大学物理波动方程.ppt

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1、条件,8.4 波动方程,一、 机械波的产生,二、横波和纵波,介质质点的振动方向与波传播方向相互垂直的波；如柔绳上传播的波。,介质质点的振动方向和波传播方向相互平行的波；如空气中传播的声波。,波源：作机械振动的物体,横波：,纵波：,机械波:,机械振动以一定速度在弹性介质中由近及远地传播出去，就形成机械波。,弹性介质：承担传播振动的物质,波的传播方向,特点：具有波峰和波谷,横波,质点的振动方向,纵波,波的传播方向,质点振动方向,特点：具有疏密相间的区域,下面以横波为例观察波的形成过程,静止,振动状态传至4,振动状态传至7,振动状态传至10,振动状态 传至13,结论,(1) 波动中各质点并不随波前进

2、；,(2) 各个质点的相位依次落后,波动是相位的传播；,(3) 波动曲线与振动曲线不同。,波面和波线,在波传播过程中，任一时刻媒质中振动相位相同的点联结成的面。,波面:,沿波的传播方向作的有方向的线。,柱面波,在各向同性均匀介质中，波线波面。,波线:,波前:,在某一时刻，波传播到的最前面的波面。,注意,x,y,z,波面,波线,球面波,波面,波线,波面,波线,平面波,同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离。波长反映了波的空间周期性。,三、波长 周期 频率和波速,波前进一个波长距离所需的时间。周期表征了波的时间周期性。,单位时间内，波前进距离中完整波的

3、数目。频率与周期的关系为,振动状态在介质中的传播速度。波速与波长、周期和频率的关系为,(1) 波的周期和频率与介质的性质无关；一般情况下，与波源振动的周期和频率相同 。,纵波的波速为：,(2) 波速实质上是相位传播的速度，故称为相速度； 其大小主要决定于介质的性质，与波源及波的频率无关。,说明,固体既可以传播纵波也可以传播横波,液体和气体只能传播纵波，其波速由下式给出,固体媒质中传播的横波速率由下式给出：,稀薄大气中的纵波波速为,三、简谐波的波动方程,波面为平面的简谐波,介质传播的是谐振动，且波所到之处，介质中各质点作同频率的谐振动。,本节主要讨论在无吸收（即不吸收所传播的振动能量）、各向同性

4、、均匀无限大介质中传播的平面简谐波。,平面简谐波,平面简谐波,说明,简谐波是一种最简单、最基本的波，研究简谐波的波动规律是研究更复杂波的基础。,简谐波:,y,x,x,P,O,简谐振动,从时间看, P 点 t 时刻的位移是O 点,简谐振动,平面简谐波的波函数,时刻的位移;,从相位看，P 点处质点振动相位较O 点处质点相位落后,若,P 为任意点,其它形式,由波函数可知波的传播过程中任意两质点 x1 和 x2 振动的相位差为,x2x1, 0，说明 x2 处质点振动的相位总落后于x1 处质点的振动；,讨论,u 实际上是振动相位的传播速度。,t1 时刻x1 处的振动状态经t 时间传播到x1+x 处，则,

5、可得到,若波沿轴负向传播时，同样可得到波动方程:,其 它 形 式,如图，,在下列情况下试求波动方程：,(3) 若 u 沿 x 轴负向，以上两种情况又如何？,例,(1) 以 A 为原点；,(2) 以 B 为原点；,B,A,已知A 点的振动方程为：,(1)在 x 轴上任取一点P ，A点 振动方程为：,波函数为：,解,P,(2) B 点振动方程为：,(3) 以 A 为原点：,以 B 为原点：,波动方程:,表示在t1 时刻的波形,t 与 x 都发生变化,表示x1处质点的振动方程,波动方程的物理意义,x=x1（常数）,t=t1（常数）,表示介质中任何质点在任意时刻的位移,已知t1时刻的波形图（紫色），要

6、确定t=t1+t时刻的波形图，只须将其沿波的传播方向平移ut的距离即可（红色）,t=t1时,t=t1+t时,可以证明三维的波动方程为：,其中为质点的位移,从上两式可得波动方程：,波动方程的一般形式,波速 u =400m/s, t = 0 s时刻的波形如图所示。写出波动方程。,设波动方程为,t = 0 s时刻yo=2m，vo0，所以,O点处的质点的位移及速度,例,解,同理，对于P点有,t = 0 s时刻yP=0，vP0，所以,波动方程为,沿x轴负向传播的平面简谐波在t=2s时的波形曲线如图，设波速u=0.5m/s求原点0的振动表达式。,t=2s,由图知,t=0原点0:,例,解,一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为,(1) a. 比较法(与标准形式比较）,标准形式,波函数为,比较可得,例,解,求,(1) 波的振幅、波长、周期及波速； (2) 质点振动的最大速度。,振幅,波长,周期,波速,(2),b.分析法（由各量物理意义，分析相位关系）,