导数与三次函数问题有答案(24页).doc

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1、-导数与三次函数问题有答案-第 24 页导数与三次函数问题 知识梳理一、定义：、形如的函数，称为“三次函数”三次函数的导数， 叫做三次函数导函数的判别式。二、三次函数图象与性质1.三次函数图象a0a0000图象x1x2xx0xx1x2xx0x2函数单调性、极值点个数情况。=，记=，（其中x1,x2是方程=0的根，且x10a0000单调性在上,是增函数；在上,是减函数；在R上是增函数在上，是增函数；在上，是减函数；在R上是减函数极值点个数20203、三次函数最值问题。 函数若，且，则：； 。4、三次方程根的问题。（三次函数的零点问题）三次函数(1) 若，则恰有一个实根；(2) 若,且，则恰有一个

2、实根；(3) 若,且，则有两个不相等的实根；(4) 若,且，则有三个不相等的实根.5、对称中心。三次函数是关于点对称，且对称中心为点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。.C典型考题1.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ A ）A .b（-，0） B.b（0，1）C .b（1，2） D. b（2，+）2.如图，函数yf（x）的图象如下，则函数f（x）的解析式可以为（A）f（x）（xa）2（bx）f（x）（xa）2（xb）f（x）（xa）2（xb）f（x）（xb）2（xa）3.设b,函数的图像可能是（ C ）4已知函数，当时，只有一个实数根；当有3个相异实根，现给出

3、下列4个命题： 函数有2个极值点； 函数有3个极值点；方程的根小于的任意实根； 和有一个相同的实根其中正确命题的个数是（ C ）。A1B2C3D45、函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是（ C ）A. 1，1 B. 1，17C. 3，17 D. 9，196.函数f（x）=x3/3+ax2/2+ax-2 （a）在(-,+)上为单调增函数，求实数a的取值范围是。a0，47.已知函数f（x）x/3（m）x（mm）x在实数集上是增函数，求实数m的取值范围。解：yf（x）在上是单调增函数f（x）x（m）xmm在上恒成立，= =mm得m8.已知曲线yx3/34/3，求曲线在点（，）处的切线方程解：f

4、（x）x2，f（），曲线在点（，）处的切线斜率为kf（）代入直线方程的斜截式，得切线方程为：y（x），即yx变式：已知曲线yx3/34/3，则曲线过点（，）的切线方程。错解：依上题，直接填上答案xy错因剖析：如下图所示，在曲线上的点A处的切线与该曲线还有一个交点。这与圆的切线是有不同的。 点（，）在曲线yx3/34/3上，它可以是切点也可以不是。正确解法：设过点（，）的切线对应的切点为（x0，x03/34/3），斜率为k=x02，切线方程为y -（x03/34/3 ）=x02（x-x0）即y=x02x- 2x03/3+4/3 点（2，4）的坐标代入，得4=2x02- 2x03/3+ 4/3，

5、2 x03-6 x02+8=0 ， x03-3x02+4=0， 又x03+1-（3x02-3）=0（x0+1）（x02-x0+1）-3（x0-1）（x0+1）=0（x0+1）（x02-4x0+4）=0 x0=-1或x0=2切线的方程为4x-4-y=0或x-y+2=0点评：一个是“在点（2，4）”、一个是“过点（2，4）”，一字之差所得结果截然不同。9、已知函数求函数的单调区间及极值；求在上的最值。解：令 、的变化情况如下表1（1，1）100极大值极小值的单调递增区间是和 的单调递减区间是 当时，有极大值 当时，有极小值 在上只有一个极值点在上的最小值为2，最大值为18变式一、已知函数，其他不变

6、解： 在单调递增，没有极值 在上的最小值为，最大值为变式二、已知函数；其他不变 解： 没有实数根 在上恒成立在上单调递增，没有极值 在上的最小值为，最大值为变式三、已知函数，实数为何值时，函数与的图象的交点有一个、二个、三个？1Oyx221 解：由例1画出函数的大致图象如图，观察图象，可得 当或时，函数与 只有一个交点。 当或时，函数与 有二个交点。 当时，函数与有三个交点。变式四、为何值时，函数有一个零点？两个零点？三个零点？解：令 、的变化情况如下表1（1，1）100极大值极小值的单调递增区间是和 的单调递减区间是 当时，有极大值 当时，有极小值要使有一个零点，需且只需，解得要使有二个零点

