锐角三角函数 (4).ppt

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1、 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并度，并已知目高为已知目高为1米然后他很快就算出旗杆的高度米然后他很快就算出旗杆的高度了。了。1米米3410米米? 你想知道小明怎样你想知道小明怎样算出的吗？算出的吗？ AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系? BCAB111B CABA

2、CAB11ACABBCAC111B CAC相似相似BCAB111B CABACAB11ACABBCAC111B CAC= AB1 C1想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系? (3)如果改变如果改变B在梯子上的位置，在梯子上的位置，（2）中的关系还存在吗？）中的关系还存在吗？BCAB111B CABACAB11ACABBCAC111B CAC CBBCAB111B CABACAB11ACABBCAC111B CAC=相似相似即在直角三角形中，锐角即在直角三角形中，锐角 不变时，

3、不变时， 的的对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边对边与斜边的比、邻边与斜边的比、对边与邻边也不变与邻边也不变（4）若改变角度为）若改变角度为 时，以上比时，以上比值变了吗？值变了吗？我们已经知道，我们已经知道，直角三角形直角三角形ABC可以简可以简记为记为RtABC，直角，直角C所对的边所对的边AB称称为斜边，用为斜边，用c表示，另两条直角边分别叫表示，另两条直角边分别叫A的对边与邻边的对边与邻边，用，用a、b表示表示.图 19.3.1 对于锐角对于锐角A的每一个确定的值，其对的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的的比值也是

4、惟一确定的 一般地，对于每一个确定的锐角一般地，对于每一个确定的锐角，在角的，在角的一边上任取一点，作一边上任取一点，作于点，则比于点，则比值值 都是一个都是一个确定的值确定的值，与点，与点B在角的边在角的边上的位置无关，因此，比值上的位置无关，因此，比值 都是锐角都是锐角的的三角函数三角函数。ACBCABACABBC,ACBCABACABBC,ACB比值比值 叫做叫做的的正弦正弦(sine)，记做，记做sinsin. .BCABACAB 比值比值 叫做叫做的的余弦余弦(cosine) ，记做，记做coscos. .即即coscos= =ACAB比值比值 叫做叫做的的正切正切(tangent)

5、 ，记做，记做tantan. .BCAC即即tantan= =BCAC感悟定义感悟定义BCAB即即sinsin= =注意：注意：1 1、在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写在三角函数的表示中，用希腊字母或单独一个大写英文字母表示的角前面的英文字母表示的角前面的“”“”一般省略不写一般省略不写2 2、sinsin、 coscos、 tantan、cotcot 是一个完整的是一个完整的符号，单独的符号，单独的“sinsin”没有意义没有意义. .锐角锐角的正弦，余弦的正弦，余弦, ,正切和余切统称正切和余切统称的三的三角函数（角函数（trigonmetrictrigonmetric fun

6、ction function）这几个比值都是锐角这几个比值都是锐角A的函数，记的函数，记作作sin A、cos A、tan A、cot A，即即 sin A= 斜边的对边Acos A= 斜边的邻边Atan A= 的邻边的对边AA cot A= 的对边的邻边AA分别叫做锐角分别叫做锐角A的的正弦、余弦、正切、余切正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角统称为锐角A的三角函数的三角函数.1、sinA 不是一个角 2、sinA不是 sin与A的乘积 3、 sinA 是一个比值 4、sinA 没有单位1.下图中下图中ACB=90ACB=90，CDAB,CDAB,垂足为垂足为D.D.指出指出A A和和B B的

7、对边、邻边的对边、邻边. .ABCD(1) sinA = =AC( )BC( )(2) sinB= =AB( )CD( )CDABBCACABCD(3) cos ACD =AC( )(4) tanA= =AD( )BC( )CD( ) cos BCD =tanB= =BD( )AC( )CDBCCDACBCCD2 2、如图，在、如图，在RtRtABCABC中，中，C=C=RtRt,若若AB=5AB=5，BC=3.BC=3.(2)(2)请求出请求出B B的正弦、余弦和正切的值的正弦、余弦和正切的值. .(1)(1)求求A A的正弦、余弦和正切的值；的正弦、余弦和正切的值；C CA AB B3(3

8、)(3)观察观察(1)(2)(1)(2)中的计算结果中的计算结果, ,你发现了什么你发现了什么? ?BC3BC3sinA =,sinA =,AB5AB5AC4AC4cosA =,cosA =,AB5AB5BC3BC3tanA =.tanA =.AC4AC4AC4AC4sinB =,sinB =,AB5AB5BC3BC3cosB =,cosB =,AB5AB5AC4AC4tanB =.tanB =.BC3BC3当当A+B=90A+B=90时时, ,sinAsinA= =cosBcosB, ,cosAcosA= =sinBsinB, ,tanAtanAtanBtanB=1.=1.,sincaA,c

9、oscbA ,sincbB ,coscaB bABCac在直角三角形中，在直角三角形中，A+B=90sinAsinA和和cosBcosB, , cosAcosA和和sinBsinB有什么关系有什么关系? ?sinAsinA= =cosBcosB cosAcosA= =sinBsinB (A+B=90(A+B=90。）用一用：用一用：（1）已知：）已知：sinA= 且且B=90A,求求cosB;(2)已知：已知：sin35=0.5736,求求cos55;(3)已知：已知：cos476=0.6807,求求sin4254.21理解定义：理解定义： v1、你认为、你认为A的正弦、余弦的定义有什么区的正

