一维波动方程推导.ppt

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1、应力波反射法检测基桩原理,1.1 基桩动测技术的发展及国内外研究现状,一百年以前，动力打桩公式 1865年B.de Saint Venant提出一维波动方程 50年代后期A.Smith提出了波动方程在桩基中应用的差分数值解法，它把锤一桩一土系统简化为质量块、弹簧和阻尼器模型从而使波动方程打桩分析进入实用阶段。,1967年美国G.G.Goble等人发表了“关于桩承载力的动测研究”一文， 1975年发表了“根据动测确定桩的承载力”研究报告 1970年以后，美国己把动力试桩技术用于实际工程 1977年PDI公司开始生产以PDA(Pile Driving Analyzer)打桩分析仪 采用波动方程程序

2、(Case Pile Wave-equation Analysis program/contimuous,简CAPWAPC程序)对桩的侧阻分布、端阻和桩身缺陷进行实测波形的拟合法分析。,方便、快捷、一定的准确度被各国接受 要求较高的人员素质、专业理论知识、 丰富的工程经验 缺乏与静荷载试验在桩周分层摩阻力和端阻力方面对比。,1.2.1 一维杆的纵向波动方程,一根材质均匀的等截面弹性杆，长度为L，截面积为A，弹性模量为E，体密度为。若杆变形时符合平截面假定，在杆上端施加一瞬时外力，单元受力如图所示。图中包含外力、土阻力、阻尼力的作用。,杆单元受力图,以单元dx为对象，建立x方向的平衡方程得,（1

3、）,（2）,令,，即得著名的一维波动方程,（3）,由材料力学知识得：,将式（2）带入式（1）：,1.2.2一维波动方程的解,求解一维波动方程有多种方法，常用的有行波法、分离变量法、特征线法，这里主要介绍基桩检测常用的行波法。,作变量代换：,（4）,(5),(6),(7),(8),(9),将式（5）式（8）代入式（4）,对式（9）连续两次积分得到方程的通解：,通解中的函数f和g是具有两阶连续偏导数的任意函数，由波动的初始条件确定。,设问题的初始位移和初始速度分别为：,(11)、(12),积分（13）有：,（10）,（11）,（12）,（13）,（14）,因此一维波动方程的定解问题的通解可以最终表

4、示为：,这一通解公式称为DAlembert 公式。可以证明该解是唯一的，而且是稳定的。,（15）,（16）,1.2.3 解的物理意义,假设式（16）的第二式为零，即 ，当波速一定时，随 着时间的 增长，位移逐渐沿x轴向下传播，因此我们习惯称为f下行波。同理 称为g上行波。上下行波在传播过程中，由于函数f和g都不发生变化， 因此，波的形状不变，在不考虑杆周围介质的影响，其幅值也不变。 前面假设杆的材质是均匀的，经过t0时刻，波形移动了ct0的距离， 波速为ct0/t0c，这表明波在传播中速度不变。,物理现象为杆上各点，振动未传到时，处于平衡状态，振动传到 时，相应点将发生位移的变化，振动穿过后，

5、该点仍回到平衡位置。,1.2.4 一维波动方程的解在基桩测试中的应用,1 假设桩身中只有下行波（压力波为例），即,则下行波引起的质点振动速度,下行波引起的桩身应变为,式中的负号表示以压缩变形为负，拉伸为正。,（17）、（18）,式中，ZEA/C称为桩身阻抗，是由桩身材料特性和桩身截面确定的量。,（17）,（18）,（19）,（20）,2 假设桩身中只有上行波（压力波为例），即,则上行波引起的质点振动速度,式中负号表示质点振动速度向上为负。,上行波引起的桩身应变为,（21）、（22）,下行波中质点的运动方向与所受力的方向始终一致； 上行波中质点的运动方向与所受力的方程始终相反。,结论：,（21）

6、,（22）,（23）,（24）,3 通过计算可以分离出桩身各截面 上行波和下行波的值，具体如下：,将式（20）和式（24）带入式（25），即得,(25),(26),4 上下行波在界面或端部的反射,当杆或桩的端部为自由端时，其边界条件为：,将式（20）和式（24）带入式（27）得,公式（27）、（28）和式（29）表示，当下行波传到自由端时，将产生一个符号相反，幅值相同的反射波，才能保持力的平衡，即如果下行的是压缩波，则反射的一定是拉伸波，下行的是拉伸波，则反射的一定是压缩波。桩身阻抗减少的界面反射波的规律与自由端类似。,（25）、（28）,即在杆端由于波的叠加，使杆端质点速度增加一倍。,（27

