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1、第五章 控制系统模型的建立,控制系统模型 控制系统的典型连接 系统模型的连续化与离散化,1 控制系统模型,1.1 控制系统的组成符号及术语 输入信号R：系统的外部输入量，即系统的给定值。 输出信号C：系统的输出量，即系统被控量。 主反馈信号B：主反馈环节的输出信号。 偏差信号E：输入信号与主反馈信号之差e=r-b。,控制信号M：控制器的输出量。 干扰信号N：内部和外部的干扰量。 控制器G1：系统中承担信号放大、传动和执行作用的装置。 被控对象G2：系统中的控制对象。 反馈环节H：用于检测输出状况的测量装置。,前向通道：从系统输入端到输出端的正向传输通道，且每个节点只通一次。 反馈通道：从输出端

2、c反馈到输入端b的传输通道。 反馈回路：信号从前向通道与反馈通道连续传输的闭合回路。 比较环节：在系统中进行信号叠加的作用点，以产生偏差信号。 在控制系统仿真中，主要用四种形式的数学模型：传递函数模型、零极点模型、状态方程模型和结构图模型。,1.2 传递函数模型（tf模型） 对系统的微分方程在零初始条件下做拉氏变换，则可得系统的传递函数（SISO） 对线性时不变（线性定常）系统（LTI）来说，a、b均为常数，a10。 num=bm,bm-1,b1, b0 den=an,an-1,a1, a0 注意：构成分子、分母的向量按降幂排列的顺序，缺项部分用0补齐。 很多时候，传递函数的分子、分母均为多项

3、式相乘的形式，不能直接写出，可借助多项式运算函数conv()来处理，以便获得分子、分母多项式向量。,例：系统传递函数为： 可用下面的语句来输入： num=4*conv(1 2,conv(1 6 6,1 6 6) den=conv(1 0,conv(1 1,conv(1 1,conv(1 1,1 3 2 5),如果是MIMO系统，则用传递矩阵描述。例如： 可表示为： num=1,1;1 1; den=1 2 2;1;,1.3 零极点模型（zpk模型） 零极点模型是传递函数的另一种表现形式，其原理是分别对原系统的分子和分母进行因式分解处理，以获得系统的零极点表示形式,对SISO系统： 将零点、极点

4、及K值输入即可建立零极点模型： z=z1, z2, z3,zm p=p1, p2, p3,pm k=k,函数residue()可将分式多项式分解如下： 函数增益k即为原传递函数分子的最高项系数与分母最高项系数的比值。对于给出的传递函数来说，分子分母作因式分解可以通过求出分子、分母多项式的根roots（）函数来实现。,例：已知系统传递函数： 求零极点模型。 可表示为： num=2 0 9 1 den=1 1 4 4; z,p,k=residue(num,den),1.4 状态方程模型（ss模型） LTI系统的状态方程： 例：用ss模型描述两输入两输出系统。 可表示为： A=1 6 9 10;3

5、12 6 8;4 7 9 11;5 12 13 14; B=4 6;2 4;2 2;1 0; C=0 0 2 1;8 0 2 2; D=zeros(2,2);,1.5 建立LTI对象 控制系统工具箱将LTI系统的各种描述封装成一个对象，即用一个变量来描述。在控制系统工具箱中，有以上讲述的三种对象，即ss对象，tf对象和zpk对象。 （1）tf()函数。tf()函数生成传递函数模型，或将零极点模型及状态空间模型转换成传递函数模型。格式为： sys=tf(num,den)：生成连续时间系统传递函数模型。 sys=tf(num,den,Ts)：生成离散时间系统传递函数。 tfsystf(sys)：将

6、任意的LTI对象转换成传递函数模型。,（2）ss()函数。ss()函数生成状态空间模型，或者将传递函数及零极点模型转换成状态空间模型。格式为： sys=ss(a,b,c,d)：生成连续系统的状态空间模型。 sys_ss=ss(sys)：将任意的LTI对象sys转换成状态空间模型 （3） zpk()函数。zpk()函数生成零极点函数或者将其他模型转换成零极点模型。格式为： sys=zpk(z,p,k)：连续系统的零极点增益模型。 sys=zpk(z,p,k,Ts)：离散时间系统的零极点增益模型。 zsys=zpk（sys）：将任意LTI对象转换成零极点增益模型。,1.6 系统模型的转换 MATL

7、AB中用于控制系统模型转换的函数包括一下几种。 ss2tf()：状态空间模型转换为传递函数模型。 ss2zp()：状态空间模型转换为零极点增益模型。 tf2ss()：传递函数模型转换为状态空间模型。 tf2zp()：传递函数模型转换为零极点增益模型。 zp2ss()：零极点增益模型转换为状态空间模型。 zp2tf()：零极点增益模型转换为传递函数模型。,例：已知系统传递函数 将模型转换为状态方程模型和零极点模型。 命令为： num=0 6 42 72; den=1 6 11 6; A,B,C,D=tf2ss(num,den) z,p,k=tf2zp(num,den),程序执行后得到的状态方程模

8、型为： 零极点增益模型G(s)为：,给定系统的状态空间描述如下所示： 要求将状态空间模型转换为传递函数模型和零极点模型。 命令 A=0 1;1 -2;B=0;1; C=1,3;D=1; num,den=ss2tf(A,B,C,D) z,p,k=ss2zp(A,B,C,D),已知系统的零极点模型如下所示： 求其传递函数模型和状态空间模型。 命令和输出结果为： z=-3;p=-1,-2,-5;k=6; num,den=zp2tf(z,p,k) a,b,c,d=zp2ss(z,p,k),已知系统的部分分式如下所示： 求其状态传递函数模型 命令 r=-0.25i,0.25i,-2; p=2i,-2i,

