杨辉三角与二项式系数的性质(典范).ppt

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1、二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？,下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？,45,每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和,展开式的二项式系数依次是：,从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：,当 时，其图象是右图中的7个孤立点,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,（2）增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,由：,可知，当 时，,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它

2、的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,（2）增减性与最大值,（3）各二项式系数的和,在二项式定理中，令 ，则：,这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：,（1）,一般地， 展开式的二项式系数 有如下基本性质：,（2）,（4）,（对称性）,第0行1,第1行 1 1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 1,第5行 1 5 1,第6行 1 6 15 6 1,第n-1行 1,1,第n行 1,1, , ,第7行 1 7 21 21 7 1,10,35,+,+,+,+,=,35,5,15,20,10,4,“斜线和”,=,1,2,5,第5行 1 5 10 10 5 1

3、,第6行 1 6 15 20 15 6 1,第7行 1 7 21 35 35 21 7 1,第1行 1 1,第0行1,第2行 1 2 1,第3行 1 3 3 1,第4行 1 4 6 4 1,1,3,8,13,21,34,如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1,从第三个数起，任一数都等于前两个数的和，,这就是著名的斐波那契数列 ，也称为兔子数列。,斐波那契数列,斐波那契 （11701250）,意大利商人兼数学家,他的著作算盘书中,首先引入阿拉伯数字，将“十进制”介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响。,例1 证明：在(a+b)n展

4、开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。,在二项式定理中，令 ，则：,已知 求:(1) ； (2) ； (3) ; (4),解,题型:求展开式中的特定项,例2.试判断在 的展开式中有无常数项？ 如果有，求出此常数项；如果没有，说明理由.,解：设展开式中的第r+1项为常数项，则：,由题意可知，,故存在常数项且为第7项， 常数项,常数项即 x0项,练习：,0k12, kZ,当k=0、6时，x的幂为正整数,含x的正整数次幂的项共有2项,例4:求(x+2)10 （x2-1）展开式中含 x 10 项的系数为.,179,变式：求(1+x+x2)(1-x)10展开式中含x项的系数.,求两个(多个)二项式乘积的展开式的特定项方法： （1）先化简，化成一个二项式的展开式; （2）分析两个（多个）二项式的通项的字母的指数,利用找伙伴的方式解决.,例3：求 展开式中的常数项.,类型：求展开式中系数最大的项,方法:利用通项公式建立不等式组,变式练习： 在(3x -2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项.,解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项.则,(1)二项式系数的三个性质,(2) 数学思想：函数思想,a 单调性；,b 图象；,c 最值.,小 结,