初中数学复习第四讲——整式与分式(14页).doc

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1、-初中数学复习 第四讲整式与分式-第 12 页初中数学复习 第四讲整式与分式一、 知识结构代数式分式整式分式的意义分式的基本性质分式的运算（加、减、乘、除）整数指数幂的运算整式的有关概念整式的运算（加、减、乘、除、乘方）因式分解说明：在本部分，代数式分为整式和分式讨论。在实数范围内，代数式分为有理 式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。二、 知识点梳理1. 代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结 果叫做代数式的值。2. 单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式（

2、单独 一个数也是单项式）；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数（包 括符号）；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。3. 多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项 式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就 是这个多项式的次数。4. 整式：单项式、多项式统称为整式。5. 分式：两个整式A、B相除，即AB时，可以表示为.如果B中含有字母， 那么叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。6. 同类项：所含的字母相同，且相同的字母的指数也相同的单项式叫做同类项。 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项；一个多项式合并 后含有几

3、项，这个多项式就叫做几项式。合并同类项的法则：把同类 项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变（合 并同类项，法则不能忘，只求系数代数和，字母指数不变样）。7. 整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法则和合 并同类项来完成整式的加减运算。去括号法则：括号前面是“+” 号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“” 号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号。（括号前面是“+” 号，去掉括号不变号；括号前面是“”号，去掉括号都变号。）8. 同底数幂的乘法：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 .（m、n都是正整数）9. 幂的乘方：幂的乘方，底数不

4、变，指数相乘，即 .（m、n都是正整数）10. 积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， 即 .（n为正整数）11. 整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘，把它们的系 数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它 的指数不变，也作为积的因式。 （2）单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式乘 以多项式的每一项，再把所得的积相加。 （3）多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多 项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得到的 积相加。12. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。即 .（m、n是正整数且mn，

5、a0）. 任何不等于零的数的零次幂为1，即13. 整式的除法：（1）单项式除以单项式：两个单项式相除，把系数、同底数幂 分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则 连同它的指数作为商的一个因式。 （2）多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把多项式的每 一项除以单项式，再把所得的商相加。14. 分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式， 分式的值不变，即 其中M、N为整式，且B0，M0，N0.15. 约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分； 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式 叫做最简分式； 化简分式时，如果

6、分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数 的最大公因数、相同因式的最低次幂。如果分子、分母是多项式，先分 解因式，再约分。化简分式时要将分式化成最简分式或整式。16. 通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过 程叫做通分。17. 分式的运算：（1)分式的乘除：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母 相乘的积作分母；分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒 位置后，再与被除式相乘。 用式子表示为： (2)分式的加减：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减； 异分母分式相加减，先将它们通分，然后进行加减。18. 乘法公式：（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘

7、积等于这两个 数的平方差，即 （2）完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和， 加上（或减去）它们积的两倍，即19. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式 分解，也叫做把这个多项式分解因式。 （1）提取公因式法：（一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个 多项式的公因式。）如果一个多项式的各项含有公因式，那么 可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提取公因式 后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法 叫做提取公因式法。 提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时） 与各项都含有的相同字母的最低次幂的积。 （2）公式法：逆用乘

8、法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式 法。 平方差公式：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式， 那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数 的和与这两个数的差的积。 完全平方公式：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加 上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方 公式把它分解因式，它等于这两个数的和（或差）的平方。 （3）十字相乘法：如果二次三项式中的常数项q能分解 成两个因数、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那 么 就可以进行如下的因式分解，即 一般的，上式可以用十字交叉线表示： x +a x +b （4）分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解

9、法。20. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 一元方程的解也叫做方程的根， 在分式方程变形时，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根 叫做原分式方程的增根。21. 整数指数幂：为了使同底数幂相除的性质在m、n是正整数，且mn时仍 成立，规定（其中a0，p是自然数）。 整数指数幂运算性质： （m、n为整数，a0） （m、n为整数，a0） （n为整数，a0，b0）.三、 基本要求1.理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。2.通过列代数式，掌握文字语言与数学式子的表述之间的转换，领悟字母“代” 数的数学思想；会求代数式的值。3. 掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则，掌握

