运筹学复习资料(1)(10页).doc

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1、-运筹学复习资料(1)-第 9 页运筹学复习一、单纯形方法（表格、人工变量、基础知识）线性规划解的情况：唯一最优解、多重最优解、无界解、无解。其中，可行域无界，并不意味着目标函数值无界。无界可行域对应着解的情况有：唯一最优解、多重最优解、无界解。有界可行域对应唯一最优解和多重最优解两种情况。线性规划解得基本性质有：满足线性规划约束条件的可行解集（可行域）构成一个凸多边形；凸多边形的顶点（极点）与基本可行解一一对应（即一个基本可行解对应一个顶点）；线性规划问题若有最优解，则最优解一定在凸多边形的某个顶点上取得。单纯形法解决线性规划问题时，在换基迭代过程中，进基的非基变量的选择要利用比值法，这个方

2、法是保证进基后的单纯型依然在解上可行。换基迭代要求除了进基的非基变量外，其余非基变量全为零。检验最优性的一个方法是在目标函数中，用非基变量表示基变量。要求检验数全部小于等于零。“当x1由0变到45/2时，x3首先变为0，故x3为退出基变量。”这句话是最小比值法的一种通俗的说法，但是很有意义。这里，x1为进基变量，x3为出基变量。将约束方程化为每个方程只含一个基变量，目标函数表示成非基变量的函数。单纯型原理的矩阵描述。在单纯型原理的表格解法中，有一个有趣的现象就是，单纯型表中的某一列的组成的列向量等于它所在的单纯型矩阵的最初的基矩阵的m*m矩阵与其最初的那一列向量的乘积。最初基变量对应的基矩阵的

3、逆矩阵。这个样子：所有的检验数均小于或等于零，有最优解。但是如果出现非基变量的检验数为0，则有无穷多的最优解，这时应该继续迭代。解的结果应该是：X*= aX1*+(1-a)X2*（0=a0,且所有的aij 0,对于极小化问题用+M),这样只要基变量中还存在人工变量,目标函数就不可能实现极值。两阶段法原理：第一阶段是据给定的问题构造其辅助问题，为原问题求初始基本可行解。加上人工变量后，要求的就是人工变量退出，辅助问题是人工变量之和的最小值必须为零。第二阶段是将第一阶段求出的最优解，作为第二阶段的初始基本可行解，然后在原问题的目标函数下进行优化，以决定原问题的最优解。注意：单纯形法中1每一步运算只

4、能用矩阵初等行变换；2表中第3列(b列)的数总应保持非负（0）；3当所有检验数均非正（0）时，得到最优单纯形表。若直接对目标求最h，要求所有检验数均非负；4 当最优单纯形表存在非基变量对应的检验数为零时，可能存在无穷多解；5关于退化和循环。如果在一个基本可行解的基变量中至少有一个分量xBi=0 (i=1,2,m)，则称此基本可行解是退化的基本可行解。一般情况下，退化的基本可行解（极点）是由若干个不同的基本可行解（极点）在特殊情况下合并成一个基本可行解（极点）而形成的。退化的结构对单纯形迭代会造成不利的影响。可能出现以下情况：进行进基、出基变换后，虽然改变了基，但没有改变基本可行解（极点），目标

5、函数当然也不会改进。进行若干次基变换后，才脱离退化基本可行解（极点），进入其他基本可行解（极点）。这种情况会增加迭代次数，使单纯形法收敛的速度减慢。在特殊情况下，退化会出现基的循环，一旦出现这样的情况，单纯形迭代将永远停留在同一极点上，因而无法求得最优解。二、对偶问题和灵敏度分析对偶问题的基本性质：对偶问题(D)的对偶问题，是原问题(P)；若X/是问题(P)的一可行解， Y/是问题(D)的一个可行解，则有:CX/Y/b。若X*,Y*分别为问题(P)和问题(D)的可行解，且CX*=Y*b；则X*和Y*分别为问题(P)和问题(D)的最优解。若问题(P)的目标函数值Z无上界，则问题(D)无可行解；若