7、）,（28）,（29）,（30）,当杆或桩的端部为固定端时，其边界条件为,将式（20）和式（24）带入式（31）得,类似地,公式（32）、（33）、（34）表示应力波到达固定端后，将产生一个与入射波相同的反射波，即入射的压力波产生压力反射波，入射的拉力波产生拉力反射波。在杆端处由于波的叠加使反力增加一倍。,（31）,（32）,（33）,（34）,1.2.5 基桩或杆件阻抗变化引起的反射波,当基桩或杆件阻抗发生突变时，如图2所示，由变阻抗处的连续条件可得：,将式（20）和（24）代入式（35），可得,图2 阻抗变化引起的反射波,（35）,（36）,当只有下行波通过界面时：,当只有上行波通过界面时

8、：,同理可以推出,（36）,（36）,（37）,（38）,（39）,由上式可得： （1）当原有的下行波通过阻抗变化的截面时，反射波的幅值为原入射波的（Z2Z1）/(Z1+Z2)倍，并根据（Z2Z1）的正负决定反射波的性质是否变化。 （2）应力波反射和透射能力大小取决于两种介质波阻抗的差异情况。两种介质波阻抗相差愈大，反射能力愈大，透射能力愈小；波阻抗相等，只有透射没有反射。 （3）波的性质：压力波，拉力波的变换,（4）当桩身缩径、夹泥、离析、断桩等缺陷时，Z2Z1，入射波与反射波反号；,1.2.6土阻力对应力波的影响,如图，假定有一冲击力作用在桩顶，产生的应力波沿桩身往下传播，在距桩顶x处遇到

9、一阻力R，应力波将发生反射和透射。设阻力作用截面以上标记为1,以下标记为2。根据力的平衡条件得,将式(20)、（24）带入式（40）可得,图3 土阻力波在桩中的传播,（40）,（41）,（42）,由截面的连续条件可得,联立方程式（41）式（43）可得,式（44）表示，下行入射波通过x截面时，由于阻力作用，将在界面处产生幅值均为Rx/2的向上传播的压力波和向下传播的拉力波。,同理，可以推出,式（45）表示，下行入射波通过x截面时，阻力将使速度曲线下降Rx/2Z。,如果在深度x处的阻力Rx于x/c时刻开始作用，则在2x/c时刻桩顶力和速度之间的差为R，因为上行波的力和速度的大小均为R/2,总和为R

10、。,（43）,（44）,（45）,如果阻力在L/C时刻作用在桩尖，根据力的平衡条件，将产生一个上行的应力波，其值为R。质点速度为R/Z。,如果在时段x/c2L/c内有一阻力R持续作用，则在2L/C时刻，力和速度记录中将包含下列影响：,在2L/C时刻之前由初始的下行压缩波在桩底反射产生的上行拉伸波 F(d, t1)； 2. 全部上行的压缩阻力波（R/2）的总和； 3. 初始的下行的拉伸阻力波经桩底反射后以压缩波形式上行，与1 项的上行波同时到达桩顶； 4. 所有上行波到达桩顶后反射形成的全部下行波F(d, t2)。,2、3项的应力波之和为R，其中包括了两个二分之一侧阻力和全部的端阻力。 因此，全

11、部上行波的总和将包括阻力波和t1时刻的冲击波在桩底的反射波（取负值）。,式中，下标1和2表示时刻t1和时刻t2=t1+2L/C,R是遇到的总阻力，包括动阻力和静阻力，这个总阻力和桩的极限承载力之间仍存在差别，为了预估桩的承载力，需要作多方面的考虑：,即,（46）,（47）,去除土阻尼的影响; 在对P和V曲线采样时，正确选择t1时刻，使阻力充分激发； 对由于桩的过早回弹（在2L/c时刻之前产生负的速度）而导致桩侧和桩端阻力下降 做出修正； 考虑土的强度和时间的关系，桩在打入或压入土体过程中，一般都要扰动周围土体，使土体强度降低，要得到桩使用条件下的极限承载力，必须经过一定时间的间歇，使土体强度恢

