机械振动基本.ppt

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1、理论力学多媒体课件 单 位：理学院工力系 制作人：商 泽 进 时 间：2013、03,第十五章 机械振动基础,理论力学,理论力学,机械振动基础,振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。,利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。,3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。,2. 振动的利弊：,1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,理论力学

2、,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,机械振动基础,本章重点讨论单自由度系统的自由振动和受迫振动。,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,机械振动基础,第十五章 机械振动基础,单自由度系统的自由振动 计算固有频率的能量法 单自由度系统的有阻尼自由振动 单自由度系统的无阻尼受迫振动 单自由度系统的有阻尼受迫振动 转子的临界转速 隔振,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,1.自由振动微分方程,l0 弹簧原长； k 弹簧刚度系数；,st 弹簧的静变形；,取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：,恢复力：物体偏离平衡位置

3、后受到的与偏离距离成正比且与偏离方向相反的合力,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动,令 ，则,无阻尼自由振动微分方程的标准形式。二阶齐次线性常系数微分方程，其通解为,理论力学,无阻尼自由振动是简谐振动,2. 无阻尼自由振动的特点,（1）固有频率,无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动,f 称为振动的频率，单位为1/s或Hz,w0 称为圆频率（固有频率），表示每2p秒内振动的次数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数k有关。,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动

4、,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。,（2）振幅与初相位,A相对于振动中心O的最大位移，称为振幅。 0 t + q 决定了质点在某瞬时 t 的位置，称为相位。 q 决定质点运动的初始位置，称为初相角。,振幅A和初相角q 两个待定常数由运动的初始条件确定。,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,例 题 15.1 提升重物系统中，钢丝绳的横截面积A2.89104m2，材料的弹

5、性模量E200GPa。重物的质量m6000kg，以匀速 v 0.25m/s 下降。当重物下降到 l 25m 时，钢丝绳上端突然被卡住。,求：（1）重物的振动规律； （2）钢丝绳承受的最大张力。,解：（1）重物的振动规律 钢丝绳重物系统可以简化为弹簧质量系统，弹簧的刚度为,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,设钢丝绳被卡住的瞬时t0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为坐标，则系统的振动方程为,方程的解为,利用初始条件,求得,重物的运动方程为,理论力学,（2）钢丝绳承受的最大张力。,取重物为研究对象,静平衡位置,当前位置：理论力

6、学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,例题15.2 均质等截面悬臂梁，长度为 l，弯曲刚度为EI。梁的自由端放置一质量为m的物块，其静挠度为dst。若不计梁的质量，物块在梁未变形位置处无初速释放，求系统的振动规律。,解：此无重弹性梁相当于一个弹簧，其静挠度相当于弹簧的静伸长，则梁的刚度系数为,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,分析物块运动到任意位置(坐标为x)时的受力，有,设 ，则,上述振动微分方程的解为,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五

7、章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,初始条件为,振幅为,初相角为,系统的自由振动规律为,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,3. 弹簧的并联与串联,（1）弹簧并联,并联,则此并联系统的固有频率为,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,串联,（2）弹簧串联,则此串联系统的固有频率为,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,（3）多个弹簧的并联和串联,n个弹簧并联后的等效刚度系数,n个弹簧并联系统的固有频率,n个弹簧串联后的等效刚度系数,n个弹簧串联系统的固有频率

8、,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,例题15.3 图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 且k1 =2 k2 =3 k3=4 k4 。假设质量为m的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。试求此系统的固有频率。,解：（1）计算3、4的等效刚度,（2）计算2、3、4的等效刚度,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,（3）计算系统的等效刚度,（4）计算系统的固有频率,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,4.其他类型的单自由度

9、振动系统,工程上很多振动系统都可以用相同形式的运动微分方程表示,扭振系统,由刚体转动微分方程有,令 ，则,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,例题15.4 图示结构中，不计质量的杆OA在水平位置处于平衡，若k、m、a、l 等均为已知。求：系统微振动的固有频率。,解：取静平衡位置为其坐标原点，由刚体转动微分方程，有,在静平衡位置处，有,考虑到微转角，则,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的自由振动,在静平衡位置处，有,考虑到微转角，则,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,计算固有频率的能量法,

10、物块的动能为,取静平衡位置为零势能点，有,在静平衡位置处，有,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,物块在平衡位置处，其动能最大,物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大,无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒,计算固有频率的能量法,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,计算固有频率的能量法,解：设OA杆作自由振动时， 其摆角 的变化规律为,系统的最大动能为,系统的最大势能为,由机械能守恒定律有,例题15.5 由能量法解 例题15.4,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,计算固有频率的能量法,理论力学,（用第二类拉格朗日方程解

