理论力学 周衍柏 第三版 第二章习题答案(9页).doc

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1、-理论力学 周衍柏 第三版 第二章习题答案-第 8 页第二章习题解答2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为轴，由对称性可知质心一定在轴上。有质心公式设均匀扇形薄片密度为，任意取一小面元，又因为所以对于半圆片的质心，即代入，有2.2 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系把球帽看成垂直于轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。设均匀球体的密度为。则 由对称性可知，此球帽的质心一定在轴上。代入质心计算公式，即2.3 解 建立如题2.3.1图所示的直角坐标，原来与共同作一个斜抛运动。当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为，此人即以 的速度作平抛运动。由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时

2、两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以作匀速直线运动，运动的时间也相同）。所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有可知道 水平距离跳的距离增加了2.4 2.4 解 建立如图2.4.1图所示的水平坐标。以，为系统研究，水平方向上系统不受外力，动量守恒，有对分析；因为在劈上下滑，以为参照物，则受到一个惯性力（方向与加速度方向相反）。如图2.4.2图所示。所以相对下滑。由牛顿第二定律有所以水平方向的绝对加速度由可知 联立，得 把代入，得 负号表示方向与轴正方向相反

3、。求劈对质点反作用力。用隔离法。单独考察质点的受力情况。因为质点垂直斜劈运动的加速度为0，所以把代入得，水平面对劈的反作用力。仍用隔离法。因为劈在垂直水皮方向上无加速度，所以于是 2.5 2.5解 因为质点组队某一固定点的动量矩所以对于连续物体对某一定点或定轴，我们就应该把上式中的取和变为积分。如图2.5.1图所示薄圆盘，任取一微质量元， 所以圆盘绕此轴的动量矩2.6 解炮弹达到最高点时爆炸，由题目已知条件爆炸后，两者仍沿原方向飞行知，分成的两个部分，速度分别变为沿水平方向的，并一此速度分别作平抛运动。由前面的知识可知，同一高处平抛运动的物体落地时的水平距离之差主要由初速度之差决定。进而转化为

4、求，。炮弹在最高点炮炸时水平方向上无外力，所以水平方向上的动量守恒： 以质点组作为研究对象，爆炸过程中能量守恒：联立解之，得所以落地时水平距离之差2.7 解 建立如题2.7.1图所示的直角坐标系。 当沿半圆球下滑时，将以向所示正方向的反向运动。以、组成系统为研究对象，系统水平方向不受外力，动量守恒，即相对于地固连的坐标系的绝对速度为相对的运动速度 故水平方向竖直方向在下滑过程中，只有保守力（重力）做功，系统机械能守恒：（以地面为重力零势能面）把代入 把代入2.8 2.8 证 以连线为轴建立如题2.8.1图所示的坐标。设初始速度为与轴正向夹角碰撞后，设、运动如题2.8.2图所示。、速度分别为、，

5、与轴正向夹角分别为、。以、为研究对象，系统不受外力，动量守恒。方向：垂直轴方向有：可知整个碰撞过程只有系统内力做功，系统机械能守恒：由得 即两球碰撞后速度相互垂直，结论得证。2.9 解 类似的碰撞问题，我们一般要抓住动量守恒定理和机械能守恒定理得运用，依次来分析条件求出未知量。设相同小球为，初始时小球速度，碰撞后球的速度为，球的速度以碰撞后球速度所在的方向为轴正向建立如题2.9.1图所示的坐标(这样做的好处是可以减少未知量的分解，简化表达式)。以、为系统研究，碰撞过程中无外力做功，系统动量守恒。方向上有： 方向上有： 又因为恢复系数 即用- 用代入得 求在各种值下角的最大值，即为求极致的问题。

