二重积分.ppt

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1、关于二重积分现在学习的是第1页，共33页一一 二重积分的定义二重积分的定义现在学习的是第2页，共33页如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .现在学习的是第3页，共33页注：注： 1 在二重积分定义中，对区域在二重积分定义中，对区域D的划分是的划分是任意的，故任意的，故如果在直角坐标系中用平如果在直角坐标系中用平边界的一些小闭

2、区域外，其余的小闭区域边界的一些小闭区域外，其余的小闭区域jx则则kjiyx 故在直角坐标系中，故在直角坐标系中，都是矩形闭区域。设矩形小闭区域都是矩形闭区域。设矩形小闭区域i的边长为的边长为,ky和和行于坐标轴的直线网来划分行于坐标轴的直线网来划分D，则除了包含，则除了包含，现在学习的是第4页，共33页0 xyDjxi直角坐标系下面积元素直角坐标系下面积元素d图示图示 Ddxdyyxf),(,dxdyd Ddyxf,ky现在学习的是第5页，共33页2 存在性：当存在性：当),(yxf在闭区域在闭区域D上连续时，函数上连续时，函数),(yxf在D上的二重积分必定存在。以后总假定上的二重积分必定

3、存在。以后总假定),(yxf在在D 上上的二重积分是存在的。的二重积分是存在的。3 由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数由二重积分的定义可知：曲顶柱体的体积是函数),(yxf在在D上的二重积分上的二重积分,),(DdyxfV平面薄片的质量是面密度平面薄片的质量是面密度),(yx在薄片所占闭区域在薄片所占闭区域D上的上的二重积分：二重积分：.),(DdyxM现在学习的是第6页，共33页4 二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：1）如果）如果, 0,yxf则二重积分则二重积分Ddyxf,解释解释为曲顶柱体的体积。为曲顶柱体的体积。2）如果）如果, 0,yxf则二重积分则二重积分Ddyxf,

4、解释解释为曲顶柱体体积的负值。为曲顶柱体体积的负值。3）如果）如果 ,既既有有正正又又有有负负yxf则二重积分则二重积分Ddyxf,解释为曲顶柱体体积的代数和。解释为曲顶柱体体积的代数和。（其中（其中xoy面上方柱体的体积取正，面上方柱体的体积取正， xoy面下方柱体的体积取负）面下方柱体的体积取负）。现在学习的是第7页，共33页二二 二重积分的性质二重积分的性质性质性质1 被积函数的常数因子可以提到二重积分号的被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即：外面，即： DDdyxfkdyxkf,性质性质2 函数的和（或差）的二重积分等于各个函函数的和（或差）的二重积分等于各个函数的二重积分的

5、和（或差）。数的二重积分的和（或差）。 DDDdyxgdyxfdyxgyxf,(Property of double integral)现在学习的是第8页，共33页性质性质3 (区域可加性区域可加性) 如果闭区域如果闭区域D被有限条曲线分被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在个部上的二重积分等于在个部分闭区域上的二重积分的和分闭区域上的二重积分的和. 21, , D 21DDDdyxfdyxfdyxfDD则则例例如如为为D 之面积之面积性质性质4 如果在如果在D上上 DDdd1 （高为（高为1的平顶柱体的体积在数值上等于的平顶柱体的体积在数值上等于柱

6、体的底面积。）柱体的底面积。）1),( yxf现在学习的是第9页，共33页性质性质5 若在若在D上，上，),(),(yxgyxf 则：则：,),(),( DDdyxgdyxf特别地，特别地，dyxfdyxfDD ),(),(),(),(),(yxfyxfyxf 现在学习的是第10页，共33页性质性质6（估值定理）（估值定理） 设在设在D上上f(x,y)的最大值为的最大值为M，最，最小值为小值为m，A为为D的面积，即的面积，即Mxfm )(则则MAdyxfmAD ),(证明：证明：因为因为Mxfm )(由性质由性质5 DDDMddyxfmd),(MAdyxfmAD ),(所以所以现在学习的是第1

7、1页，共33页性质性质7(中值定理中值定理),(yxf设设函函数数D连续，连续，为为之面积之面积,则在则在D上至少存在一上至少存在一),(使得：使得： ).,(,fdyxfD点点在闭区域在闭区域现在学习的是第12页，共33页三、利用直角坐标计算二重积分三、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有二重积分仅与被积函数及积分域有关关,为此为此, 先介绍：先介绍： 1、积分域、积分域 D:现在学习的是第13页，共33页如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx （1）X-型区域型区域X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X型区域的特点

8、型区域的特点：a、平行于、平行于y轴且穿过区域的直线与区域轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；边界的交点不多于两个； b、).()(21xx现在学习的是第14页，共33页（2）Y-型区域：型区域：,dycY型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y型区域的特点型区域的特点：a、穿过区域且平行于、穿过区域且平行于x轴的直线与区域轴的直线与区域边界的交点不多于两个。边界的交点不多于两个。b、).()(21yy).()(21yxy现在学习的是第15页，共33页axbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xy曲顶柱体的体积）(),(VdxdyyxfD 2、X

