2022年大学微积分知识点总结.docx

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1、精品_精品资料_高校微积分 l 学问点总结【第一部分】高校阶段预备学问1、不等式 :abab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2b 22ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abc 33 abc引 申a1a2.an nn a1a2.an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3b3211abc33abcabab 2a 2b22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_双向不等式 :a - babab 两

2、侧均在 ab0 或 ab 0 时取等号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_扩展：如有 yx1 . x 2 . x n,且 x1nx 2.xnp p为常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就y的最大值为： x1x 2.x nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222222柯西不等式 : 设 a1、a2、 an,b 1、b2、 bn 均就是实数 , 就有:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1b1a2b2.anbna1a2. anb1b2.bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编

3、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当, aibi为常数, i1,2,3.n时取等号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、函数周期性与对称性的常用结论1、如 fx+a= fx+b,就 fx 具有周期性 ; 如 fa+x= fb-x,就 fx具有对称性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_口诀: “内同表示周期性 , 内反表示对称性”2、周期性1 如 fx+a=fb+x,就 T=|b-a|2 如 fx+a=-fb+x,就 T=2|b-a| 3 如 fx+a= 1/fx,就 T=2a4 如 fx+a= 【1-fx】/ 【1+fx 】, 就 T=2a5 如 f

4、x+a= 【1+fx 】/ 【1-fx】, 就 T=4a 3、对称性1 如 fa+x=fb-x,就 fx 的对称轴为 x=a+b/22 如 fa+x=-fb-x+c,就 fx 的图像关于 a+b/2,c/2对称4、函数图象同时具备两种对称性 , 即两条对称轴 , 两个对称中心 , 一条对称轴与一个对称中心 , 就函数必定为周期函数 , 反之亦然.(1) 如 fx 的图像有两条对称轴 x=a 与 x=b, 就 fx 必定为周期函数 , 其中一个周期为 2|b-a|.(2) 如 fx的图像有两个对称中心 a,0 与b,0,ab, 就 fx必定为周期函数, 其中一个周期为 2|b-a|.(3) 如

5、fx的图像有一个对称轴 x=a 与一个对称中心 b,0,a b, 就 fx必定为周期函数 , 其中一个周期为 4|b-a|.3、三角函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Lmnn正弦 sinlm余弦cosln正切tanm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余切 cotm n倒数关系 :正割secl m余割 cscl n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan1cotsin1csccos1sec可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_商的关系 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin

6、costansec csccos sincotcsc sec可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平方关系 :sin 2cos211tan211cot 21平常针对不同条件的两个常用公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2tancos21. cot1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个特殊公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinsinsin- sinsinsin-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二倍角公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2 A cos2 Atan2A2sinA .

7、 cosA cos2A - sin2A 2tanA1- tan2 A1- 2sin2A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_半角公式 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2 a21 1- cosa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos2a 21 1cosa2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan a 2sina1cosa1- cosa sina可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cot a 2sina 1- cosa1cosa sina可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三倍角公式 :可编辑资料 - - -

8、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin3a4sina .sin3a . sin- a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos3a4cosa . cos3a. cos- a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tan3atana. tan3a. tan- a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_万能公式 :2tan asina21tan2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosa1- tan2a

9、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan2 a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tana2tan a21- tan2 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两角与公式 :sinsin . coscos . sinsin-sin . cos- cos .sincoscos .cos- sin .sincos-cos .cossin .sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tantan-tan 1- tan tantan. tan- tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan . tan与差化积公式 :可编辑资料

10、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinsin2sin1 cos-122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin- sin2cos1 sin-122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_coscos2cos1 cos-122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos- cos- 2 sin1 sin-122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanAta

11、nBsin ABtan AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos A . cos B1tan A . tan B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanA - tanBsinA- Btan A - B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosA. cosB积化与差公式 :1tanA .tanB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin. sin- cos- cos-1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos. coscoscos-12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精

12、品资料_sin. cossinsin-12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_口诀: 奇变偶不变 , 符号瞧象限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： acoaAbsinAa2b2 sin AM ,其中tanMab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证：设 acosAbsinAx .sin AM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_acosA由题, axbsinA2bxxa cosA x21,sinMb sinA xa,cosMbxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xab原式得证4、数学归纳法数学上证明与自然数 N有关的命题

13、的一种特殊方法 , 它主要用来争论与正整数有关的数学问题 , 在高中数学中常用来证明等式成立与数列通项公式成立.22例如: 前 n 个奇数的总与就是 n , 那么前 n 个偶数的总与就是 :n +n最简洁与最常见的数学归纳法证明方法就是证明当n 属于全部正整数时一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个表达式成立 , 这种方法由下面两步组成 :递推的基础 : 证明当 n=1 时表达式成立递推的依据 : 证明假如当 n=m时成立 , 那么当 n=m+1时同样成立1 第一数学归纳法证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立 ,n 0 对于一般数列取值为 0 或 1, 但也有特殊情形假设 n