6、问题(D)的目标函数值W无下界，则问题(P) 无可行解。对偶定理：若问题(P)和问题（D）之一有最优解，则另一个问题也一定有最优解，且目标函数值相等。由对偶定理可知，从原问题的最终单纯表中可直接得到其对偶问题的最优解。在两个互为对偶的线性规划中，可任选一个进行求解。若X*,Y*分别为问题(P)和问题(D)的可行解，且CX*=Y*b；则，X*和Y*分别为问题(P)和问题(D)的最优解。 用对偶性质重新解释单纯形法。单纯形法：在整个迭代过程中，始终保持该问题解的可行性（即满足 ），而其对偶问题的互补解初始时并不满足可行性条件（即检验数不完全部小于等于0）；当不可行性完全消失（即满足 0）时，原问题

7、和对偶问题同时达到最优。对偶单纯形法：在整个迭代过程中，始终保持其对偶问题解的可行性（即 0），而该问题的初始解并不满足可行性条件（即不完全部大于等于0）；当不可行性完全消失（即满足）时，原问题和对偶问题同时达到最优。对偶单纯形法步骤：列出初始单纯形表，保证所有的检验数;检验：若满足，则获得最优解，否则下一步;基变换首先确定退出基变量，其次决定进入基变量， 然后求新的基本可行解。返回到（2）。影子价格（对偶问题的经济解释）三种资源A、B、C，价格为Y*=(7/2,0,1/2)，三种资源剩余量分别为（0,25/2,0），目标函数：W =7/245 +080 +1/290 = 405/2。经济意义

8、：反映了资源与总收益之间的关系，即当第i种资源每增加一个单位时，在其他条件不变的情况下，该资源对目标值的贡献就是yi。灵敏度分析研究线性规划中，的变化对最优解的影响。目标函数系数C（价格）变化的灵敏度分析：C的变化导致检验数的变化，如果新的检验数小于等于零，则原来的解依然是最优解；如果新的检验数大于零，那么新的问题还没有取到最优解，还需要进一步运算才行。 是判断是否继续的标准。对于基变量的变化，变化值如果小于检验数的相反数，则最优解不变。基便量系数发生改变将改变所有变量检验数。增加一个新变量的灵敏度分析：如果该行的检验数为小于等于零，那么新变量为非基变量，此表达到最优。反之，就要迭代求解。如何

9、求检验数很重要，要用到第一章中的知识。这里要了解各项的含义。增加一个新约束的灵敏度分析，将最优解代入新的约束中，若满足新约束，则原最优解不变；若不满足新约束，则原最优解改变，将新增的约束条件添入最终的单纯形表中，并增加一个基变量，继续迭代。添加新约束后，有时要对原问题所对偶单纯形法，并且要消元构造单位阵，基矩阵。新约束条件的常数项至少为多少时不影响原最优解？对偶单纯形法非常重要！三.运输问题运输问题的一般描述：设某种物资有m个产地 A1 A2,Am ,其产量分别为 a1 a2,am ,另外有n个销地 B1 B2,Bn ,其销量分别为 b1 b2,bn ,已知从Ai到Bj的单位运费为Cij(i=

10、1,2,m;j=1,2,n)，试问应如何组织调运才能使总运费最低。产销平衡运输问题模型特点：由平衡条件易知：m+n个方程线性相关，而任意m+n 1个方程线性无关；基变量的个数为m+n 1，非基变量的个数为mn-（m+n1）=（m1）（n 1）1，有无限多方案；系数矩阵只包括1和0。有产销不平衡问题，a的和大于b的和，为产大于销的问题。解决运输问题应该运用运输单纯型法，步骤是：（1）确定初始基本可行解（初始方案），这里有最小元素法和元素差额法。最小元素法：列出运输表，表中xij位置暂先空着，在表中找出单位运价最小者Ckt，取xkt=minak，bt把xkt的值填在相应的格内(若有几个单位运价同时

11、达到最小，就任取其中之一）；如果akbt划去第t列，第k行的产量调整为ak-bt；如果 ak0,d-=0表明超额完成预定指标；d-0,d+=0表明未达到预定指标；d+ =d- =0表明恰好完成预定指标。在新的规划问题中，需要添加一个目标约束，目标约束的形式由其具体要完成的目标表示，比如，原来的线性规划的目标函数是MaxZ=8x1 + 6x2，现在的新的线性规划中就要添加这样的目标约束：8x1 + 6x2+d-d+=140。意思就是：尽量达到这个目标，如果达不到，加上一个便可以达到了。目标规划中，重要特征如下：增加了目标约束；目标中只出现偏差变量且为求极小化问题；d+d-=0。单目标规划求解：用

