二次函数的图像及其性质(33页).doc

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1、-二次函数的图像及其性质-第 32 页 26.2 二次函数的图像【学习目标】1、会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；2、了解抛物线y=ax2上下平移规律；3、熟练掌握二次函数的性质；4、应用二次函数解决实际问题。【主要概念】【1】二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。【2】二次函数图像的画法五点法：1、先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴2、求抛物线与坐标轴的交点：当抛物

2、线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。【3】二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物

3、线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，【4】二次函数中，的含义表示开口方向：0时，抛物线开口向上 0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0.抛物线开口向 a0.抛物线对称轴在y 轴的 侧b=0抛物线对称轴是 轴b0.抛物线与y轴交于 C=0抛物线与y轴交于 c0.抛物线与x 轴有 个交点=0抛物线与x 轴有 个交点0,b0,c0 B、a0,b0 C、a0,b0,c0,b0,c0,图象交y轴于

4、负半轴,可得c0,图象对称轴在y轴的左侧,知x=-0,可得b0.选C【例14】如图2，正方形ABCD边长是16 cm，P是AB上任意一点（与A、B不重合），QPDP.设AP=x cm，BQ=y cm.试求出y与x之间的函数关系式.图2【解】ABCD是正方形,A=B=90,ADP+APD=90.又QPDP,APD+QPB=90.ADP=QPB.有ADPBPQ.=.y=-x2+x.【例15】如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是11、求P点坐标及a的值；2、如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为

5、C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；3、如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）yxAOBPM图1C1C2C3图（1）yxAOBPM图(1)C1C2C3HG【解】1、由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5） 点B（1，0）在抛物线C1上 解得，a 2、连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G点P、M关于点B成中心对称PM过点B，且PBMBPBHMBGyxAOB

6、PN图(2)C1C4QEFHGKMGPH5，BGBH3顶点M的坐标为（4，5） 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式为 3、抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5设点N坐标为（m，5） 作PHx轴于H，作NGx轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上EFAB2BH6 FG3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 当PNF90时，PN2+ NF2

7、PF2，解得m，Q点坐标为（，0） 当PFN90时，PF2+ NF2PN2，解得m，Q点坐标为（，0）PNNK10NF，NPF90综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 yxDNMQBCOPEA【例16】如图，直线yx+6分别与x轴、y轴交于A，B两点，直线yx与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位）.点E的运动时间为t（秒）.（1）求点

8、C的坐标.（2）当0t5时，求S与t之间的函数关系式.（3）求（2）中S的最大值.（4）当t0时，直接写出点(4，)在正方形PQMN内部时t的取值范围.【参考公式：二次函数yax2+bx+c图象的顶点坐标为.】【分析】（1）由两条直线的解析式可直接求得点C的坐标.（2）若AEt，则OE8t，于是所以点Q的纵坐标为(8t)，点P的纵坐标为t，于是可构造方程求得t，进而分情况求解.（3）由二次函数的性质并利用配方分别求解，并加以比较确定S的最大值.（4）结合图形可求得.【解】（1）由题意，得解得所以C(3，). （2）根据题意，得AEt，OE8t.所以点Q的纵坐标为(8t)，点P的纵坐标为t，所以

9、PQ(8t)t102t.当MN在AD上时，102tt，解得t.当0t时，St(102t)，即S2t2+10t.当t5时，S(102t)2，即S4t240t+100.（3）当0t时，S2(t)2+，所以t时，S最大值.当t5时，S4(t5)2，因为t5时，S随t的增大而减小，所以t时，S最大值.而，所以S的最大值为. （4）依题意，结合图形可知，4t，或t6. 【说明】本题意在考查平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式（组）的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系，是一道比较好的动态的二次函数综合题. 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球

10、滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：时间t（秒）1234距离s（米）281832写出用t表示s的函数关系式.2、 下列函数： ； ； ； ； ，其中是二次函数的是 ，其中 ，3、当 时，函数（为常数）是关于的二次函数4、当时，函数是关于的二次函数5、当时，函数+3x是关于的二次函数6、若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上，则 A 点的坐标是. 7、在圆的面积公式 Sr2 中，s 与 r 的关系是（）A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子(

11、1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积9、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，那么面积增加 ycm2， 求 y 与 x 之间的函数关系式. 求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.10、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算

12、一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？参考答案1：1、；2、，-1，1，0；3、2，3，1；6、（2，3）；7、D；8、189；9、，1；10、；11、当a0，0，0，小，0; (2)x=0,y轴，（0，0）， 0，大，0;2、；3、C；4、A；5、B；6、-2；7、；8、；9、（1）2或-3，（2）m=2、y=0、x0，（3）m=-3，y=0，x0；10、函数的图象与性质1、抛物线的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y随x的增大而增大, 当x 时, y随x的增大而减小.2、将抛物线向下平移2个单位得