10、平方差公式、两数和（差） 的平方公式。4. 理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、二次项系数为1时的十字 相乘法、分组分解法等因式分解的基本方法。5.理解分式的有关概念及其基本性质，掌握分式的加、减、乘、除运算。6.理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，掌握有关整数指数幂的 乘（除）、乘方等运算的法则。说明：在求代数式的值时，不涉及繁难的计算； 不涉及繁难的整式运算，多项式除法中的除式限为单项式； 在因式分解中，被分解的多项式不超过四项，不涉及添项、拆项等技巧； 不涉及繁复的分式运算。四、重点和难点重点：整式与分式的运算，因式分解的基本方法，整数指数幂的运算。难点：选择适当的

11、方法因式分解及代数式的混合运算。五、 中考考点考点1：代数式的有关概念考核要求：（1）掌握代数式的概念，会判别代数式与方程、不等式的区别； （2）知道代数式的分类及各组成部分的概念，如整式、单项式、 多项式； （3）知道代数式的书写格式.注意单项式与多项式次数的区别.例1 （1）下列选项中是代数式的是( ) A B C D （2）x2y的系数是 ，次数是 （3）是 次 项式。 （4）将按字母x的降幂排列 分析：(1)用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数 式；(2)单项式的系数包括符号，次数是所有字母的指数的和；(3)次 数最高项的次数就是这个多项式的次数；（4）按x的降幂排

12、列，与y 无关，y相当于是常数。解：（1）A （2） 3 （3）二 三 （4）考点2：列代数式和求代数式的值考核要求：（1）会用代数式表示常见的数量，会用代数式表示含有字母的简 单应用题的结果； （2）通过列代数式，掌握文字语言与数学式子表述之间的转换； （3）在求代数式的值的过程中，进行有理数的运算.例2 （1）用代数式表示： 比a的3倍还多2的数； x的立方根与2的和. （2）当a=2，a=-3，a=时，求代数式的值。解：（1）3a+2 （2） 9 9 考点3：整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则考核要求：（1）掌握整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则； （2）会用同底数幂的运算性质进行单

13、项式的乘、除、乘方及简单 混合运算； （3）会求多项式乘以或除以单项式的积或商； （4）会求两个或三个多项式的积.注意：要灵活理解同类项的概念.例3 （1） 若 是同类项，则m + n _ （2）先化简，再求值： ，其中， (3)先化简，再求值： ，其中 （4）已知代数式的值为9，则的值为_分析：（1）知道同类项的概念；（2）（3）要求熟练掌握整式的运算性质； （4）巧算。解：（1）5 （2）1 （3）1 （4）7考点4：乘法公式（平方差、两数和、差的平方公式）及其简单运用考核要求：（1）掌握平方差、两数和（差）的平方公式； （2）会用乘法公式简化多项式的乘法运算； （3）能够运用整体思想将一

14、些比较复杂的多项式运算转化为乘法 公式的形式.注意：（1）熟记平方差与完全平方公式。（2）完全平方公式、平方差公式中 字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.例4 (1) ； （2）（ab）(ab) ； (3) (ab)2 ；(4)(ab)2 .（5）计算：10298； .（6）计算：；.解：（1）ac+ad+bc+bd （2） （3）（4） （5）9996 ； ； （6）；考点5：因式分解的意义考核要求：（1）知道因式分解的意义和它与整式乘法的区别； （2）会鉴别一个式子的变形过程是因式分解还是整式乘法.例5 在下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）. （A）； （B）； （C）

15、； （D）.分析：因式分解与整式的乘法的过程正好相反。因式分解是从多项式变为几 个整式的积，而整式的乘法，是把整式的积化为一个多项式或单项式。解：A考点6：因式分解的基本方法（提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系 数为1的十字相乘法）考核要求：掌握提取公因式法、公式法、分组分解法和二次项系数为1时的 十字相乘法等因式分解的基本方法.例6 (1)下列分解因式正确的是（ ） A B C D （2）分解因式= (3)分解因式 （4）分解因式 （5）将分解因式的结果是 （6）分解因式=_ _； 解：（1）C （2） （3） （4） （5） （6）考点7：分式的有关概念及其基本性质 考核要求：（1

