2022年高中数学基本不等式知识点归纳及练习题.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点高中数学基本不等式的巧用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1基本不等式：abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1基本不等式成立的条件：a 0, b 0. 2等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号 2 几个重要的不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1a2 b2 2aba,bR.2 ba2a,b 同号.3ab a b ab22a, bR.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2 b242ab 22a, bR可编辑资料 - -

2、- 欢迎下载精品_精品资料_3 算术平均数与几何平均数设 a0,b0,就 a,b 的算术平均数为a b2,几何平均数为ab,基本不等式可表达为两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4 利用基本不等式求最值问题已知 x0,y0,就1假如积 xy 是定值 p,那么当且仅当 xy 时, x y 有最小值是 2p.简记：积定和最小 p22假如和 xy 是定值 p,那么当且仅当x y 时, xy 有最大值是 4 .简记：和定积最大 一个技巧运用公式解题时,既要把握公式的正用,也要留意公式的逆用,例如a2b22ab 逆用就是可编辑资料 - - - 欢迎

3、下载精品_精品资料_aba2 b22.ab2aba, b 0逆用就是 aba b 22a, b 0等仍要留意 “ 添、拆项 ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧和公式等号成立的条件等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两个变形a2 b212ab 2aba,bR,当且仅当 ab 时取等号 . 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b222a b2ab121a0,b0,当且仅当 a b 时取等号 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ba这两个不等式链用处很大,留意把握它们三个留意1使用基本不等

4、式求最值,其失误的真正缘由是其存在前提“一正、二定、三相等” 的忽可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不行 2在运用基本不等式时,要特殊留意“ 拆”“ 拼”“ 凑”等技巧,使其满意基本不等式中 “ 正 ”“ 定 ”“ 等 ” 的 条 件 3连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满意任

5、何一次的字母取值存在且一样应用一：求最值例 1：求以下函数的值域211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） y 3x解题技巧： 技巧一：凑项 2x 2（ 2） y x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1：已知 x5,求函数y44x214x5的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧二：凑系数例 1.当时,求技巧三 ： 分别yx82x 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3.求 yx27x10 x1 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1.

6、技巧四 ：换元可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧五：留意：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,应结合函数f xxa 的单调性.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：求函数yx25x24的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习求以下函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） yx23x x1 , x0（2） y2x1, xx333y2sin x1, x sin x0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -

7、 - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知 0x1,求函数yx1x 的最大值 . .3 0x2 ,求函数3yx23x 的最大值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条件求最值1. 如实数满意ab2 ,就3a3b 的最小值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：如log 4 xlog 4 y2 ,求11的最小值 . 并求 x, y 的值xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错.

8、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2：已知 x0, y0 ,且 191,求 xy 的最小值.xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：（ 1）如x, yR且 2 xy1 ,求 1 x1 的最小值y可编辑资料 - -

9、 - 欢迎下载精品_精品资料_2 已知a, b, x, yR且 abxyy221 ,求 xy 的最小值2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_技巧七、已知x, y 为正实数,且x 2 1,求 x1 y的最大值 .1技巧八：已知a, b 为正实数, 2b ab a 30,求函数y ab 的最小值 .技巧九、取平方5、已知 x, y 为正实数, 3x 2y 10,求函数 W3x 2y 的最值 .应用二：利用基本不等式证明不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1已知a, b, c 为两两不相等的实数,求证：a 2b 2c 2abbcca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_

10、精品资料_1）正数 a, b, c 满意 a bc 1,求证： 1 a1 b1 c 8abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6：已知 a、b、cR ,且abc1.求证：1111118可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc应用三：基本不等式与恒成立问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：已知 x0, y0 且 191 ,求使不等式xym 恒成立的实数m 的取值范畴.xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用四：均值定理在比较大小中的应用：1ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例：如 ab1, Plg alg b ,

11、Qlg a2lg b, Rlg ,就2P, Q, R 的大小关系是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：（ 1） y 3x 212 23x 2x121 26值域为 6 , +） 2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）当 x 0 时, y xx 2x x 2.111当 x0 时,y x x =（x x） 2x x = 2值域为（,2 2 ,+）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - -

12、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 因 4x50 ,所以第一要 “调整” 符号, 又 4 x214x不是常数, 所以对 4x52 要进行拆、 凑项,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x5 ,54x0 ,y4 x2154x13231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_44 x554x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当54 x1,即 x54x1时,上式等号成立,故当x1 时,ymax1 .可编辑

