Lecture-1forChapter2.ppt

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1、,基本实验定律（库仑定律）,基本物理量（电场强度）E,E 的旋度,E 的散度,基本方程,微分方程,边值问题,唯一性定理,分界面衔接条件,电位（）,边界条件,数值法,有限差分法,解析法,直接积分法,分离变量法,镜像法，电轴法,静电参数(电容及部分电容),静电能量与力,图2.0 静电场知识结构图,第 2 章 电磁场中的基本物理量和基本实验定律,2,第 2 章 电磁场中的基本物理量和基本实验定律,为了分析电磁场，本章在宏观理论的假设和实验的基础上，介绍电磁场中的基本物理量和实验定律。重要内容有： 在静止和稳定的情况下，确立分布电荷 与分布电流 的概念和物理量；在电荷守恒的假定前提下，确立电流连续性规

2、律。 在库仑实验定律和安培力实验定律的基础上建立代表电场和磁场的基本物理量 E 和 B。 在电荷分布和电流分布已知的条件下，提出计算电场与磁场的矢量积分公式。,3,2.1 电荷与电荷分布,众所周知，自然界中最小的带电离子之一是电子，它的静止质量 ，电荷量 ；另一种是质子，其静止质量 ，电荷量 。精确地说，任何带电体的电荷量都是以电子电荷量的正或负整数倍的数值量出现的。电荷量是一个代数量。,微观上看，与物体的质量一样，电荷是以离散的方式出现在空间的。但从工程或宏观电磁学的观点上看，大量的带电粒子密集地出现在某空间体积内时，可以假定电荷以连续分布的形式充满于该体积中。,4,基于这种假设，我们用电荷

3、体密度（即体积电荷密度）来描述电荷在空间的分布，体积电荷密度定义为,(2.1.1),的单位为 。显然 一般应是一个空间位置的连续函数，它是一个标量场。 若在电荷分布的空间内任取一个微小体积 ，并称 为体积元，则该体积元的电荷量 为 。要计算某一体积内的电荷总量，可应用体积分的方法求得,(2.1.2),5,在处理工程电磁场问题时，有些情况下可以认为电荷分布在某一几何曲面或几何曲线上，称为面电荷或线电荷。相应地，我们定义电荷面密度 为,其单位为 。,(2.1.3),定义电荷线密度 为,(2.1.4),其单位为 。当已知 和 的分布后，任意曲面或曲线上的电荷总量就可以用相应的面积分或线积分表示成 和

4、 。,6,理论分析电磁场时，“点电荷”这一概念具有十分重要的意义。当某一电荷量 q 被想象地集中在一个几何点上时，这样的电荷称为点电荷 q 。用电荷体积分布的概念来衡量，电荷体密度 ，即体密度函数值在 时无限大，表示该点有一个点电荷 q 。,7,2.2 电流与电流密度,若空间分布的电荷是流动的,则该体积空间内就有电流存在，我们任取一个面积 S，如果 时间内穿过 S 的电荷量为 ，则定义电流的大小为,(2.2.1),电流的单位为 A (安培)，若电荷流动的速度不随时间改变，则有,（恒定值）,(2.2.2),这种情况下的电流称为恒定电流。电流是一个代数量。,8,为了描述体积分布电荷在空间各处流动的

5、状态，即电流在空间分布的状态，如图2.2.1所示，我们在垂直于电荷流动的方向取一个面积元 ，若流过 的电流为 ，则定义一个矢量 ，其大小为,图 2.2.1 电流分布图,9,(2.2.3),的方向定为正电荷运动的方向，并称 为电流密度矢量，单位为A/（安/米2）。因为它是用来描写电流在空间体积中流动情况的，一般称为体积电流密度，简称电流密度。体积空间中某点的电流密度同该点的电荷密度、电荷运动速度之间的关系可按如下方法求出：垂直于 取面积元 ，设时间 内 流动的距离为 ，则如图2.2.1中所表示的柱性体积元的电荷 在 时间内全部通过面积元 ，故电流 为,10,其中 为电荷运动的速度（m/s），而面