16、）会求分式有无意义或分式为0的条件； （2）理解分式的有关概念及其基本性质； （3）能熟练地进行通分、约分.例7 （1）若分式的值为零,则x的值是( ) A.2或-2 B.2 C.-2 D.4 （2）当a 时，分式有意义 （3）分式有意义的条件是 分析：（1）分子为零，而分母不为零；（2）（3）分母不为零。 解：（1）C （2） （3）且 说明：（1）若要分式有意义，则分母不为零（每一个分母）； （2）若要分式的值为零，则分子为零，且分母不能为零。考点8：分式的加、减、乘、除运算法则考核要求：（1）掌握分式的运算法则； （2）能熟练进行分式的运算、分式的化简.例8 （1）计算 （2） 解：（1

17、） ； （2）3b考点9：正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂、分数指数幂的概念考核要求：（1）理解正整数指数、零指数、负整数指数的幂的概念； （2）知道分数指数幂的意义； （3）能够运用零指数的条件进行式子取值范围的讨论.例9 使有意义，则a的取值范围是 分析： 解：考点10：整数指数幂，分数指数幂的运算考核要求：（1）掌握幂的运算法则； （2）会用整数指数幂及负整数指数幂进行运算； （3）掌握负整数指数式与分式的互化； （4）知道分数指数式与根式的互化。例10 （1）计算： （2）先化简，再求值：, 其中a=1,b=-1 解：（1） （2）说明：（1）熟记整数指数幂的运算法则； （2）记住

18、：（其中a0，p是自然数）； （3）知道分数指数幂：六、 真题再现一、选择题(第1题图)1、（2007湖北宜宾）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式a的结果是（ ）A2a+b B2a Ca Db2、（2007重庆）计算的结果是（ ） （A） （B） （C） （D）3、（2007广州）下列计算中，正确的是（ ）A B C D4、（2007四川成都）下列运算正确的是（）4、（2007浙江嘉兴）化简：(a1)2(a1)2（）（A）2（B）4（C）4a（D）2a225、（2007哈尔滨）下列计算中，正确的是（ ）ABCD6（2007福建晋江）对于非零实数，下列式子运算正确的是（ ）A；B；C

19、；D。7（2007福建晋江）下列因式分解正确的是（ ）A； B；C； D。8、（2007湖北恩施）下列计算正确的是（） A、 B、 C、 D、 9、（2007山东淮坊）代数式的值为9，则的值为（ ）ABCD10、（2007江西南昌）下列各式中，与相等的是（ ）BABCD二、填空题1、（200浙江义乌）当x=2，代数式的值为_2、（2007湖北宜宾）因式分解：xy22xy+x = .3、（2007浙江金华）分解因式： 4、（2007江苏盐城）分解因式：9 。5、（2007哈尔滨）分解因式： 6、（2007湖北恩施）分解因式a3ab2 7、（2007山东烟台）请你写一个能先提公因式、再运用公式来分

20、解因式的三项式，并写出分解因式的结果 8、（2007湖南株州）若 是同类项，则m+n_.9、（2007浙江温州）计算： .10、（2007四川内江）化简： 11、（2007山东淮坊）在实数范围内分解因式： 三、解答题1、（2007浙江温州）给出三个多项式：请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解。2、 （2007福建晋江）先化简，再求值：，其中。3、 （2007重庆）先化简，再求值：，其中。4、 （2007江西）化简：5、（2007山东烟台）有意道题：“先化简，再求值：，其中“x=一”小亮同学做题时把“x= 一”错抄成了“x=”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么,回事6、 （2

21、007江苏常州）7、 （2007哈尔滨）先化简，再求代数式的值，其中，8、（2007湖北恩施）求代数式的值:(),其中x1.9、 （2007辽宁旅顺口）先化简代数式，然后选择一个使原式有意义的、b值代入求值.答案：一：D、B、C、D、C、D、D、C、D、A、B 二：（1）3 （2） （3） （4） （5） （6） （7）答案不唯一 （8）5 （9） （10）1 （11） 三：1.解：如选择多项式：则： 2.解：，； 3.解：原式，当时，原式2 4.解：原式 5.解：原式9， x= 一或x=，x29都是2016。 6.解：原式 7.解：原式 当， 原式 8.解：原式（） x+2 把x1代入原式3 9.解：= 当时，原式