7、，需且只需，解得要使有三个零点，需且只需，解得变式五、已知函数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围解：设切点为，则切线方程 即 切线过点A 即 过点可作的三条切线 方程有三个相异的实数根设，则当变化时，、的变化情况如下表000极大值极小值由单调性知：若极大值或极小值，方程只有一个实数根；若或，方程只有两个相异的实数根，综上，要使方程有三个相异的实根，须且只须，所以，所求的的取值范围是。变式六、已知函数 ，若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围。解： 若，则 在上恒成立 在上单调递增 当时，函数的图象与有且只有一个交点。若，则 有两个不相等的实根，不妨设为、且， 则 当变化时，、的

8、取值变化情况如下表00极大值极小值 同理 令，解得ayx3x2x1y=f(x) 当时，当时，函数的图象与轴有且只有一个交点的大致图象如图所示：综上所述，的取值范围是综 合 练 习 题Oyx121、已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图象经过点，；如图所示， 求：的值；、的值。（2006北京）解：由数形结合可知 当时，； 在上递减 当或， 在和上递增 当时，有极大值解法一、 由已知，得 解得解法二、由数形结合可设 又 由2、若函数在区域内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围。（2004全国卷）解： 令解得，当即时，在上为增函数，不合题意当即时，函数在上为增函数，在内为减函数，在上为增

9、函数，依题意应有： 当时，当时， 所以，解得 综上，的取值范围是3、已知函数在处取得极值，讨论和是函数的极大值还是极小值；过点作曲线的切线，求此切线方程。（2004天津）解：，依题意有 即 解得 令 得 ， 若，则 的单调递增区间为和 若，则 的单调递减区间为 所以，是极大值，是极小值曲线方程为，点不在曲线上， 设切点为，则点的坐标满足 因，故切线方程为 点在切线上 解得 切点为，切线方程为变式：若第小题改为，其他不变。提示：仿照上题中的解法，有 或 所求的切线方程为或3、已知函数在与时都取得极值。 求、的值及函数的单调区间；若对，不等式恒成立，求的取值范围。（2006江西）解：，依题意，得

10、，解得 变化时，、的变化情况如下表100极大值极小值 所以的递增区间为与，递减区间为 当时，为极大值，而 为最大值 要使恒成立 只须 解得 或思考：若变为，的取值范围怎样？4、已知函数是上的奇函数，当时，取得极值，求的单调区间和极大值；证明：对任意，不等式恒成立。解：由奇函数的定义，应有， 即 注意：可用 因此， 由条件为的极值，得 即 解得， 当时，故在单调区间上为增函数 当时，故在单调区间上为减函数 当时，故在单调区间上为增函数 所以在处取得极大值，极大值为证明：由知，是减函数 且在上的最大值为 在上的最小值为 所以对任意恒有5、已知，函数的图象与函数的图象相切。求与的关系式（用表示）；设

11、函数在内有极值点，求的取值范围。（2004湖北）解：依题意，令，得 由，得 令 即 则若，则有一实根上，且变化时，的变化如下0 于是不是函数的极值点若，则有两个不等的实根， 变化时，的变化如下00 由此，是函数的极大值点，是函数的极小值点。 综上所述，当且仅当时，函数在上有极值点 由，得 或或 解得 或 故所求的取值范围是2（2010江西卷）设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.解析，由得，当时，取极大值0，当时取极小值且极小值为负。故选C。或当时，当时，选C解析（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不

12、存在实数，使得是上的单调函数.（06福建文21）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在自然数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解析本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。满分12分。（I）解：是二次函数，且的解集是可设在区间上的最大值是由已知，得 （II）方程等价于方程设则当时，是减函数；当时，是增函数。方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，所以存在惟一的自然数使得方程在区间

13、内有且只有两个不同的实数根。2（2010北京卷） 设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。3（2009江西卷）设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围3解：(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.4已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解：（1