14、=kk n0 ,k 为自然数 时命题成立 , 证明当 n=k+1 时命题也成立（ 2）其次数学归纳法对于某个与自然数有关的命题 Pn验证 n=n0 时 Pn 成立假设 n0 nk 时 Pn 成立, 并在此基础上 , 推出 Pk+1 成立(3) 倒推归纳法验证对于无穷多个自然数 n 命题 Pn 成立假设 Pk+1 成立, 并在此基础上 , 推出 Pn 成立(4) 螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题验证 n=n0 时 Pn 成立假设 Pk k n0 成立, 能推出 Qk 成立, 假设 Qk 成立, 能推出 Pk 成立.5、初等函数的含义概念: 初等函数就是由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、

15、反三角函数与常数经过有限次的有理运算以及有限次数函数复合所产生, 并且能用一个解析式表示的函数.【有理运算 : 加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方】【基本初等函数 : 对数函数、指数函数、幂函数、三角函数、反三角函数】6、二项式定理 :即二项绽开式 ,即a+b n 的绽开式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nab nC 0anC 1a n-1 . b.C k an -k. bk.C n bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnn其中 C k 称为二次项系数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nC

16、 k an -k. bk 叫做二次项绽开式的通项,它是第 k1项,用 Tk1 表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k其中, Cnn . n - 1 . . n -k -1k -1Cn. n - k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k -1 ；. kk7、高等数学中代换法运用技巧倒代换把原式中的一个变元或原式中的一部分用另一个变元的倒数来代替, 此种方法被称为“倒代换”法增量代换如题目中已知 xm,就引入帮助元 x=m+aa0, 再将帮助元代入题中解题. 此种代换方法称为“增量代换法”三角代换x 2a2、a 2x2、

17、x2a 2双代换xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limnyn:引入两个帮助元进行代换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、其她一些学问点10 不就是正数 , 不就是负数.就是自然数. 0 就是偶数 , 偶数分为 : 正偶数、负偶数与 0（2） ）正偶数称为“双数”（3） ）正常数 : 常数中的正数（4） ）质数 : 又称“素数” .一个大于 1 的自然数 , 假如除了 1 与它自身以外 , 不能可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_被其她自然数整除的数 , 否就称为“合数”.最小的质 素 数就是 2.1 既不就是素数, 也不就是合数.（5） ） ex

18、p: 高等数学中 , 以自然对数 e 为底的指数函数（6） ）在数学符号中 ,sup 表示上界 ;inf表示下界（7） ） : 表示恒等于（ 8） 0 的阶乘就是 1、阶乘就是一个递推定义 , 递推公式为 : n；=nn-1 ；由于 1的阶乘为 1, 即 1；=10；, 故 0； =1【其次部分】函数与极限常用结论 等价无穷小很重要 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x n1nx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x n11 x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ex1x可编辑资料 - - - 欢迎

19、下载精品_精品资料_11 - xx1xex1ln 1 xx x1时成立x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11enn1 - 1 1ne可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11其中,n718e,e 为初等函数 , 又称“幂指函数” ,e 即依据此公式得到 ,e 2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11- n21222n1.n2n n1 2n16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -

20、 - 欢迎下载精品_精品资料_1323.n32n n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_saa2.ana n 1 - asa -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an - bna - ba n -1a n-2 b.b n-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11am - bma - b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_am-1am -2 . b.bm-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_v x如 lim u xa0,lim v

21、 xb a、b为常数,就 lim u xab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0xx 0xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11f xf xe一些重要数列的极限 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln 1 xxex -1xax - 1xlna可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x- 1xarcsinxxarctanxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另一些重要的数列极限 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1limk nn0 k0lim qn n0

22、 q 1为常数lim n an1 a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nlim ann；0 a为常数lim n n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0时, sinxxtanxx1 - cosx1 x 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列举一些趋向于 0 的函数:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ q 1, qn0a a0,b0, b0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_an a1, bnn - c0可编辑资料 - - -

23、 欢迎下载精品_精品资料_ 10 lnn柯西极限存在准就 :柯西极限存在准就又叫柯西收敛原理. 给出了极限收敛的充分必要条件就是 :对于任意给定的正数 , 存在这样的正整数 N,使得当 mN,n N时就有|xn-x m |.这个准就的几何意义表示 , 数列 Xn 收敛的充分必要条件就是 : 该数列中足够靠后的任意两项都无限接近.夹逼定理的两个条件 : 左右极限存在 ; 左右极限相等【极限运算的技巧总结 不包含教材介绍的方法以及公式 : 】(1) 洛比达法就设函数 fx 与 Fx 满意以下条件 :xa 时, lim fx=0,lim Fx=0;在点 a 的某去心邻域内 fx与 Fx 都可导, 且