12、复到正常使用状态后测试。不同的土体扰动后恢复的时间不同，具体详见建筑基桩检测技术规范JGJ106-2003。 土阻力的发挥在一定范围内与桩土之间的相对位移成正比，因此测试时，桩必须获得永久性的贯入度，如果桩没有被打动，或者贯入度极小，则得到的承载力仅仅是一种激发值，就好像不做到破坏的静载试验一样。,1.2.7 去除土阻尼的影响,CASE法分析时，假设土的动阻力集中在桩尖，桩周不存在动阻力。动阻力与桩土相对运动速度和阻尼有关，CASE法中一般假设动阻力与速度和阻尼成正比，即,式中，J为粘滞阻尼系数，Jc为CASE阻尼系数； 阻尼系数和桩底附近的土的颗粒尺寸有经验关系,桩端的运动速度可以通过桩顶实

13、测结果计算出来，设由桩顶下行的力波在t时刻到达桩底，则,（48）,（49）,（50）,由于,可得CASE法的静阻力公式,（51）,（52）,1.2.8 CASE法的最大阻力修法,对于每一时刻t，可以确定一个R，通常把第一个速度主峰选作t1时刻，一般认为t12L/c时刻阻力已被充分激发。,但是，当桩端的最大弹性位移很大时，需要土的压缩相当大时方能激发出全部承载力，这种情况下，全部的阻力或最大的Rs将延迟发生，可以在峰值后延时t1的方法找出Rs的最大值。这就是CASE法的最大阻力修正法。这种修正方法主要适于端承型桩且端阻力发挥所需位移较大的情况。,1.2.9 卸载修正法,图5 需卸载修正的曲线,对

14、于图5所示的曲线，用CASE法确定承载力时，当较高荷载水平的激励脉冲有效持续时间小于2L/C时，例如对于长桩，大部分阻力来自桩身摩阻力，在桩难以打入时，都会使桩上部一小段或较大一段范围在2L/c前出现过早回弹，即回弹桩段的摩阻力卸载，使CASE法低估了承载力。 CASE使用下列方法修正这种情况，首先确定桩顶速度变成零的时间和冲击后应力波于2L/C时刻返回的差，称之为tu，产生卸载的桩身长度LutuC/2，为了估算卸载阻力，先得出长度Lu段激发的侧,阻力。这个阻力值等于实测曲线上冲击后tu时刻力和速度差值的一半。为了估计 卸载土阻力Run,令t1+tu时刻力和速度曲线之差为xu段激发的总阻力Rx

15、，取RunRx/2 将加到总阻力R上，以补偿由于提前卸载所造成的R的减小，然后从其中减去阻尼 分量而得到修正后的静阻力，这个方法称为RSU法。,1.3 高应变时程曲线的判读,1.3.1 利用F和V曲线查找系统故障,要想正确判读F、V曲线，必须首先了解各种桩型的“标准”曲线。不同的桩型其“标准”曲线也不尽相同，下面列出目前我国使用较多的几种桩型的正常的F、V曲线。混凝土预制桩（柴油锤作为动力系统，否则同灌注桩）的标准曲线如图6所示，图7是使用自由落锤锤击混凝土灌注桩时测试的正常曲线。,图6正常的混凝土预制桩信号,图7常的混凝土灌注桩信号,高应变法检测基桩的现场采集工作比较复杂和繁琐，要顺利完成整

16、个试验过程，牵涉到各方面的准备和协调工作，如传感器的安装、仪器连线、参数的输入、锤击系统的调整、锤垫的选择等，如何协调这么多环节，可以通过F、V曲线的判读边做边指导。试验时可现将锤落距调低一点，或者采用轻锤锤击桩顶，观察所测得的F、V存在什么问题，以便及时校正系统的各个环节。,图8 力传感器松动时的信号,图9 双边力严重偏心信号,（1）由于力传感器安装不牢而松动引起的振荡如图8； （2）由于锤击偏心引起的力信号幅值相差偏大如图9； （3）波速设置过高或过低，桩底反射位置偏移2L/C位置较多； （4）F、V曲线缺失，或局部曲线严重突变，可能是连线故障； （5）观察桩底动位移积分曲线，调整锤击力的

