费马点的证明.doc

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1、1、 费马点一定不在三角形外（证明略）2、 当有一个内角大于或等于120时对三角形内任一点P延长BA至C使得AC=AC，做CAP=CAP，并且使得AP=AP, PC=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则APC APCBAC 120PAP = 180-BAP-CAP = 180-BAP-CAP = 180-BAC 60等腰三角形PAP中，AP PPPA + PB + PC PP +PB + PC BC = AB + AC点A即费马点3、 当三个内角都小于120时在ABC内做一点P，使得APC =BPC =CPA = 120，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，

2、交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P，连结PA、PB、PC，过P作PH EF于H易证明D =E =F = 60，即DEF为正三角形，设边长为d，面积为S则有2S = d(PA + PB + PC)PH PA所以2SEPF PA d 同理有2SDPF PBd 2SEPD PCd + + ，得2(SEPF + SDPF + SEPD) PAd + PBd + PCd 2S d(PA + PB + PC)又2S = d(PA + PB + PC) d(PA + PB + PC) d(PA + PB + PC)即PA + PB + PC PA + PB + PC当且仅当P与P重合时，等号成立点P即费马点第 2 页