13、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值.解析：由知,利用基本不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_积的形式, 但其和不是定值.留意到 2 x82x8 为定值, 故只需将yx82x 凑上一个系数即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当,即 x2 时取等号当 x2 时,yx82 x的最大值为8.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注： 此题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值.解析一：此题看似无法运用

14、基本不等式,不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项,再将其分别.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当, 即时, y2 （ x14x159 （当且仅当x 1 时取“”号）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析二：此题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t =x 1,化简原式在分别求最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yt127t1）+10t 25t=4t45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ttt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当, 即 t =时, y2t459 （当 t =2 即 x 1 时取“”号）.t可编辑资料 -

15、- - 欢迎下载精品_精品资料_评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值.即化为ymg xAg xB A0, B0 ,g x 恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令x24t t2 ,就 yx5x411t t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22x24x24t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因 t0, t11 ,但 t t11解得 tt1 不在区间2,故等

16、号不成立,考虑单调性.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 yt在区间1,单调递增,所以在其子区间2,为单调递增函数,故y.t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,所求函数的值域为5 ,.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：“和”到“积”是一个缩小的过程,而且3a3b 定值,因此考虑利用均值定理求最小值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：3a 和3b 都是正数,3 a3b 23a3b23a b6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 3a3b 时等号成立,由ab2 及 3a3b 得 ab1即当 ab1时,3

17、a3b 的最小值是6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错解：x0, y0 ,且 191 ,xy19xy22xy12故xy12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9xyxyxymin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_错因：解法中两次连用基本不等式,在x

18、y2xy 等号成立条件是xy ,在 1929等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条件是 19 即 yxyxyxy9 x , 取等号的条件的不一样,产生错误.因此,在利用基本不等式处理问题时,列出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正解 ：x0, y0, 191,xyxy19y9 x1061016可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxyxy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y当且仅当9x时,上式等号成立,又191,可得 x4

19、, y12 时,xy16.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyxya2 b 2min可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采纳公式ab2.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22121 y1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同时仍应化简1 y2中 y 前面的系数为,x1y2 x22 x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_下面将 x,1 y分别看成两个因式：22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22y121y 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y 2

20、x2 22x 2 22x 2 232 4即 x1 y 2 2 x1y 232 2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的.二是直接用基本不等式,对此题来说,因已知条 件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法一： a30 2bb1,ab30 2bb 1b 2 b2 30b b 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由 a

21、 0 得, 0 b 152t 34t 31161616可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 t b+1, 1 t 16, ab1 2（ t t） 34 t t 2t 8tt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ab 18 y当且仅当t 4,即 b3, a 6 时,等号成立.18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二：由已知得：30 ab a2b a2b 22 ab 30 ab 22 ab令 uab就 u222 u30 0, 52 u 321ab 32 ,ab 18, y 18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评： 此题考查不等式ab2ab

22、（ a, bR ）的应用、 不等式的解法及运算才能.如何由已知不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式 aba2b30（ a ,bR ）动身求得 ab 的范畴, 关键是查找到ab与ab 之间的关系, 由此想到不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式 ab 2ab（a , bR ）,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得ab 的范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： 1. 已知 a0,b0, ab a b 1,求 a b 的最小值.2. 如直

23、角三角形周长为1,求它的面积最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法一：如利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a b2a 2 b22,此题很简洁可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习必备精品学问点3x 2y2（3x ） 2（2y ） 2 23x 2y 25解法二：条件与结论

24、均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2W 0, W 3x 2y 23x 2y 10 23x 2y 10 3x W20 252 2y 2 10 3 x 2y 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式 :求函数 y2x152 x 1x5 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：留意到2 x221与 52x 的和为定值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 22 x152 x 2422 x152x42 x152 x8可编辑资料 - - - 欢迎

25、下载精品_精品资料_又 y0 ,所以 0y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 2x1= 52x ,即 x3时取等号.故2ymax2 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用基本不等式制造了条件.总之,我们利用基本不等式求最值时,肯定要留意“一正二定三相等”,同时仍要留意一些变形技巧,积极制造条件利用基本不等式.分析：不等式右边数字8 ,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2 ”连乘,又可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111abc2bc,可由此变形入手.可编辑资料 - - -

26、欢迎下载精品_精品资料_aaaa解：a、b、cR, abc1.111 abc2 bc1.同理12ac1,12ab.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaabbcc上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111112bc2ac2ab8 .当且仅当abc1时取等号.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcabc3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令xyk, x0, y0, 191 ,xy9x9 y1.10y9 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11023.k16xy, m,16kxkykkxky可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： ab1 lg a0,lg b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1Q （ lg a2lg blg alg bp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_R lgab 2lgab1 lg abQ 2 RQP.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载