南航戴华《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵.ppt

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1、第5章 Hermite矩阵与正定矩阵,5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型,5.4 Hermite矩阵的特征值*,5.3 矩阵不等式,5.2 Hermite正定（非负定）矩阵,5.1 Hermite矩阵与Hermite二次型,5.1.1 Hermite矩阵,5.1.2 矩阵的惯性,5.1.3 Hermite二次型,5.1.1 Hermite矩阵,Hermite矩阵具有如下简单性质：,(1) 如果 A是Hermite矩阵，则对正整数 k，Ak 也是 Hermite矩阵；,(2) 如果 A是可逆Hermite矩阵，则A-1 是Hermite矩阵；,(3) 如果 A,B是Hermite矩

2、阵，则对实数k,p, kA+pB 是 Hermite矩阵；,若A,B是Hermite矩阵，则 AB是Hermite矩阵的 充分必要条件是AB = BA；,(5) A是Hermite矩阵的充分必要条件是对任意方阵 S， SH AS是Hermite矩阵。,定理5.1.1,定理5.1.2 设 A为n 阶Hermite矩阵，则 (1) A的所有特征值全是实数； (2) A的不同特征值所对应的特征向量是互相正交的。,定理5.1.3 设 ，则 A是Hermite矩阵的充分 必要条件是存在酉矩阵U使得,定理5.1.4 设 ，则 A是实对称矩阵的充分 必要条件是存在正交矩阵Q使得,5.1.2 矩阵的惯性,定理

3、5.1.5 设 A是n 阶Hermite矩阵，则 A相合于矩阵,其中 r = rank(A)，s是 A的正特征值（重特征值按 重数计算）的个数。,(5.1.3)中矩阵称为n 阶Hermite矩阵 A的相合标准形。,定理5.1.6(Sylvester惯性定律） 设 A,B是n 阶Hermite 矩阵，则 A与B相合的充分必要条件是,5.1.3 Hermite二次型,则 A为Hermite矩阵。称矩阵A为Hermite二次型的 矩阵，并且称 A的秩为Hermite二次型的秩。,记,利用Hermite二次型的矩阵，Hermite二次型可 表示为,设P是n阶可逆矩阵，作线性变换x = Py，则,Her

4、mite二次型中最简单的一种是只包含平方 项的二次型,称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的 标准形。,定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形,定理5.1.8 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在可逆 线性变换x = Py 使得Hermite二次型f (x)化为,其中 r = rank(A)，s = (A).,Hermite二次型可分为五种情况,定义5.1.1 设f (x) = xHAx为Hermite二次型。,定理5.1.9 对Hermit

5、e二次型f (x) = xHAx, 有,5.2 Hermite正定（非负定）矩阵,定义5.2.1,正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：,定理5.2.1 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价：,(1) A是正定矩阵；,(2) 对任意n 阶可逆矩阵P,PHAP 都是Hermite正定 矩阵；,(3) A的n 个特征值均为正数；,(4) 存在n 阶可逆矩阵P使得PHAP = I；,(5) 存在n 阶可逆矩阵Q使得A = QHQ；,(6) 存在n 阶可逆Hermite矩阵S 使得A = S2.,推论5.2.1,定理5.2.2 设 A是n 阶Hermite矩阵，则下列命题等价：,(1) A是

6、非负定矩阵；,(2) 对任意n 阶可逆矩阵P, PHAP是Hermite非负定 矩阵；,(3) A的n 个特征值均为非负数；,推论5.2.2,定理5.2.3 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 A的顺序主子式均为正数，即,定理5.2.4 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 A的所有主子式全大于零。,定理5.2.5 n 阶Hermite矩阵 A非负定的充分必要条件 是A的所有主子式均非负。,定理5.2.6 n 阶Hermite矩阵 A正定的充分必要条件是 存在n 阶非奇异下三角矩阵 L 使得,定义5.2.2,则称为广义特征值问题 的特征值，非零 向量 x 称为对应于特

7、征值的特征向量。,定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B0， 则存在非奇异矩阵 P 使得,5.3 矩阵不等式,定义5.3.1 设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，若AB0， 则称A大于或等于B（或称 B小于或等于 A），记作 AB（或BA）；若AB0，则称A大于B（或称 B小于A），记作AB或（BA）。,设 A,B 都是n 阶Hermite矩阵，由定义5.3.1得,注意,(1) 任意两个实数总可以比较大小。但任意两个n 阶 Hermite矩阵未必能“比较大小”，即并非AB或 BA两者之中必有一成立。,(2) 对任意两个实数a和b，如果a b，而ab，则 有a =

8、b。但对两个n(n 2)阶Hermite矩阵A与B， 从A B和AB，不能推出A = B。,矩阵的“”是Hermite矩阵集合中的一种偏序 关系。,定理5.3.1 设A, A1, B, B1, C均为n 阶Hermite矩阵，则,定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A0, B0， 则,定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则 其中 和 分别表示A的最大和最小特征值。,推论5.3.1 设A是Hermite非负定矩阵，则 A tr(A) I 。,定理5.3.4 设A, B均为n 阶Hermite矩阵，则,定理5.3.5 设A,B均为n 阶Hermite矩阵,且AB = BA,则,定理5.3.6,5.4 Hermite矩阵的特征值*,定义5.4.1,为Hermite矩阵A的Rayleigh商。,定理5.4.1,定理5.4.2,定理5.4.3,定理5.4.4,定理5.4.5,则,则,定理5.4.6,