椭圆的经典知识总结(4页).doc

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1、-椭圆的经典知识总结-第 4 页椭圆知识总结 班级 姓名 椭圆的定义:平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和轴上时椭圆的焦点坐标为，； 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质（1）对称性

2、：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。（3）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 ， 线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，

3、就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2）；（3）； ；知识点四：椭圆 与 的区别和联系标准方程 图形性质焦点，焦距 范围，对称性关于轴、轴和原点对称顶点，轴长长轴长=，短轴长= 离心率准线方程注意：椭圆，的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有和，；不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不相同。规律方法： 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴

4、上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量的几何意义椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且。可借助右图理解记忆：显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，

5、且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称； 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不

6、变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、之间的关系. 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，用表示为。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且A，B

7、，C同号，AB）。2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。通径椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；（2）点在椭圆上1；（3）点在椭圆内3直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线与椭圆相离；如:直线ykx1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是_（答：1，5）（5，+）；4、焦半径（圆锥曲线上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准

8、线的距离，即焦半径，其中表示P到与F所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为_（答：10/3）；（2）椭圆内有一点，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_（答：）；5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：，当即为短轴端点时，的最大值为bc；6、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则，若弦AB所在直线方程设为，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；如（1）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；（2）已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x2y=0上，则此椭圆的离心率为_（答：）；（3）试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称（答：）； 特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验