9、-型域下二重积分的计型域下二重积分的计算算: 由几何意义，若由几何意义，若(x,y)0，则，则此为平行截面面积为已知的立体的体积此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形截面为曲边梯形面积为：面积为：现在学习的是第16页，共33页yZ)(x1)(x2),(yxfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所所以以：dxdy.yf(xba(x)(x)21 现在学习的是第17页，共33页dy.yf(xdxba(x)(x)21 注注: 若若 (x,y)0 仍然适用。仍然适用。注意注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算;2）积分次序: X-

10、型域 先Y后X;3）积分限确定法: 域中一线插域中一线插, 内限定上下，内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。域边两线夹，外限依靠它。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：现在学习的是第18页，共33页3、Y-型区域下二重积分的计算：型区域下二重积分的计算： 同理：同理：Y型区域下型区域下面面积积为为：为为曲曲边边梯梯形形，常常数数截截立立体体，其其截截面面也也用用y y 知知的的立立体体体体积积. .亦亦为为平平行行截截面面面面积积为为已已 )()(21),()(yydxyxfyB .),(),()()(21 Ddcyydydxyxfdyxf 于是：于是：现在学习的是第19页，共33页

11、 1）积分次序）积分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y; 2）积分限确定法）积分限确定法: “域中一线插域中一线插”, 须用平行于须用平行于X轴的射线轴的射线穿插区域穿插区域 。dxyxfdyDdcyy),(:)()(21 也也可可记记为为注意注意: 现在学习的是第20页，共33页 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限确确定积分限,一定要做到熟练、准确一定要做到熟练、准确。4、利用直系计算二重积分的步骤、利用直系计算二重积分的步骤（1）画出积分区域的图形）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3）确定

12、积分限，化为二次定积分；）确定积分限，化为二次定积分；（2）根据积分域类型）根据积分域类型, 确定积分次序；确定积分次序；（4）计算两次定积分，即可得出结果）计算两次定积分，即可得出结果.现在学习的是第21页，共33页5、若区域为组合、若区域为组合域，如图则：域，如图则：3D2D1D.321 DDDD0 6、如果积分区域既是、如果积分区域既是X型型， 又是又是Y型型, 则有则有 Dbaxxdxfdydyxf)()(21),( dcyydyfdx)()(21 现在学习的是第22页，共33页利用对称性和奇偶性利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性利用被积函数的奇

13、偶性常常使二重积分的计算简化许多常常使二重积分的计算简化许多, ,避免出现繁琐避免出现繁琐的计算的计算. .但在使用该方法时但在使用该方法时, ,要同时兼顾到被积函要同时兼顾到被积函数数),(yxf的奇偶性的奇偶性面面, ,常用结论如下常用结论如下: :(1)如果区域如果区域D关于关于y轴对称轴对称, ,则有则有)(a当当时时),(),(yxfyxf ),),(Dyx ; 0),( dxdyyxfDD的对称性的对称性, ,及积分区域及积分区域D的对称性两方的对称性两方和积分区域和积分区域现在学习的是第23页，共33页; 0),( dxdyyxfD)(b当当时时),(),(yxfyxf ),),

14、(Dyx ,),(2),(1dxdyyxfdxdyyxfDD 其中其中).0,),( | ),(1 xDyxyxD(2)如果区域如果区域D关于关于x轴对称轴对称, ,则有则有dxdyyxfD ),(,),(),(,),(2),(),(, 02 yxfyxfdxdyyxfyxfyxfD现在学习的是第24页，共33页例例8计算计算 DdxdyyxxfyI,)(1 22其中积其中积分区域分区域 由曲线由曲线 与与 所围成所围成.D2xy 1 y解解令令),(),(22yxxyfyxg 因为因为 关于关于 轴轴Dy且且),(),(yxgyxg 故故 Ddxdyyxxyf0)(22 Dxydydxydx

15、dyI1112.54)1(21114 dxx完完对称对称,现在学习的是第25页，共33页例例9计算计算 DdxdyxyI,)1(其中其中. 44:22 yxD解法一解法一先对先对 积分积分y解法二解法二先对先对 积分积分x解法三解法三利用对称性与奇偶性利用对称性与奇偶性完完现在学习的是第26页，共33页四四 利用极坐标系计算二重积分利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在

16、极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。等等例例 22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxdyyxdxdye现在学习的是第27页，共33页AoDiirr iirrriiiiiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(00 DiiiiiiiiiiiiDrdrdrrfrrrrffdxdyyxf 1 1 直系与极系下的二重积分关系（如图）直系与极系下的二重积分关系（如图）iiiiirrr 2221)(21i（1）面积元素变换为极系下：）面积元素变换为极系下：（2）二重积

17、分转换公式：）二重积分转换公式：现在学习的是第28页，共33页.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf （3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”： rdrddxdyDDryrxrxysincos现在学习的是第29页，共33页2 极系下的二重积分化为二次积分极系下的二重积分化为二次积分的的上上下下限限关关键键是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定 用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限的的上上下下限限

18、：定定r任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。积分仍然需要化为二次积分来计算。现在学习的是第30页，共33页.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(（1）区域如图）区域如图1, ).()(21 r具体地（如图）具体地（如图）图图1现在学习的是第31页，共33页（2）区域如图）区域如图2, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r图图2现在学习的是第32页，共33页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第33页，共33页