古典概型和几何概型(15页).doc

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1、-古典概型和几何概型-第 15 页一、 古典概型1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件2）基本事件的特点： 任何两个基本事件是互斥的； 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是： 有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型4）基本事件的探索方法： 列举法：此法适用于较简单的实验 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有个不

2、同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法： 有放回的抽样每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去 无放回的抽样每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次二、 古典概型计算公式1）如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；2）如果某个事件 包括的结果有个，那么事件 的概率3）事件与事件是互斥事件4）事件与事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件古典概型注意

3、： 列举法：适合于较简单的试验 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求另外在确定基本事件时，可以看成是有序的，如与不同；有时也可以看成是无序的，如与相同三、几何概型事件理解为区域的某一子区域，的概率只与子区域的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型四、几何概型的计算1）几何概型中，事件的概率定义为，其中表示区域的几何度量，表示区域的几何度量2）两种类型线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借

4、助平面区域解决五、几何概型具备以下两个特征：1）无限性：即每次试验的结果(基本事件)有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；2）等可能性：即每次试验的各种结果(基本事件)发生的概率都相等一、古典概型古典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的比值【题干】甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）A B C D 【答案】D.【解析】甲、乙在同一组：.甲、乙不在同一组，但相遇的概率：.【点评】【

5、题干】有十张卡片，分别写有、和、，（1）从中任意抽取一张，求抽出的一张是大写字母的概率；求抽出的一张是或的概率；（2）若从中抽出两张，求抽出的两张都是大写字母的概率；求抽出的两张不是同一个字母的概率；【答案】【解析】【点评】【题干】袋子中装有编号为的个黑球和编号为的个红球，从中任意摸出个球（1）写出所有不同的结果；（2）求恰好摸出个黑球和个红球的概率；（3）求至少摸出个黑球的概率【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）.（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含了上一问列举的所有结果，记“恰好摸出1个黑球和1红球”为事件，则事件包含的基本事件为，共6个基本事件，所以.（3）试验发生包

6、含的事件共有个，记“至少摸出个黑球”为事件，则包含的基本事件为，共个基本事件，所以.【点评】步骤：用列举法求出基本事件的总数，求出具体时间包含的基本事件数，根据古典概型求出概率.二、一维情形的几何概型（长度）将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解【题干】在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为（ ）A B C D 【答案】A【解析】，.当时， .在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率.【点评】【题干】平面上有一组平行线，且相邻平行线

7、间的距离为cm，把一枚半径为cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A. B C D 【答案】B【解析】为了确定硬币的位置，由硬币中心向靠的最近的平行线引垂线，垂足为；线段长度的取值范围就是，只有当时，硬币不与平行线相碰，所以所求事件的概率.【点评】【题干】在区间中任意取一个数，则它与之和大于的概率是_【答案】【解析】在区间中，任意取一个数，则它与之和大于的满足，解得，所以，概率为.【点评】【题干】在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为（ ）A B C D 【答案】D.【解析】由题意可得此概率是几何概率模型.因为正方形

8、的面积介于与之间，座椅正方形的边长介于到之间，即线段介于到之间，所以的活动范围长度为：.由几何概型的概率公式可得.【点评】【题干】某人向一个半径为的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为（ ）A B. C D 【答案】B【解析】整个靶子是如图所示的大圆，而距离靶心距离小于2用图中的小圆所示：故此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率.【点评】【题干】两根相距的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于的概率为（ ）A. B C D 【答案】.【解析】设事件为“灯与两端距离都大于”，根据题意，事件对应的长度为的

9、部分，因此，事件发生的概率.【点评】三、二维情形的几何概型（面积）数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件发生的区域，利用公式可求【题干】如图，在线段上任取一点，试求：（1）为钝角三角形的概率；（2）为锐角三角形的概率【答案】（1）（2）【解析】如图，由平面几何知识：当时，；当时，（1）当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形，记“为钝角三角形”为事件，则，即为钝角三角形的概率为（2）当且仅当点在线段上时，为锐角三角形，记“为锐角三角形”为事件，则，即为锐角三角形的概率为【