24、 Fx 的导数不等于 0;xa 时, lim fx/Fx存在或为无穷大就 x a 时, lim fx/Fx=lim fx/Fx(2) 等价无穷小一般要将变量的取值变为趋向于0 的代数式 , 如 x , 令 t=1/x无穷小的概念 :高阶无穷小 : 当 lim A=0 时, 假如 lim B/A=0, 就说 B就是比 A高阶的无穷小低阶无穷小 : 当 lim A=0 时, 假如 lim B/A= , 就说 B就是比 A低阶的无穷小假如 lim B/A=KK 0,1, 就说 B 就是 A 的同阶非等价无穷小等价无穷小 : lim B/A=1, 就说 B为 A的等价无穷小可编辑资料 - - - 欢迎

25、下载精品_精品资料_(3) 斯托尔茨定理设数列 y n 单调增加到无穷大 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xnlimnynxnlimnynxn 1yn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4. f x是连续函数：lim f g xflim g xaxx0xx0（5） ）求两个数列之商的极限 , 在两数列都具有高次项的情形下 , 可以直接比较最高次项而忽视较低次项 , 该原理仅仅限于无穷数列 , 对于有穷数列不能直取.（6） ）分母趋近于 0, 而分子不为 0, 其极限不存在或无穷可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（7）x ncc.c , li

26、m xn1n14c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明： xncxn1 , 所以 lim xnnlimnxn 1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 lim xnnA,对（）两侧求极限可知 lim xnnclimnxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, ACA, A114c2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（8） ）在运算极限题目中 , 如题目中同时显现 sin x 、arcsin x 、或者 cos x 、arcsosx时, 令 t= sin x 或 cosx（9） ）在求极限的过程中假如遇到 n 次项等高次项而无法

27、解题时 , 一般可以通过借助 ex 进行消去高次项的运算 , 有的也可以使用泰勒公式.（10） ）运算极限时显现显现 tantan x 或者 sinsin x 的形式, 应用泰勒公式运算.（11） ）三个重要的结果可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 lim anna, 就lim a1na2.ana n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 lim anna an0, 就lim n a1na2.ana可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如an0,n1,2,3,., limnan 1ana, 就lim n anan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

28、料_12 有的题目涉及递推公式、数列问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如: Sn132225.232 n32n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解题思路：2SnSn函数的连续性与间断点问题(1) 如何争论并确定函数的连续性？如该函数就是初等函数 , 就该函数在其定义域区间均连续如就是一元函数 , 就可对其求导 , 其导数在某点上有意义就函数在该点必定连续 可导必连续 求助极限 , 函数在该点极限等于函数在该点函数值 , 运算时留意左右极限(2) 间断点问题间断点的分类 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 limf xA, 而fx在xx0处没

29、有定义或者有定义但f xA,就称为f x的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可去间断点.如 xx0为函数f x的可去间断点,只需补充定义或转变f x在xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的函数值,使f x在xx0处连续,此时f x已经不是原函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 limf xf x0 , limf xf x0.但f x0 f x0,就称xx0为函数fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 0xx0可编辑资料 -

30、 - - 欢迎下载精品_精品资料_的跳动间断点, f x0 f x0 称为跳动度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可去间断点和跳动间断存在点统称第一类间断点.第一类间断点的特点是左右极限均可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如f x在x断点x0的左右极限至少有一个不存在时, xx0称为函数 f x的其次类间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如函数段连续f x在区间a,b 上仅有有限个第一类间断点,就函数f x在区间a, b 上按可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 一样连续与不一样连续可

31、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一样连续（匀称连续）：设函数 f x定义在集合x上,如0.（ ） 0当x、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx且满意 xx 时,就有f xf x ,就称fx在x上一样连续.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义说明,无论x中的两点 x和x 位置怎样,只要二者充分靠近,相应函数值差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的肯定值就可以任意的 小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不一样连续：设函数f x定

32、义在集合x上,存在00,无论对多么小的0,总可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_存在x、x,尽管 xx ,但是f xf x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_limf xA充要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx0xx0limxx0f xAlimf xA【第三部分】导数与微分法线斜率与切线斜率相乘等于 -1 切线与法线垂直 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u1u 2.un u1u 2.un 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_u1 u 2. u n u1 u2 .unu1 u 2.un.u1 u 2.u n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反函数求导 : 反函数导数原函数导数 =1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或写成: dydxx x 01dxdy y y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常见的函数的导数 基础函数求导 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 0c为常数xx -1ax axlna可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_