： 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 假设袋装糖果的重量近似服从正态分布, 求平均重量的区间估计, 置信系数是0.95.,解 未知2, =0.05,求 的1-置信区间:,的1-置信区间:,设总体XN(,2), X1,X2,Xn 为一组样本，,总体均值 未知,二、单个正态总体方差的区间估计, 构造枢轴变量:, 构造Q的 一个1-区间:, 解不等式得到2的1-置信区间:,/2,/2,1-,1,2,1

5、-/2,例 3 投资的回收利用率常常用来衡量投资的风险. 随机地调查了26个年回收利润率(%), 标准差S(%). 设回收利润率为正态分布, 求它的方差的区间估计(置信系数为0.95).,解 总体均值 未知,=0.05,方差的区间估计.,查表得方差的区间估计,(1) 12, 22已知, 1- 2的1-置信区间, 相对1- 2，构造枢轴变量:, 构造Z的 一个1-区间:, 概率恒等变形，得到1- 2的1-置信区间:,设XN(1,12),Y N(2,22),从中分别抽取容量为n1,n2的样本,且两组样本独立，样本均值和样本方差分别记为,三、两个正态总体均值差的区间估计,(2) 12=22=2, 2

6、未知,1- 2的1-置信区间, 对于1- 2，构造枢轴变量:, 构造T的 一个1-区间:, 变形得到1- 2的1-置信区间:,例 4 某工厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取随机样本: 和 , 计算出 (克), (克), . 假设这两条流水线上罐装番茄酱 的重量都服从正态分布, 其总体均值分别为 , 且有相同的总体方差. 试求总体均值差 的 区间估计, 置信系数为0.95.,解 12=22=2, 2未知,1- 2的0.95置信区间:,其中,查表得,故1- 2的0.95置信区间:,(1)对于12/22 ，构造枢轴变量:,(2)构造F的 一个1-区间:,(3)解不等式得12/

7、22 的1-置信区间:,/2,/2,1,2,1-,P(1F 2)=1-,四、两个正态总体方差比 12/22的1-置信区间,例 5 为了比较用两种不同方法生产的某种产品的寿命 而进行一项试验. 试验中抽选了由方法一生产的16个产品 组成一随机样本, 其方差为1200小时; 又抽选了由方法二 生产的21个产品组成另一随机样本, 得出的方差为800 小时. 试以95%的可靠性估计两总体方差之比的置信区间.,查表得,故 的0.95置信区间:,由上述方法求得的总体均值差或总体方差比的置信区间, 我们在实际中通常有下列结论:,(1) 若 的置信区间的下限大于零, 则可认为 ; 若 的置信区间的上限小于零, 则可认为 ; 若 的置信区间包含零, 则可认为,