10、点评】为直角三角形的概率等于，但直角三角形是存在的，因此概率为的事件不一定是不可能事件【题干】已知如图所示的矩形，长为，宽为，在矩形内随机地投掷粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为粒，则可以估计出阴影部分的面积约为_【答案】【解析】设图中阴影部分的面积为，由题意可得，解得.【点评】【题干】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午到，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为到，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率【答案】【解析】【点评】【题干】在平面直角坐标系中，平面区域中的点的坐标满足，从区域中随机取点（1）若，求点位

11、于第四象限的概率；（2）已知直线与圆相交所截得的弦长为，求的概率【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）若，则点的个数共有个，列举如下：，时，点位于第四象限.当点的坐标为，时，点位于第四象限.故点位于第四象限的概率为.（2）由已知可知区域的面积是.因为直线与圆的弦长为，如图，可求得扇形的圆心角为，所以扇形的面积为，则满足的点构成的区域的面积为，所以的概率为 .【点评】 【题干】如图，在线段上任取一点，试求：（1）为钝角三角形的概率；（2）为锐角三角形的概率【答案】（1） ；（2） .【解析】如图，由平面几何知识：当时，；当时，.（1）当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形，记“为钝角三角形”为

12、事件，则.（2）当且仅当点在线段上时，为锐角三角形，记“为锐角三角形”为事件，则.【点评】【题干】在区间上任取两实数，求二次方程的两根都为实数的概率【答案】【解析】方程有实根的条件为，即在平面直角坐标系中，点的取值范围为如图所示，的正方形的区域，随机事件“方程有实根”的所围成的区域如图所示的阴影部分易求得【点评】四、三维情形的几何概型（体积）【题干】在中，过直角顶点作射线交线段于，求使的概率【答案】.【解析】设事件为“作射线，使”在上取点使，因为是等腰三角形，所以，所以.【点评】几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”因为射线落在内的任意位置是等可能的若以长度为“测度”，就是错误的

13、，因在 上的落点不是等可能的【题干】设正四面体的体积为，是正四面体的内部的点（1）设“”的事件为，求概率；（2）设“且”的事件为，求概率【答案】【解析】【点评】【题干】一只小蜜蜂在一个棱长为的正方体玻璃容器内随机飞行若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器个表面中至少有一个的距离不大于，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器个表面的距离均大于，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）A B C D【答案】C；【解析】容易知道，当蜜蜂在边长为，各棱平行于玻璃容器的棱的正方体内飞行时是安全的于是安全飞行的概率为【点评】【题干】

14、在棱长为的正方体中，点为底面的中心，在正方体内随机取一点，则点到点的距离大于的概率为_【答案】【解析】点到点的距离大于的点位于以为球心，以为半径的半球外记点到点的距离大于为事件，则.【点评】【题干】在棱长为的正方体内任取一点，则点到点的距离小于等于的概率为（ ）A. B C. D 【答案】C 【解析】本题是几何概型问题，与点距离等于的点的轨迹是一个八分之一个球面，其体积为：，“点与点距离大于1的概率”事件对应的区域体积为：，则点到点的距离小于等于的概率为：.【点评】【题干】设正四面体的体积为，是正四面体的内部的点设“”的事件为，求概率；设“且”的事件为，求概率【答案】【解析】分别取上的点，并，

15、连结，则平面平面当在正四面体内部运动时（如图），满足，故在上取点，使，在上取点，使，在上取点，使，在正四面体内部运动时，满足结合，当在正四面体的内部及正四面体的内部运动时，亦即在正四面体内部运动时（是与的交点，是与的交点），同时满足且，于是【点评】五、高考汇编【题干】（2010年江苏理科 3）盒子中有大小相同的只白球，只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率_.【答案】【解析】【点评】【题干】（2010年江苏理科4）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的根中，有

16、_根在棉花纤维的长度小于.【答案】【解析】【点评】【题干】（2011江苏5）从，这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_.【答案】【解析】【点评】【题干】（2011江苏6）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是，则该组数据的方差_.【答案】【解析】可以先把这组数都减去再求方差， 【点评】【题干】（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高二年级抽取_名学生【答案】.【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样.将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性.因此，由知应从高二年级抽取名学生.【点评】【题干】（2012年江苏省5分）现有个数，它们能构成一个以为首项，为公比的等比数列，若从这个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是_【答案】.【解析】以为首项，为公比的等比数列的个数为，其中有个负数，个正数计个数小于， 从这个数中随机抽取一个数，它小于的概率是.【点评】