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1、,课题学习:最短路径,看图思考:,为什么有的人会经常践踏草地呢?,绿地里本没有路,走的人多了 ,禁止践踏,两点之间,线段最短,爱护草坪,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,将军饮马问题:,将军每天骑马从城堡A出发,到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短?,这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。,P,两点之间线段最短.,根据:,B,A,(一)两点在一条直线两侧,例1.如图:古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短?,最短路线:,将军饮马:,A -P- B.,例2.如图:一位将军骑马从城堡A到城堡B, 途中马要到河边饮水一
2、次, 问:这位将军怎样走路程最短?,A,B,河,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称:,B,C,例2作法:,(1)作点B关于直线 MN 的对称点 B,(2)连结BA,交MN于点 C;,所以 点C就是所求的点,M,N,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称:, BC+AC BC +AC ,即AC+BC最小,N,A,B,C,B,C, 直线MN是点B、B的对称轴, 点C、C在对称轴上,BC=BC,BC=BC,在MN 上任取另一点C,,连结BC、BC、 AC 、 BC ,例2证明:,在AB C中,AB AC+B C,,BC+AC = BC+AC = BA,M,BC +AC = BC +AC ,两点在一条
3、直线同侧,(二)一次轴对称:,例2变式1:已知:P、Q是ABC的边AB、 AC上的点,你能在BC上确定一点R, 使PQR的周长最短吗?,两点在一条直线同侧,(二)一次轴对称:,.,.,.,.,例3已知如图 和 内一点 ,(三)二次轴对称:,一点在两相交直线内部,求作:OM上一点B, ON上一点C, 使AB+BC+AC最小,作法(1)作点A关于OM、 ON的对称点A、A”,例3.如图:一位将军骑马从驻地A出发,先牵马去草地 OM吃草,再牵马去河边ON喝水, 最后回到驻地A, 问:这位将军怎样走路程最短?,O,M,N,(三)二次轴对称:,一点在两相交直线内部,例3变式1:已知P是ABC的边BC上的
4、点, 你能在AB、AC上分别确定一点Q和R, 使PQR的周长最短吗?,(三)二次轴对称:,一点在两相交直线内部,例4:如图,A为马厩,B为帐篷,将军某一天要 从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马, 再到河边饮马,然后回到帐篷, 请你帮助确定这一天的最短路线。,(四)二次轴对称:,两点在两相交直线内部,例4答案:如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.,A,B,C,D,(四)二次轴对称:,两点在两相交直线内部,.,.,.,.,(四)二次轴对称:,两点在两相交直线内部,例4变式1:已知: MON和 MON内
5、两点A、B。 求作:点C和点D,使得点C在OM上, 点D在ON上,且AC+CD+BD+AB最短。,例4变式2:如图,OMCN是矩形的台球桌面,有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上, 试问怎样撞击白球,使白球A依次碰撞球台边OM、ON后,反弹击中黑球?,(四)二次轴对称:,两点在两相交直线内部,.,.,.,.,.,.,A,A,B,B,C,D,M,O,N,例4变式2:,(四)二次轴对称:,两点在两相交直线内部,(2)把A,B在直线同侧的问题转化为 在直线的两侧,化折线为直线,,将军饮马的实质:,(3)可利用“两点之间线段最短” 加以解决。,(1)求最短路线问题- 通过几何变换找对称图形。,反思是进步的阶梯,我的收获;,我的疑惑;,面对一个新的求线段最短问题时,我们可以通过怎样的途径去研究它?,