17、大小。,以下是几种试验中常见的现象：,1.3.2 判读桩身完整性,由于锤击所产生的压力波向下传播，在有桩侧阻力处或界面突然增大处会一个反射压力波，这一压力波返回到桩顶时，将使桩顶处的力增大，使速度减小。同时，下行的压力波在桩截面突然减小处或有负侧阻力处，将反射一个拉力波。拉力波返回到桩顶时，使桩顶处的力值减小，速度增加。这就是利用实测的力波曲线和速度波曲线判断桩身完整性的依据。,如图10所示，当速度幅值突然增加，力值突然减小时，如图中16.5m处，传感器突然接收到一个拉力波，根据收到拉力波的时刻就可以估计出拉力波产生的位置，即桩身阻抗减小的位置。桩身阻抗的变化我们用桩身完整性系数表示：,（53

18、）,当界面变化时，下行波的入射压力波和反射拉力波的比值为：,考虑土力波，缺陷截面处入射波的波幅为,如果在ta时刻以后没有任何回波叠加，则自ta以后，速度波和力波将保持平行，图中超出平行线的部分就是由拉力波的叠加所产生的，大小用U表示。,。,由于定义压力为正，故上行的拉力波幅值,是负的，上行的速度为,是正值。上行的拉力波与原来的波叠加时，使力波幅值减小,，使速度波幅值,增加,，所以两条曲线的差值的变化量为,。,（54）,所以公式（54）可以改写为,CAPWAP程序实际应用中对上述公式进行了修改如下：,于是得,（55）,（56）,（57）,缺陷距传感器的距离X,当桩中的缺陷是轻微时，G.Goble

19、, Rauche 建议了一个估算裂缝宽度的近似计算公式：,图11 浅层严重缺陷桩,（58）,（59）,图12 桩接头不好,图13 某工程单节桩中部损伤,图14 浅层扩径桩,图15 中部缩径灌注桩,1.3.3 判读桩周土阻力分布,根据前面应力波传播理论，应力波在在传播过程中遇到桩周土阻力时，将发生反射的特性，反射波经过一段时间传到桩顶后从实测曲线上反映出来。在未受到摩阻力时，桩身阻抗和速度的乘积与传感器测试的力相等，速度曲线和力曲线重合，当受到摩阻力R时，摩阻力将产生两种波，一是向上传播的压力波，其值为R/2，另一种是向下传播的拉力波，其值为R/2。如初始波为压力波，质点速度向下，那么不论哪种波

20、都会降低桩身质点速度，从而将速度曲线与力曲线拉开，拉开的距离和阻力成正比。因此，根据所测的力曲线和速度曲线拉开的距离可以判断桩侧阻力的大小。,当应力波传播到桩端时，由于桩身阻抗的突然消失使得质点速度增大，力值减小，同时，桩端阻力使质点速度减小，力值增大，而且，端阻力的发挥的程度不同，质点速度减小、力值增大的程度也不同，故F、V曲线的桩底反射程度，只能一定程度上反映端承力的大小。,如图16，a为实测F、V曲线，b为拟合得到的桩侧阻力分布结果。F、V曲线在0.7L/C之前，间距均较小，然后F曲线有所上升，V曲线急剧下降，1.2L/C后F曲线 又下降，但V曲线仍在下降，直到2L/C之前。从拟合的侧摩

21、阻力分布曲线上看， 侧阻力的高低同F、V曲线之间的建立同地质报告是一致的。在14m以上，桩周土 为淤泥质粘土，摩擦力较小，然后进入灰质粘土层，摩擦力增大，接着又进入淤 泥质粘土，摩擦力又减小，最后进入粉土层，摩擦力急剧上升。,图16 某预应力管桩,如图17，a、b为某工程钻孔灌注桩，从F、V曲线上判断，a桩桩底反射比b桩高，反映a桩端阻力比b桩低，后经过静载荷试验验证，a桩端承力占5%，b桩占18%。,图17 设计相同的两根灌注桩,如图18，a为某预制桩粗大曲线，b为其25天后复打曲线，初打时，由于土体扰动使桩周土对桩的摩擦力减小，从曲线上看，F、V曲线之间的距离较小，25天后，土体强度恢复，桩周土对桩的阻力增加，F、V曲线之间的距离也相应增大。,图18 某混凝土预制方桩,1.4 高应变法分析基桩竖向承载力的方法,1.4.1 CASE法,1 基本假定,2 基本模型,1.4.2 CAPWAP法,1 基本假定,2 力学模型,3 计算步骤,