12、单纯形法求满意解,注意求极小化问题最优性条件是检验数全部大于等于零。多目标规划求解中级别相同的多目标规划的数学模型：实现利润目标122（百元），产品A的产量不多于10，这时设：di+,di-(i=1,2)分别为超过目标值的部分，及未完成目标值的部分。目标函数是minZ=d1-+d2+目标约束是：8x1 + 6x2+d1- d1+=122和x1+d2-d2+=10。这里，分析一下语句，实现目标利润为122百元，但是有可能达不到这个数，所以，尽量达不到的负偏差变量要小。A的产量不多于10，即便多于10，也没关系，但是正偏差变量要尽量小。因此，得目标函数。多目标规划求解中具有优先级的多目标规划数学模

13、型：P1:充分利用设备有效台时，不加班；P2:产品B的产量不多于4；P3:实现利润130（百元）。最重要的是1号，在2号和3号完不成的情况下，也要优先保证1号完成。但是，并不是说，1号完成之后，2号和3号才能完成。在实际生活中，也有1号未完成但是2号和3号完成的情况。模型约束：4x1 + 2x2+ d1- - d1+ = 60 x2 + d2- - d2+ = 4 8x1 + 6x2+ d3- - d3+ = 130 2x1 + 4x2 48 x1，x2，di+,di-(i=1,2,3) 0目标函数：MIN Z(x)= P1（d1- + d1+）+ P2 d2+ P3d3-在这里，1号目标是正

14、负偏差量之和，就是取要恰好达到之意。图解法求解目标规划：按照上面的规划，可以有下列步骤：（1）根据系统约束，确定可行域；（2）不考虑偏差，即：di+=di-=0（i=1,2,3)，然后按顺序作出目标约束相应的直线，并标出di+0,di-0的方向；（3）按优先顺序找出该目标的满意解。目标规划的目标：（1）决策人希望恰好实现预定的第i个目标，Min Z= di+ + di-；（2）决策人不希望超过预定的第i个目标，MinZ= di+；（3）决策人希望超过预定的第i个目标，minZ=di-。整数规划：线性规划中要求决策变量全部或部分为整数。分为以下，纯整数规划:所有决策变量xj(j=1,2,n)均取

15、整数；混合整数规划:部分决策变量取整数；0-1整数规划:所有决策变量只取0或1，这类变量又称为逻辑变量。经典方法是分支定界法和割平面法。分支定界法步骤：先不考虑变量的整数约束，求解相应的线性规划；分支：如果求解某一个值并非整数，那么就予以分支，比如，由于x1，x2均不满足整数条件，故可由x1（或x2）进行分枝，使x1满足：x13 或 x14，将3 x14 的非整数部分割掉，于是问题B0分成了两个子问题B1,B2，然后分别求出其最优解，B1最优解:X1*=（3，8/3），Z1=141/3，B2最优解X2*=（4，1），Z2=14；定界：问题（B2）已获得整数最优解，可将Z2=14作为问题（A）的

16、下界，同时将Z0=143/4作为问题（A）的上界。可以断定Z2=14 Z Z0=143/4；返回到（2）继续对B1中的x2进行分枝，使x2满足：x22或x23将2 x2 3之间的非整数部分割掉。于是问题B2又分成了两个子问题B3和B4再分别求出其最优解。割平面法步骤：不考虑其整数条件,用单纯形法求解相应的线性规划问题，求出最终单纯形表；构造Gomory约束（割平面）：在最终单纯形表中，任意选择一个非整数变量（如x2），写出该变量所在行的方程式：x2 + 1/2x31/2x4=5/2，将各变量的系数及常数项分解为整数与非负真分数之和；再将系数为整数的变量移到方程式左端，系数为分数的变量移到方程式

