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1、-用极限定义证明极限-第 3 页例1、用数列极限定义证明:上面的系列式子要想成立,需要第一个等号和不等号(1)、(2)、(3)均成立方可。第一个等号成立的条件是n2;不等号(1)成立的条件是2n;不等号(2)成立的条件是72;不等号(4)成立的条件是,故取N=max7, 。这样当nN时,有n7,。因为n7,所以等号第一个等号、不等式(1)、(2)、(3)能成立;因为,所以不等式(4)能成立,因此当nN时,上述系列不等式均成立,亦即当nN时,。在这个例题中,大量使用了把一个数字放大为n或的方法,因此,对于具体的数,可把它放大为kn(k为大于零的常数)的形式例2、用数列极限定义证明:不等号(1)成
2、立的条件是,故取N=max4, ,则当nN时,上面的不等式都成立。注:对于一个由若干项组成的代数式,可放大或缩小为这个代数式的一部分。如:例3、已知,证明数列an的极限是零。证明:,欲使成立由不等式解得:,由于上述式子中的等式和不等号(1)对于任意的正整数n都是成立的,因此取,则当nN时,不等号(2)成立,进而上述系列等式和不等式均成立,所以当nN时,。在上面的证明中,设定,而数列极限定义中的是任意的,为什么要这样设定?这样设定是否符合数列极限的定义?在数列极限定义中,N是一个正整数,此题如若不设定,则就有可能不是正整数,例如若2,则此时N1,故为了符合数列极限的定义,先设定,这样就能保证N是正整数了。那么对于大于1的,是否能找到对应的N?能找到。按照上面已经证明的结论,当0.5时,有对应的N1,当nN1时,0.5成立。因此,当nN1时,对于任意的大于1的,下列式子成立:0.51,亦即对于所有大于1的,我们都能找到与它相对应的N=N1。因此,在数列极限证明中,可限小。只要对于较小的能找到对应的N,则对于较大的就自然能找到对应的N。