立体几何复习专题(垂直位置关系)(学生卷)(11页).doc

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1、-立体几何复习专题(垂直位置关系)(学生卷)-第 10 页专题三：线线、线面、面面垂直问题专题一、基础梳理1直线和平面垂直（1）直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。交点叫做垂足。直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况。直线与平面垂直简称线面垂直，记作：。说明：“任何”表示“所有”，注意与“无数”的区别；（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直于平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）“a”等价于“对任意的直线，都有a”；线面垂直的定义既是判定线

2、面垂直最基本的方法，又是线线垂直最基本的判定定理。练习：（1）过空间任一点作直线的垂面有 _个；垂线有 _条。（2）过空间任一点作该平面的垂线有 _条；平行线有 _条。（2）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。符号语言：若，B，则。简称：“线线垂直线面垂直” （注意“线线”的含义！）定理：“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。”已知：ab，a。则：。（3）直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。简称“线面垂直线线平行”。已知：，则：。小结（一）：线线平行的判定方法

3、 （1）平面的斜线、垂线、射影垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影。这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段。斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线。斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段。射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影。直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线。直线与平面垂直射影是点。斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。练习：（1）判断正误：一条直线在平面上的射影一定是直线

4、；（ ）两平行直线在同一平面内的射影是平行线；（ ）两相交直线在同一平面内的射影是相交直线；（ ）两异面直线在同一平面内的射影一定是相交直线。（ ）（2）两条直线在一个平面内的射影为一条直线，则这两条直线的位置关系是_；直线在上的射影是两条相交直线，则与的位置关系是_；两条直线在一个平面内的射影是两条平行直线，则这两条直线的位置关系是_。（2）射影长相等定理从平面外同一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长。相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长。垂线段比任何一条斜线段都短。垂心垂心外心几个常见模型的射影位置：P()ACB内心（3）三垂线定理在平

5、面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）符号语言：。（4）三垂线定理的逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。符号语言： 。 注意：（1）三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线。 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理。（2）要考虑的位置及平面的选取，并注意两定理交替使用。（1）两个平面垂直的定义：两个相交成直二面角的两个平面互相垂直（简称“面面垂直”）；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。记为。有一个平面水平放置

6、的两垂直平面要把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直。注：定义给出了面面垂直的判定方法，也给出了面面垂直的性质。（2）两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（简称“线面垂直面面垂直”）已知：直线平面，平面，垂足为，则：。（3）两平面垂直的性质定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（简称“面面垂直线面垂直”）已知：于点。则：。注：面面垂直的性质定理是证明线面垂直的工具！两平面垂直的其它性质：（1）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。（2）如果两相交平面都垂直

7、于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。（3）已知平面平面，平面平面。，且，求证。小结（二）：二、能力巩固考点一：直线与平面垂直例1.如图所示，为长方形，垂直于所在平面，过且垂直于的平面分别交于。求证：D1A1B D AB1CC1变式训练1：如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且。（1）证明：；（2）当的值为多少时，能使？请给出证明。考点二：三垂线定理的应用例2.如图所示，已知直三棱柱中，是的中点，求证：。ABCDA1B1D1C1变式训练2：（1）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点。试确定点的位置，使得平面。（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别是棱上

8、的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只须满足_条件时，有。（请填上你认为正确的一个条件即可。）考点三：平面与平面垂直课堂练习：判断下列命题是否正确：（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一平面；（2）若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小相等或互补。例3. 如图所示，是直角梯形，若。（1）求证：都是直角三角形；（2）在上取点，交平面于，求证：是直角梯形；（3）若，写出的表达式，并求当为何值时，最小？最小值是多少？变式训练3：如图，在斜三棱柱中，底面是等腰三角形，。（1）若是的中点，求证：；（2）过侧面的对角线

9、的平面交侧棱于，若，求证：截面；（3）是截面的充要条件吗？请你叙述判断理由。考点四：有关垂直的开放型题目例4如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，为的中点。（1）求直线与所成的角的余弦值；（2）试问在侧面内是否存在一点，使，若存在，求出这时点到和的距离；若不存在，说明理由。变式训练4：（07济宁市统考）正的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角（如图所示）。（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论。ABCDA1B1D1C1变式训练5：如图所示，已知正四棱柱中，是的中点，异面直线互相垂直。（1）试确

10、定点的位置，并加以证明；（2）求二面角的大小。变式训练6：如图，所在的平面和四边形所在的平面垂直，且， ，则点在平面内的轨迹是（ ）A圆的一部分 B椭圆的一部分 C双曲线的一部分 D抛物线的一部分课后作业：1（1）（07安徽）设均为直线，其中在平面内，则“”是“且”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件 （2）（08上海卷） 给定空间中的直线及平面，条件“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）条件A充要 B充分非必要 C必要非充分 D既非充分又非必要（3）（07四川）对于正方体ABCD-A1B1C1D1，下面结论错误的是（ ）（A）