6、积元处的电流密度为,或,(2.2.4),其中 是该处运动电荷的体密度。,如果某空间内含有几种不同类型的运动电荷，其电荷密度为 ，运动速度为 ，则空间某一处的电流密度应为各类电流密度 的矢量和,(2.2.5),11,显然，电荷流动的空间是一个电流密度矢量场 ，场中任意面积上通过的电流量为,或,(2.2.6),所以电流I (或i )的另一定义是电荷流动场中电流密度矢量在某一面积上的通量。,12,实际问题中，我们还常遇到一种电荷在一薄层内流动的现象，它可抽象地认为是在某一几何面积上流动的电流，即表面电荷在面积上流动形成的电流，成为表面电流或面电流。如图2.2.2所示，在表面电流场中，取一线元 垂直于

7、面电荷 运动的方向，如果穿过此线元 的电流为 ，则可定义表面电流线密度 为,(2.2.7),其中 的单位为A/m。用与式(2.2.4)相似的推导方法，求面电荷密度与面电流线密度之间的关系为,(2.2.8),13,图2.2.2 体电流密度矢量和面电流密度矢量,14,必须把以上介绍面电流和体电流的概念区分开，有的读者可能会误以为空间体积中有电流时，该空间内表面上便有面电流，这样理解是不对的。因为面电流是在厚度为零的表面上流过的电流，其所占体积为零，它实际上是一种抽象的概念。一般体电流密度是有限值，在体积为零的表面上流过的电流当然只能为零，否则将会得到体电流密度为无穷大的后果。,15,除体电流和面电

8、流之外，还有一种常用的电流概念，称为线电流。实际中，当电荷在一根很细的导线中流过或电荷通过的横切面很小时，可以把电流看作在一根无限细的线上流过，理想化成线电流，线电流I 与电荷线密度 间的关系为,(2.2.12),以上我们讨论了体电流、面电流和线电流等概念，它们都正比于相应电荷的运动速度。如何使电荷获得速度或动能呢？从物理学看，这是一个能量转换问题。电荷的动能可来自机械能、热能、光能、化学能甚至电磁能本身。,16,2.3 电流连续性方程,如果我们在体电流空间中任取一个闭合面 ， 所包围的体积为 ，从闭合面流出的电流表示每秒内从体积 内穿过 流到外面去的电荷量。因为电荷是守恒的，所以它应等于体积

9、 内电荷的减少率，即,(2.3.1),其中等式右边的q 应为闭合面 S 内的电荷量，它等于电荷密度的体积分，再对上式左边应用散度定理，得,(2.3.2),17,式(2.3.1)或(2.3.2)是电流的基本方程，它是电荷守恒的必然结果。由于式(2.3.1)中的闭合面是任取的，它包围的体积可以任意小，因此我们有,(2.3.3),这是电流基本方程的微分形式，式(2.3.2)为积分形式。,当我们研究恒定电流场时，要维持电流不随时间改变，就要求电荷在空间的分布也不随时间改变，即 及 不是时间的函数，因此对于恒定电流场必然有,(2.3.4),18,式(2.3.4)表示从任意闭合面穿出的恒定电流为零，或恒定

10、电流场是一个无散度场。事实上，电荷的运动是这样的：对于任取的闭合面，总有部分表面上，电荷是从闭合面内向外流出，同时另外部分表面上电荷则从外向内流进，这两部分电流大小相等，符号相反。因而从闭合面内流出的净电流恒为零。同时闭合面包围的体积内电荷分布也就不随时间改变，电荷分布必定呈一种稳定状态。,19,同理，对于表面电流场，场中任何闭合路径上，由面电荷守恒的结果，应有,对于时变的面电流 （2.3.5),对于恒定的面电流 （2.3.6),而对于线电流所形成的电路中的任何节点，就可得到电路理论的基尔霍夫电流方程。,20,注意：对恒定电流场来说，式(2.3.4)和式(2.3.6)通称为电流连续性方程。对于