6、我们有得即=0所以 即由因为故所以2.10 以为研究对象。当发生正碰撞后，速度分别变为，随即在不可伸长的绳约束下作圆周运动。以的连线为轴建立如题2.10.1图所示。碰撞过程中无外力做功，动量守恒：随即在的约束下方向变为沿轴的正向，速度变为故 方向上有故恢复系数定义有： 即 联立得 2.11 解 如图所示，有两质点，中间有一绳竖直相连，坐标分别为：，质量为，开始时静止。现在有一冲量作用与，则作用后，得到速度，仍静止不动：。它们的质心位于原点，质心速度我为现在把坐标系建在质心上，因为系统不再受外力作用，所以质心将以速率沿轴正向匀速正向、反向运动。由于质心系是惯性系，且无外力，所以，分别以速率绕质心

7、作匀速圆周运动，因而他们作的事圆滚线运动。经过时间后，如图所示：于是在系中的速度的速度：因此2.12 解 对于质心系的问题，我们一般要求求出相对固定参考点的物理量，在找出质心的位置和质心运动情况，由此去计算物体相对或绝对物理量及其间的关系。由题可知，碰前速度为，速度。碰后速度，分别设为。碰撞过程中无外力做功，动量守恒。有恢复系数联立得再由质点组质心的定义：为质心对固定点位矢，分别为 ，对同一固定点的位矢所以（质点组不受外力，所以质心速度不变。）设两球碰撞后相对质心的速度，。（负号表示与相反）同理，碰撞前两球相对质心的速度（负号表示方向与相反）所以开始时两球相对质心的动能：2.13 2.13 用

8、机械能守恒方法；在链条下滑过程中，只有保守力重力做功，所以链条的机械能守恒。以桌面所平面为重力零势能面。有2.14 此类题为变质量问题，我们一般研究运动过程中质量的变化与力的关系以竖直向上我轴正向建立如题2.14.1图所示坐标。绳索离地面还剩长时受重力则所以 求地板的压力，有牛顿第三定律知，只需求出地板对绳索的支持力即可，它们是一对作用力与反作用力。这是我们以快要落地的一小微元作为研究对象。它的速度由变为0。用动量守恒，有又因为2.15 解 这是一道变质量的问题，对于此类问题，我们由书上p.137的（2.7.2）式来分析。以机枪后退方向作为轴争先，建立如题2.15.1图的坐标。竖直方向上支持力

9、与重力是一对平衡力。水平方向上所受合外力F即为摩擦力单位时间质量的变化由式所以2.16解 这是一个质量增加的问题。雨滴是本题。导致雨滴变化的微元的速度。所以我们用书上p.138的（2.7.4）式分析雨滴的质量变化是一类比较特殊的变质量问题。我们知道处理这类问题常常理想化模型的几何形状。对于雨滴我们常看成球形，设其半径为，则雨滴质量是与半径的三次方成正比（密度看成一致不变的）。有题目可知质量增加率与表面积成正比。即为常数。我们对式两边求导由于=，所以对式两边积分以雨滴下降方向为正方向，对式分析 （为常数）当时，所以2.17 证 这是变质量问题中的减质量问题，我们仍用书上p.137(2.7.2)式

10、来分析。设空火箭质量，燃料质量。以向上为正方向，则火箭任一时刻的质量喷气速度2074是指相对火箭的速度，即。有式化简 对两边积分 此既火箭速度与时间的关系。当火箭燃料全部燃尽所用时间，由题意知代入可得火箭最终的速度，（即速度的最大值）.考虑到其中，易知当时，恒成立，即为的增函数。又当时，=11.25而要用此火箭发射人造太阳行星需要的速度至少应为第二宇宙速度。故所携带燃料重量至少是空火箭重量的300倍。2.18证 要使火箭上升，必须有发动机推力火箭的重量，即即火箭才能上升，结论得证。由于喷射速度是常数，单位时间放出的质量质量变化是线性规律火箭飞行速度又因为燃料燃烧时间代入得火箭最大速度又因为式又可以写成积分可得从开始到燃烧尽这一段时间内火箭上升高度。把代入得之后火箭作初速度为的竖直上抛运动。可达高度故火箭能达到的最大高度2.19证 假设该行星做椭圆运动，质量为，周期为。某一时刻位置为，速度为，则又因为于是