11、）,由运动学可知：,解：取摆角 为广义坐标，则系统的动能,系统的势能,拉格朗日函数为,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,计算固有频率的能量法,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,计算固有频率的能量法,微振动固有频率为,理论力学,例15.7 用能量法求固有频率,解：设摆角 的变化规律为,系统的最大动能为,取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为,考虑到微转角，则,计算固有频率的能量法,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,理论力学,计算固有频率的能量法,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,由机械能守恒定律有,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五

12、章机械振动基础,单自由度系统的有阻尼自由振动,阻尼振动过程中的阻力。 干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。,当振动速度不大时，由介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。,c粘性阻力系数（阻力系数）,1. 阻尼,理论力学,单自由度系统的有阻尼自由振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,2. 振动微分方程,取平衡位置为坐标原点，在建 立此系统的振动微分方程时， 可以不再计入重力的影响。,物块的运动微分方程为,弹性恢复力,粘性阻尼力,令,阻尼系数,理论力学,单自由度系统的有阻尼自由振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基

13、础,本征方程,本征根,本征根为实数或复数时，通解的形式不同，运动规律有很大的不同。,设其解为,振动微分方程的通解为,理论力学,单自由度系统的有阻尼自由振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,3. 欠阻尼状态,振动微分方程的解为,利用初始条件,求得,或,当 d 0 时，阻力系数 ，这时阻尼较小，称为欠阻尼状态。本征方程的两个根为共轭复数，即：,理论力学,单自由度系统的有阻尼自由振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,衰减振动的周期：,引入阻尼比：,得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系：,衰减振动,A2,A1,理论力学,单自由度系统的有阻尼自由振动,当前位置：

14、理论力学 动力学第十五章机械振动基础,两个相邻振幅之比称为减缩因数,振幅,对上式两端取自然对数，得到对数减缩,理论力学,单自由度系统的有阻尼自由振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,理论力学,单自由度系统的有阻尼自由振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,4.临界阻尼和过阻尼状态,当 d = 0 时，阻力系数 ，称为临界阻力系数。本征方程有两个相等的实根，即：,振动微分方程的解为,C1和C2两个积分常数由运动的初始条件决定。,物体的运动随时间的增长无限地趋向平衡位置，运动已经不具备振动的特点。,理论力学,单自由度系统的有阻尼自由振动,当前位置：理论力学 动力学第十

15、五章机械振动基础,当 d 0 时，阻力系数 ，称为过阻尼状态。本征方程有两个不等的实根，即：,振动微分方程的解为,C1和C2两个积分常数由运动的初始条件决定。,理论力学,单自由度系统的有阻尼自由振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,例题15.8 质量弹簧系统，P=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。求阻尼系数c 。,解：,由于 很小，,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的无阻尼受迫振动,受迫振动的概念 受迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力： H力幅； 激振力的角频率 ；j 激振力的初相位。,无阻尼

16、受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。,1、振动微分方程,理论力学,单自由度系统的无阻尼受迫振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,为对应齐次方程的通解 为特解,3、受迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。,2. 受迫振动的振幅,1、简谐激振力下，单自由度系统受迫振动亦为简谐振动。,2、受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。,理论力学,单自由度系统的无阻尼受迫振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,(1) 0时,(2) 时，振幅b随 增大而增大；当 时，,(3)

17、时，振动相位与激振力相位反相，差 。,b 随 增大而减小；,理论力学,单自由度系统的无阻尼受迫振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,3、共振现象,，这种现象称为共振。,此时，,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的有阻尼受迫振动,将上式两端除以m ，并令,有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程。,理论力学,单自由度系统的有阻尼受迫振动,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,x1是齐次方程的通解,欠阻尼：,（A、q 积分常数，取决于初始条件）,振动微分方程的全解为,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动

18、基础,单自由度系统的有阻尼受迫振动,振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程。 仅剩下受迫振动部分的过程稳态过程（需着重讨论部分）,因此：,阻尼对受迫振动的影响,1、振动规律 简谐振动。 2、频率： 有阻尼受迫振动的频率，等于激振力的频率。 3、振幅,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的有阻尼受迫振动,(1),共振频率,此时：,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的有阻尼受迫振动,相位差： 有阻尼受迫振动相位总比激振力滞后一相位角， 称为相位差。,(1) 总在0至 区间内变化。 (2) 相频曲线（ - 曲线）是一条单调上升的曲线。 随 增大而增大。 (3) 共振时 =1， ，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线，均交于这一点。 (4) 1时， 随 增大而增大。当 1时 ，反相。,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的有阻尼受迫振动,例题15.9 已知P=3500N，k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求b, ,受迫振动方程。,解：,理论力学,当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础,单自由度系统的有阻尼受迫振动,理论力学,第十五章结束,