14、）求导：当时，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：例1、（全国卷文21）已知函数f（x）=x-3a+3x+1。（）设a=2，求f（x）的单调期间；（）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。例1、解：式无解，式的解为， 因此的取值范围是.例2、已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）（1）求函数的单调区间；（2）若方程有且只有两个不等的实数根，求常数；（3）在（2）的条件下，若，求函数的图象与轴围成的封闭图形的面积例2、解：（1）由，得取，得，解之，得，从而，列表如下：100有极大值有极小值的单调递增区间是和；的单调递减区间是（2）由（1）知，；方

15、程有且只有两个不等的实数根，等价于或 8分常数或 （3）由（2）知，或而，所以令，得，所求封闭图形的面积14分例3、（恒成立问题）已知函数有极值（）求的取值范围；（）若在处取得极值，且当时，恒成立，求的取值范围例3、解：（）， 要使有极值，则方程有两个实数解， 从而， （）在处取得极值，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减时，在处取得最大值， 时，恒成立，即，或，即的取值范围是例4、（信息迁移题）对于三次函数。定义：（1）的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于

16、点对称。（1）己知， 求函数的“拐点”的坐标；（2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称;（3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。例4、解：（1）依题意，得： ，。 由 ，即。，又 ， 的“拐点”坐标是。 （2）由(1)知“拐点”坐标是。 而由定义(2)知：关于点对称。 （3）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。 或者：任何一个三次函数都有拐点； 任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数 .例5、（与线性规划的交汇问题）设函数, 其中,是的导函数.(1)若,求函数的解析式;(2)若,函数的两个极值点为满足. 设, 试求实数的取

17、值范围.例5、解: ()据题意,由知,是二次函数图象的对称轴又, 故是方程的两根.设,将代入得比较系数得:故为所求.另解：，据题意得 解得故为所求.()据题意,则又是方程的两根,且则则点的可行区域如图的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值故的取值范围是例3. （天津）已知函数在x1处取得极值。（I）讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（II）过点A（0，16）作曲线yf(x)的切线，求此切线方程。解：（I）因为，所以导方程。因为在x1处取得极值，所以，是导方程的两根，所以解得 a1，b0所以 由推论得是f(x)的极大值；f(1)2是f

18、(x)的极小值。（II）曲线方程为，点A（0，16）不在曲线上。设切点为M因为，故切线方程为点A（0，16）在切线上，所以解得，切点为M（2，2）故所求切线方程为例4. （湖北）已知，函数的图象与函数的图象相切。（I）求b与c的关系式（用c表示b）；（II）设函数在（）内有极值点，求c的取值范围。解：（I）依题意，得所以因为所以（II）因为所以F（x）的导方程为：依性质1的推论得：所以 ，所以 或解之得故所求c的范围是（0，）（）。巩固练习1、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则yf(x)的图象最有可能是（）2、函数在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是（ C ）A. 1，1 B. 1

19、，17C. 3，17 D. 9，193、（江西卷文17）设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识4、设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。5、（天津卷文20）已知函数f（x）=，其中a0. （）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.6、（重庆卷文19）已知函数 （其中常数a，bR），是奇函数.（）求的表达式；（）讨论的单调性，

20、并求在区间上的最大值与最小值.7、已知在函数的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 （1）求m、n的值； （2）是否存在最小的正整数k，使不等式对于恒成立？求出最小的正整数k，若不存在说明理由；20070329 （3）求证：8、（2010浙江文数）（本题满分15分）已知函数（a-b）b)。（I）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程。（II）设是的两个极值点，是的一个零点，且，9、（福建文22）已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2()求实数a,b的值；()设g（x）=f(x)+是上的增函数。KS*5U.C#O （i）求实数m的最大值； (i

21、i)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。KS*5U.C#O作业：1、解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则的图象给出了如下信息：导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；在（0，2）上；在（，0）或（2，）上。由和性质1可排除B、D；由和性质1确定选C。2、解：函数的导方程是，两根为1和1，由性质2得：故选C。3、【解析】（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.4、5、【解析】（）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=

22、3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（）解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-f(x)极大值当等价于，解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：X0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）0等价于即，解不等式组得或.因此2a5.综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a5.6、7、解：（1），（2）令，在1，3中，在此区间为增函数时，在此区间为减函数.处取得极大值.，3时在此区间为增函数，在x=3处取得极大值.8分比较（）和的大小得：（无理由最大，扣3分）即存在k=2007 （3）而（也可由单调性：8、9、