2022年高等数学求极限的常用方法附例题和详解.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高等数学求极限的14 种方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、极限的定义1. 极限的保号性很重要：设limf xA ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ i ）如 A0 ,就有0 ,使得当 0| xx0 |时, f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ii）如有0, 使得当 0| xx0 |时 , fx0,就A0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载

2、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为x时函数的极限和xx0 的极限.要特殊留意判定极可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_限是否存在在：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ i ）数列xn 收敛于 a的充要条件是它的全部子数列均收敛于a.常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ ii ）limxf xAlimxf xlimAx可编辑资料 - - - 欢迎下载

3、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(iii) limf xAlimlimA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(iv) 单调有界准就（ v）两边夹挤准就（夹逼定理/ 夹逼原理）（ vi） 柯 西 收 敛 准 就 （ 不 需 要 掌 握 ） . 极 限limf x存 在 的 充 分 必 要 条 件 是 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0,0, 使得当 x1、x20U o x时,恒有xx0| f x1 f x2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二解决极限的

4、方法如下：1. 等价无穷小代换.只能在乘除时候使用.例题略.2. 洛必达（ L hospital）法就（大题目有时候会有示意要你使用这个方法）洛必达法就（定理）设函数 fx）和 Fx ）满意以下条件：xa 时, lim fx=0,lim Fx=0;在点 a 的某去心 邻域 内 fx）与 Fx ）都可导,且Fx ）的 导数 不等于 0;xa 时, limfx/Fx）存在或为无穷大就xa时, limfx/Fx=limfx/Fx注：它的使用有严格的使用前提.第一必需是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情形下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不行能是负无穷.其

5、次, 必需是函数的导数要存在,假 如告知 f （x ）、g（x ）, 没告知是否可导,不行直接用洛必达法就.另外, 必需是 “0 比 0”或“无穷大比无穷大”, 并且留意导数分母不能为0.洛必达法就分为3 种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（i ）“0 ”“”时候直接用0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(ii) “ 0”“”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了.通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - -

6、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_项之后,就能变成i中的形式了.即f x g xf x 1或f x g xg x 1.f xg x1g x11f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g xf xf x g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(iii) 00f x g x g x lnf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“ 0”“ 1 ”“”对于幂指函数, 方法

7、主要是取指数仍取对数的方法,即e,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这样就能把幂上的函数移下来了,变成“0”型未定式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 泰勒公式 含有ex 的时候,含有正余弦的加减的时候）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ex1xxx ne xx n 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.n.n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_35sin xxxx1mx 2 m 11 m 1cos xx2m 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3.

8、5. 2m1. 2m3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24cos=1xx2.4.1mx2m 2m.1 m1cos 2mx 2.x 2 m 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23ln （ 1+x） =x- xx23nx1n 1n1 nnxn 111x n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1+xu =1uxu u2.1 x 2C n xnn 1 1x un 1 xn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

9、_精品资料_uCu以上公式对题目简化有很好帮忙可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_mm14. 两多项式相除 : 设an ,bm 均不为零 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nP（ x ）= an xan 1x n 1a1 xa0 ,Q xbxmbm 1xb1 xb0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(i) Px an , m bnn（ ii）如Qx 0P xP x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim0, nm0,就limQ xQ x 可

10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xQ x, nmxx0 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 无穷小与有界函数的处理方法.例题略.面对复杂函数时候,特殊是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,肯定要留意这个方法.面对特别复杂的函数可能只需要知道它的范畴结果就出来了.6. 夹逼定理： 主要是应用于数列极限,常应用放缩和扩大不等式的技巧.以下面几个题目为例： （1）设 abc0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xabnnnnnncn ,求lim xn可编

11、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnn解：由于 axna3,以及lim aa,lim an 3a ,由夹逼定理可知lim xna可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）求1nlimn21n1 212n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 01 n21n1 21 2n 211n2n211n2n,以及lim 01nnlim n0可知,原式 =0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

12、- - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -n2223求 lim111n1n2nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由11nn1111nn21n21n2n1n 2n1n2n1n 2nnn2n,以及可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnlim 1limnn2n1nlim11n1得,原式 =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

13、n17. 数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 肯定值要小于1）.例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2求 lim 12x3xnx| x |1) .提示：先利用错位相减得方法对括号内的式子求和.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）.例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11nlim12231nn1= lim111111n n1lim111 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn2239. 利用xx与xn1

14、 极限相同求极限.例如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）已知 a1n2,a n 121 ,且已知a nlim an 存在,求该极限值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解: 设 lim a n =A,（明显A0 ）就 A21 ,即 A2A2 A10 ,解得结果并舍去负值得A=1+2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）利用单调有界的性质 .利用这种方法时一定要先证明单调性和有界性.例如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n设 x1

15、2, x222 , xn2xn1 , 求 lim xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ i ）明显x1x22 （ ii）假设xk 1xk2, 就2xk 12xk22 ,即xkxk 12 .所以,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nxn是单调递增数列,且有上界,收敛.设limA ,（明显A0 就 A2A ,即A2A20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n解方程并舍去负值得A=2. 即 lim xn210. 两个重要极限的应用.可编辑资料 - - -

16、 欢迎下载精品_精品资料_（ i ） limsin x1常用语含三角函数的“0 ” 型未定式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0x01可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(ii) lim1x xe ,在“ 1”型未定式中常用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 仍有个特别便利的方法就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的,n n 快于n； ,n ；快可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于指数型函数b n b 为常数 ,指

17、数函数快于幂函数, 幂函数快于对数函数.当x 趋近无穷的时候,它们比值的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_极限就可一眼看出.12. 换元法.这是一种技巧,对一道题目而言,不肯定就只需要换元,但是换元会夹杂其中.例如：求极限arccosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim2 .解：设 tarccos x, 就x0时, t0,且xcostsin t .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0sin 2x2xarccosx222arccosx2t1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原式 =limlimlim可编辑资料 - - - 欢迎下载精

18、品_精品资料_x0sin 2x2xx02xt02sin t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13 利 用 定 积 分 求 数 列 极 限 . 例 如 ： 求 极 限nlim11n1n21. 由 于1nnni1n, 所 以1in可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

19、- 欢迎下载精品_精品资料_11nn1n2nnn111nnnnlim11lim112 1ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 利用导数的定义求“0 ”型未定式极限.一般都是x0 时候,分子上是“0f axf a ”的形式,观察了这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_种形式要留意记得利用导数的定义.（当题目中告知你就是示意肯定要用导数定义）f（ a）m 告知函数在详细某一点的导数值时,基本上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 : 设f a0,

20、 f a存在,求nlimnfa1nfa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：原式 = lim1fa1 nnfalim11f a nf a f af a 1nf af a1nf af a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nf a nf a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n=lim1f a n1enf a 1ef a f a f a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载