11、BD平面CB1D1 （B）AC1BD（C）AC1平面CB1D1 （D）异面直线AD与CB1角为60（4）如图所示，在正方形中，分别是边的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个几何体，使三点重合于点。这样下面五个结论：其中正确的是_。（填上所有正确的序号）（5）下列命题： 一条直线在平面内的射影是一条直线； 在平面内射影是直线的图形一 定是直线； 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等； 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行。其中真命题的个数是（ ） A0个 B1个 C2个 D3个（6）下列命题中正确的是（ ）A若平面M外的两条直线在平面M内的射影为一条直线及此直线外的一个点，则这

12、两条直线互为异面直线B若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线相交C若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条平行直线，则这两条直线平行D若平面M外的两条直线在平面M内的射影为两条互相垂直的直线，则这两条直线垂直（7）设是空间的两条直线，它们在平面上的射影是两条相交直线，它们在平面上的射影是两条平行直线，它们在平面上的射影是一条直线与直线外的一个点，则这样的平面有（ ）（8）P是ABC所在平面外一点，O是点P在平面上的射影。若PA = PB = PC，则O是ABC的_心；若点P到ABC的三边的距离相等，则O是ABC_心；若PA 、PB、PC两两垂直，则O是ABC_心；若

13、ABC是直角三角形，且PA = PB = PC则O是ABC的_心；若ABC是等腰三角形，且PA = PB = PC，则O是ABC的_心；若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是ABC的_心。（9）如图，E、F分别是正方体的面ADD1A1与面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是_。(要求：把可能的图的序号都填上)(10)下列命题中正确命题的序号_。两个平面同垂直于一个平面，则这两个平面平行；若一条直线和一个平面垂直于同一平面，则这条直线和这个平面平行；两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的直线，一定分别与另一平面垂直；两个平面垂直，分别在这两个平面内

14、的两条直线互相垂直；如果两条互相垂直的直线分别垂直于两个平面，则这两个平面互相垂直；（11）（08天津卷5）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）（A） （B） （C） （D）（12）（08安徽卷4）已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）ABC D（13）（08湖南卷5）设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是( )m,n,则mn m,n,m,n,则，m,则m ，m，m,则m（14）如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（）点是的垂心垂直平面的延长线经过点直线和所成角为（15）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，

15、则下列命题中的真命题是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则（16）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种。已知是两个 相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线。用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： （17）（07湖北）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：与相交与相交或重合； 与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A.1 B.2 CABP（第（18）题）（18）（08浙江卷）如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是（ ）A圆 B椭圆C一条直线 D两条平行直线AB

16、CDA1B1D1C12在正方体ABCDA1B1C1D1中，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心。求证：A1O平面GBD。3是所在平面外一点，面，是的中点，是上的点，（1）求证：；（2）当时，求的长。4如图，在正方体中，已知分别为棱的中点，求证：平面平面。5如图，是是等腰直角三角形中斜边的两个三等分点，沿和将和折起，使和重合，求证：平面平面。6已知、是共点于的且不共面的三条射线，求证：平面平面。7如图所示，四棱锥的底面是边长为的菱形，平面，,是的中点。(1)求证平面平面；(2)求点到平面的距离；(3)求二面角的大小。EMACBD8在如图所示的几何体中，平面，平面，是的中点。（1）求证：平面平

17、面；（2）求与平面所成的角。9是正的边上的高，是上一点，且，过作，分别交于点，将沿折起到。（1）求证：平面平面；（2）问二面角为多大时，有平面平面；（3）问二面角为多大时，有异面直线。课后作业参考答案：1（1）（2）C （3）D （4） （5）A （6）A （7）D(8)解：外心。PA=PB=PC，OA=OB=OC，O是ABC的外心。内心（或旁心）。作ODAB于D，OEBC于E，OFAC于F，连结PD、PE、PF。PO平面ABC，OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PDAB，PEBC，PFAC由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，O是ABC的内心

18、。垂心。 外心。 外心。外心。PA与平面ABC所成的角为PAO，在PAO、PBO、PCO中，PO是公共边，POA=POB=POC=90，PAO=PBO=PCO，PAOPBOPCO，OA=OB=OC，O为ABC的外心。（9）解：四边形BFD1E在正方体的一对平行面上的投影图形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中点，四边形的投影图形为，在左右侧面上，E、F的连线垂直侧面，从而四边形的投影图形为，在前后侧面上四边形投影图形也为。故应填。（10） （11）C （12）D （13）D （14）D （15）C（16），并且与相交（，并且与相交） （17）D （18）B2三垂线定理与计算证明。 3（1）三垂线定理；（2）。 4三垂线定理。 5计算证明直二面角。 6计算证明直二面角。 7（1）略；（2）；（3）。8.（1）证明：因为，是的中点，所以，又平面，所以。（2）解：过点作平面，垂足是，连结交延长交于点，连结，。是直线和平面所成的角。因为平面，所以，又因为平面，所以，则平面，因此。设，在直角梯形中，是的中点，所以，得是直角三角形，其中，所以。在中，所以，故与平面所成的角是。9（1）略；（2）；（3）。