17、右端，x2x4-2=1/2-（1/2x3+1/2x4）。求得Gomory约束为：1/2-（1/2x3+1/2x4）0将Gomory约束化为方程，填入到最终单纯形表中，继续求问题的最优解。用对偶单纯性法求解。分派问题使用0-1整数规划的一种特殊类型，但是由于它的形式比较特殊，所以有自己特殊的解法。有n项任务,指派n个人(广义)去完成,第i个人完成第j项任务的效率为Cij(i=1,2,n;j=1,2,n)；要求每个人只能承担一项任务,并且每一项任务都有一个人个来承担；问如何分派可以使总的效率达到最高。（Cij）为效率矩阵。建立数学模型：1，分派第i个人去承担第j项任务；0，不分派第i个人去承担第j

18、项任务。要求每人只能承担一项工作，每项工作只能由一个人来承担。它是特殊的0-1规划；它是m=n，ai=bj=1的特殊运输问题；它的所有可行解的个数为n！。同解性原理：如果在效率矩阵（Cij）的第i（i=1,2,n）行（列）加（减）一个常数ki，那么新效率矩阵与原效率矩阵有相同的最优解。匈牙利解法：化简效率矩阵：使其每行、每列至少有一个零元素；检验：用尽可能少的直线去覆盖所有的零元素，当覆盖线的条数n0=n 时,可转入（4）确定最优方案,当 n0n 时转入下一步(3)继续化简；移动零元素：在未被直线覆盖的元素中找出最小元，对不在覆盖线上的元素减去这个最小元，在两覆盖线交点上加上这个最小元，其他元

19、素不变。具体步骤：变换指派问题的费用矩阵，使其在各行各列都出现0元素，首先每行元素减去该行的最小元素，然后每列减去该列的最小元素；进行试指派（画），从含0元素最少的行或列开始，圈出一个0元素，用 表示，然后划去该所在的行和列中的其余0元素，用表示，依次类推。若矩阵中的的个数等于n，则得最优解，若矩阵中的的个数n，则进行第三步；做能复盖所有0元素的最小直线集合：对没有的行打号、对打号的行上所有0元素的列打号、再对打号的列上所有的行打号、重复以上步骤直到得不出新的打号为止，对没有打号的行画横线，所有打号的列画纵线，所得到的直线既是复盖所有0元素的最小直线集合；在没有被直线复盖的元素中找出最小元素，

20、让打号的列加上这个元素，打号的行减去这个元素。求最大效率的问题，求最小效率的问题，都很重要。五.矩阵对策我们称具有对策行为的模型为对策模型或对策。对策模型的种类可以千差万别，但本质上都必须包括三个基本要素：局中人，一场竞争或斗争称为一局对策，一局对策中的决策者称为该局对策的局中人（只有两个局中人，称为两人对策；两人以上称为多人对策）。策略，一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案称为一个策略。策略的全体称为策略集，策略集可以是有限或无限的。若策略集为有限集称为有限对策，否则称为无限对策。参加对策的每个局中人（iI）都有自己的策略集，一般，每一局中人的策略集中至少应包括两个策略。

21、局中人策略集合: S1=1，2，m，局中人策略集合: S2=1，2，ni，j称为局势。策略不能只理解为局中人的一个“动作”。某局中人在一个对策中的一个策略，是指他为对付其他局中人而采取的一个从头到尾的整个行动方案。赢得函数或称支付函数（简称支付）,在一局对策中，当局势给定以后，就用一个数来表示得失（或输赢），显然，这种“得失”或“输赢”是局势的函数，称为支付函数。si是第i个局中人的一个策略，则n个局中人的策略组 S=（s1，s2 sn）称为一个局势。当局势出现后，对策结果也就确定了，即对任一局势S，局中人i可能得到一个赢得H。显然H是局势S的函数，称为第i个局中人的赢得函数（支付函数）。齐王赛马中，局中人集合I=1，2齐王的策略集用1 ，2, ，3 ，4 ，5 ，6表示田忌的策略集用1，2, ，3 ，4 ，5 ，6表示,这样齐王的任一策略i和田忌的任一策略j，就决定了一个局势Sij，如果1=（上、中、下）、1 =（上、中、下）则在局势S11下齐王的赢得值为H1（S11）=3。田忌的赢得值为H2（S11）=-3。零和对策：若在一局对策中,全体局中人的支付总和为0,则将该对策称为零和对策,否则称为非零和对策。有限二人零和对策也称为矩阵对策。