10、弦、余弦的定义有什么区别？正切、余切呢？别？正切、余切呢？v2、你能利用直角三角形的三边关系得到、你能利用直角三角形的三边关系得到sinA与与 cosA的取值范围吗？的取值范围吗？0sin A1，0cos A1 v3、 tan A与与cot A之间有什么关系？之间有什么关系？tan Acot A=1 练习：练习：tanAcot20=1，则锐角，则锐角A= 3 3、在、在RtRtABCABC中，中，C C为为RtRt ，求证：求证：sinsinA+cosA+cos2 2A=1A=1ABC证明：证明：C=C=RtRtACAC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2sinAsinA= = ，cos

11、AcosA= =ABBCABAC2222)()(cossinABACABBCAA1222ABACBC已知直角三角形中的两边或两边之比，已知直角三角形中的两边或两边之比，就能求出锐角三角函数值就能求出锐角三角函数值解后语：解后语：1.如图如图ABCABC中，中，C=90C=90,BC=5,AC=12.,BC=5,AC=12.判断：（判断：（1 1）sinAsinA= = （ ） （2 2）tanBtanB= = （ ）A AB BC C1351252.如图如图,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90. . 若若BC=8,AB=17,BC=8,AB=17,求求sinAsinA, , co

12、sA,tanAcosA,tanA的值的值; ; 若若BCBCAB=1AB=12 ,2 ,求求sinAsinA, , cosA,tanAcosA,tanA的值的值; ; 若若sinAsinA= , = , 求求sinBsinB的值的值. . AB C135用一用用一用3、下图中ACB=90 ，CDABABCD如果CD=5，AC=10，则sinACD= sin DCB= 4 4、在如图所示的格点图中，请求出锐角在如图所示的格点图中，请求出锐角的三角的三角函数值函数值; ; 以射线以射线ABAB为始边任意作锐为始边任意作锐角角DABDAB，并求出它的正切，并求出它的正切值；请组内比较，谁画出的值；请

13、组内比较，谁画出的锐角的正切值最大？锐角的正切值最大？B BC CA A如图，请你以射线如图，请你以射线ABAB为始边作锐角为始边作锐角CABCAB，使它的，使它的正切值为正切值为 ; ;43C5.5.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的对边和邻边同时扩的对边和邻边同时扩大大100100倍倍, ,sinAsinA的值（的值（ ）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定6.6.已知已知A,BA,B为锐角为锐角(1)(1)若若A=B,A=B,则则sinAsinA sinBsinB; ;(2)(2)若若

14、sinAsinA= =sinBsinB, ,则则A A B.B.ABCC C= = =200ACB例例1 1、如图、如图: :在在RtRtABCABC中中,B=90,B=900 0, AC=200, , AC=200, sinAsinA=0.6.=0.6.求求BCBC的长的长. .解：解： B=90B=900 0 sinAsinA= =0.6= =0.6ACBCBC=0.6AC=120BC=0.6AC=120w提示提示: :过点过点A A作作ADAD垂直于垂直于BCBC于于D.D.556ABCD练一练练一练1.1.如图如图: :在等腰在等腰ABCABC中中,AB=AC=5,BC=6.,AB=A

15、C=5,BC=6.求求: : sinB,cosB,tanBsinB,cosB,tanB. .例2：在光的反射中，入射角等于反射角，入射角为1，ACCD，BDCD，且AC=3，BD=6，CD=11，求tan11ACBDO AB CAA的的对边对边AA的的邻边邻边AA的的对边对边AA的的邻边邻边tanAcosAAA的邻边的邻边AA的对边的对边斜边斜边sinA斜边斜边斜边斜边回味无穷回味无穷v定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题: :1.sinA,cosA,tanA, 1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的是在直角三角形中定义的, A, A是是锐角锐角( (注意数形结

16、合注意数形结合, ,构造直角三角形构造直角三角形).).2.sinA,cosA,tanA, 2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号是一个完整的符号, ,表示表示A A的三角函数的三角函数, ,习惯省去习惯省去“”“”号；号；3.sinA,cosA,tanA, 3.sinA,cosA,tanA, 是一个比值是一个比值. .注意比的顺序注意比的顺序, ,且且sinA,cosA,tanAsinA,cosA,tanA, , 均均0,0,无单位无单位. .4.sinA,cosA,tanA, 4.sinA,cosA,tanA, 的大小只与的大小只与A A的大小有关的大小有关, ,而与直角三角

17、形的边长无关而与直角三角形的边长无关. .5.5.角相等角相等, ,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等相等, ,则这两个锐角相等则这两个锐角相等. .540 x xy y163243B5211 1、在平面坐标系第一象限内是否存在点、在平面坐标系第一象限内是否存在点P P，使得，使得OP=4, OP=4, sinPOBsinPOB0.50.5求点求点P P的坐标的坐标, ,并求出并求出OPOP所在直线的解所在直线的解析式析式. .思考：思考：OPOP所在直线的解析式的比例系数所在直线的解析式的比例系数K K与与POBPOB有有什么关系呢什么关系呢? ?课外探课外探 索：索：课外探索：课外探索：2 2、如图，一根、如图，一根3m3m长的竹竿长的竹竿ABAB斜靠在墙上，当端点斜靠在墙上，当端点A A离离地面的高度地面的高度ACAC长为长为1m1m时，竹竿时，竹竿ABAB的倾斜角的倾斜角的正切的正切tantan的值是多少？的值是多少？当端点当端点A A位于位于D D，离地面的高度，离地面的高度CDCD为为2m2m时，倾斜角时，倾斜角的正切的正切tantan的值是多少？的值是多少？tantan的值可以大于的值可以大于100100吗？吗？请求出锐角请求出锐角的正切函数的正切函数的范围。的范围。E ED DA AC CB B