13、到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k，得到不同的抛物线，当k取0，时，关于这些抛物线有以下判断：开口方向都相同；对称轴都相同；形状相同；都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数的图象关于y轴对称，则m_；6、二次函数中，若当x取x1、x2（x1x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值等于 .参考答案3：1、下，x=0，（0，-3），0；2、，（0，-2），（0，1）；3、；4、，0，小，3；

14、5、1；6、c. 函数的图象与性质1、抛物线，顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而减小， 函数有最 值 .2、试写出抛物线经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数和具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数的图象如图：已知，OA=OC，试求该抛物线的解析式.5、抛物线与x轴交点为A，与y轴交点为B，求A、B两点坐标及AOB的面积.6、二次函数，当自变量x由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y随x值的变化情况.7、已知抛物线的顶点在坐标轴上，求k的值.参

15、考答案4：1、（3，0），3，大，y=0;2、，;3、略；4、；5、（3，0），（0，27），40.5；6、，当x4时，y随x的增大而减小；7、-8，-2，4. 的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.2、二次函数 y(x1)22，当 x时，y 有最小值.3、函数 y (x1)23，当 x时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=(x+3)2-2的图象可由函数y=x2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到.5、 已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线过点，则抛物线的关系式是 6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的

16、取值范围是（ ）A、x3 B、x1 D、x1；4、左、下；5、；6、C；7、（1）下，x=2，（2，9），（2）2、大、9，（3）2,(4)( ,0)、( ,0)、 ，（5）（0，-3）；（6）向右平移2个单位，再向上平移9个单位；8、（1）上、x=-1、（-1，-4）；（2）（-3，0）、（1，0）、（0，-3）、6，（3）-4，当x-1 时，y随x的增大而增大；当x1或x-3、-3x、；6、二；7、；8、-7；9、C；10、D；11、B；12、C；13、B；14、；15、 二次函数解析式1、抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b=

17、, c= 2、把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 .3、 二次函数有最小值为，当时，它的图象的对称轴为，则函数的关系式为 4、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y轴交点的纵坐标为-3（3）抛物线过（1，0），（3，0），（1，5）三点；（4）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，2）；5、已知二次函数的图象经过、两点，且与轴仅有一个交点，求二次函数的解析式6、抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x

18、-3上，a0,求此二次函数的解析式.7、已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，且函数有最大值是2.（1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P，求ABP的面积.8、以x为自变量的函数中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且=10,求这个一次函数的解析式.参考答案8：1、1；2、；3、；4、（1）、（2）、（3）、（4）；5、；6、；7、（1）、5；8、y=-x-1或y=5x+5 二次函数与方程和不等式1、

19、已知二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是 .2、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在第_象限；3、抛物线与轴交点的个数为（ ）A、0 B、1 C、2 D、以上都不对4、二次函数对于x的任何值都恒为负值的条件是（ ）A、 B、 C、 D、5、与的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k为（ ）A、0 B、-1 C、2 D、6、若方程的两个根是3和1，那么二次函数的图象的对称轴是直线（ ）A、3 B、2 C、1 D、17、已知二次函数的图象与轴只有一个公共点，坐标为，求的值8、画出二次函数的图象，并利用图象求方程的解，说明x在什么范围时.9、如图：（1） 求该抛物线的解析式；（2） 根据

20、图象回答：当x为何范围时，该函数值大于0.10、二次函数的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D在函数图象上，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B、D，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.11、已知抛物线. （1）求证此抛物线与轴有两个不同的交点； （2）若是整数，抛物线与轴交于整数点，求的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A，抛物线与轴的两个交点中右侧交点为B.若M为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.参考答案9：1、且；2、一；3、C；4、D；5、C；6、C；7、2，1；8、；9、（1）、

21、x2；10、y=-x+1，,x1;11、（1）略,(2)m=2,(3)(1，0)或（0，1） 二次函数解决实际问题3.50.5027月份千克销售价(元)1、某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图，图中的抛物线表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图像，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？（至少写出四条） 2、某企业投资100万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收33万元，设生产线投产后，从第一年到第 x 年维修、保养费累计为 y（万元），且 yax2bx，若第一年的维修、保养费为 2 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的

22、解析式.3、校运会上，小明参加铅球比赛，若某次试掷，铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 yx2x，求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度.4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ 5、商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件. 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式； 若商场每天要盈利 1200 元，每件

23、应降价多少元？ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.求这条抛物线所对应的函数关系式.如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？7、 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m.（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.（2）在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？8、某一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，若行车道总宽度AB为6m，请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？（精确到0.1m）.参考答案10：1、2月份每千克3.5元 7月份每千克0.5克 7月份的售价最低 27月份售价下跌；2、yx2x；3、成绩10米，出手高度米；4、，当x1时，透光面积最