11、时变的电流场，建立了位移电流概念后，式(2.3.2)或式(2.3.3)以及式(2.3.5)也可称为电流连续性方程。,21,2.4.1 库仑定律,N( 牛顿),适用条件, 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;,结论：电场力符合矢量叠加原理,图2.4.1 两点电荷间的作用力,库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的点电荷 与 之间的相互作用力:,当真空中引入第三个点电荷 时，试问 与 相互间的作用力改变吗? 为什么？,2.4 电场强度 库仑定律,22,b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加),c) 连续分布电荷产生的电场强度,V/m,面电荷分布,线电荷分布,

12、图2.4.2 体电荷的电场,23,解: 采用直角坐标系, 令 y 轴经过场点 p ,导线与 x 轴重合。,(直角坐标),( 圆柱坐标),图2.4.3 带电长直导线的电场,24, 无限长直均匀带电导线产生的电场为平行平面场。, 电场强度 的矢量积分一般先转化为标量积分, 然后再合成,即, 点电荷的数学模型, 积分是对源点 进行的,计算结果是场点 的函数。,当 时，电荷密度趋近于无穷大，通常 用冲击函数 表示点电荷的密度分布。,图2.4.4 单位点电荷的密度分布,点电荷的密度,25,设在静止的源电荷周围空间内某点处一个静止的试验电荷 q 受到的静电力为 F ，则该点的电场强度定义为,(2.4.1)

13、,其中 F 的单位为 N 牛顿），q 的单位为 C （库）,电场强度的单位为 V/m（伏/米）。取极限 是为了使引入静止试验电荷时不致影响电荷的状态。,26,库仑定律：,库仑早已从实验上总结了真空中两点电荷间作用力的规律，这规律称为库仑定律。如图2.4.1所示，两点电荷 和 相隔距离为 R 时， 受到 的作用力为,其中 为源电荷 所在点的位置矢量， 为试验电荷 所在点的位置矢量， 为从 指向 的单位矢量； 称为真空介电常数。,(2.4.2),27,图 2.4.1 点电荷间的作用力,28,由库仑定律可以得出在离源电荷 q ，即式(2.4.2)中的 ，距离为 R 的点处的电场强度为,(2.4.3)

14、,由于,故式(2.4.3)可用算符 改写成如下形式,(2.4.4),式中,29,(2.4.3)式也可写成如下形式,(2.4.5),为了方便，我们把观察点称为“场点”，把源电荷所在点称作“源点”。场点的位置用不带撇号的坐标 表示，或用位置矢量 表示；源点的位置用带撇号的坐标 ，或位置矢量 表示，如图2.4.1所示。,30,库仑定律的重要结论： 点电荷周围的电场，其强度（或大小）与距离平方成反比，静电场的许多性质都与此有关；其次，电场强度与源点电荷的电荷量成正比，为线性关系。这样可以利用叠加方法来计算几个点电荷共同形成的电场。 当有n 个点电荷时，场点 的场强可由各点电荷独自在该点形成的场强的矢量

15、和来计算,(2.4.6),其中 是 到场点的距离， 是沿 方向的单位矢量。,31,例 2.4.1 真空中有一电偶极子，如图所示。所谓电偶极子是由两个点电荷组成，一个正电荷 ，另一个为负电荷 ，正负点电荷之间的距离非常小，为一段微分线元 l 。试求电偶极子的电场及电力线方程。 解：在球坐标内，根据式(2.4.6)，电偶极子的电场表示式为 其中 ，将 展开成幂级数 在 的情况下，略去高阶项后得 ，代入电场表示式中可得,32,(2.4.7),图 2.4.2 电偶极子的电场,33,通常定义 p=ql 为电偶极子的电矩矢量， l 的方向规定为 q 指向 +q。如此，上面的电场表达式可改写为,其中,因此有,(2.4.8),34,我们再来确定偶极子发出的电力线方程。在球坐标内，电力线的微分方程为,因 ，说明电力线只存在于子午面内。因此有,由式(2.4.7)可知,两边积分得,35,所以电偶极子发出的电力线方程可写为 这里 为待定的常数，在 的区域，电力线如图所示。,图 2.4.3 电偶极子的电力线图,