9、-1;k=2; num,den=residue(r,p,k) 注意余式一定要与极点相对应。,2 控制系统的典型连接,MATLAB中既可以采用运算符重载的方法，又提供了大量的函数来建立控制系统模型，并可进行并联、级（串）联、反馈和单位反馈连接等。 2.1 系统模型的连接 可以对LTI对象进行加法、减法和串并联的运算，这样的运算是通过运算符重载的方法得以实现的。在运算中，如果有不同数据类型的对象，系统先将级别低的转化为级别最高的那一种，再进行运算。定义3种LTI对象的运算级别如下： sszpktf,在具体的使用上，要么在运算中先将不同对象强制转换为同一类型，要么在运算后将结果统一转换为所需类型。请

10、看下例（sys1与sys2为不同对象类型）： sys=sys1+tf(sys2) 它等效于 sys=sys1+sys2 tf(sys) LTI对象类型的算术运算主要有加法、减法、乘法与求逆。其中加减法相当于系统并联，乘法相当于系统串连，求逆则是求出系统的逆系统。,2.2 连接函数 除了运算符连接外，在MATLAB中，也提供了子系统的连接处理函数，它们与对应的运算符连接方式等效。 series()函数：系统串连实现。格式为： sys=series(sys1,sys2) parallel()函数：系统并联实现。格式为： sys=parallel(sys1,sys2) feedback()函数：系统

11、反馈连接。格式为： sys=feedback(sys1,sys2),例：两个子系统如下所示 按反馈方式连接，求闭环系统的传递函数。 命令和输出结果为： num1=2 5 1; den1=1 2 3; num2=5 10; den2=1 10; num,den=feedback(num1,den1,num2,den2) printsys(num,den),num1=2 5 1; den1=1 2 3; sys1=tf(num1,den1); num2=5 10; den2=1 10;sys2=tf(num2,den2); sys=feedback(sys1,sys2),控制系统方框图如图所示，（

12、1）求此系统的传递函数;（2）求该系统的特征值并判断其稳定性; （3）求该系统的单位阶跃响应曲线。 (1) G1=tf(1,0.5 1); G2=tf(1,1 2 2); H1=2; H2=tf(0.5 1,0.2 1); GH1=feedback(G2,H2); G=GH1*G1; GH=feedback(G,H1) (2) A,B,C,D=tf2ss(GH.num1,GH.den1); eig(A) 如果A矩阵的所有特征值实部小于0，则系统稳定。 （3） step(GH),2.3 延迟系统的模型 pade():求取时间延迟环节近似传递函数 其中n6阶的pade近似的系数pi在下表中给出,表

13、 pade近似系数表 MATLAB中，pade()函数的调用格式np,dp=pade(tau,n),其中tau为延迟时间，n为pade近似的阶次。Pade近似后得到的有理传递函数模型的分子、分母系数分别在np，dp变量中返回。,例： 求阶跃响应响应。 den=1 10 35 50 24; num=1 7 24 24; g=tf(num,den) tau=0.5; y1=; t=0:0.1:10; for i=1:5 np,dp=pade(tau,i) g1=tf(np,dp); gg=g*g1; ggg=feedback(gg,1) y,t,x=step(ggg,t); y=y; y1=y1;

14、y; end plot(t,y1),den=1 10 35 50 24; num=1 7 24 24; g=tf(num,den) tau=0.5; y1=; t=0:0.1:10; for i=1:5 np,dp=pade(tau,i) g1=tf(np,dp); gg=feedback(g,g1) set(gg,Td,tau) y,t,x=step(gg,t); y=y; y1=y1;y; end plot(t,y1),在初始时刻段pade近似并不精确，为了消除初始时间段pade的振荡，在实际应用中，一般只对分母中的延迟项进行pade近似，近似的系统闭环传函为：,3 系统模型的连续化与离散

15、化,控制系统工具箱中提供了连续域与离散域的相互转化的调用函数，如函数c2d可将连续系统离散化，相反d2c将离散系统向连续域转化。工具箱支持常用的几种转化方法，包括带零阶保持器的离散化方法、带一阶保持器的离散化方法、Tustin变换和带预修正的Tustin变换以及零极匹配法。,3.1 连续系统的离散化 将连续系统离散化使用c2d函数，其调用格式为： sysd=c2d(sysc,fp) sysc为连续系统的数学模型，sysd为离散系统的数学模型，选项fp的具体内容如下： zoh：假设对输入信号加一个零阶保持器 foh：假设对输入信号加一个一阶保持器 tustin：采用双线性变换方法（Tustin算

16、法） prewarp：采用改进的Tustin变换方法 matched：SISO系统的零极点匹配法,3.2 离散化系统的连续化 将离散化系统连续化使用d2c函数，其调用格式为： sysc=c2d(sysd,fp) 用法与c2d相似。 3.3 连续系统离散化数字仿真的特点 将连续系统离散化进行数字仿真具有以下特点： 将连续系统离散化后进行仿真，可以用得到的离散方程递推求解状态和输出，避免了数值积分方法中繁琐的龙格库塔系数（导函数）的求取过程，计算方便。,按环节离散化仿真，每步都可求出各环节输入、输出，很容易推广用以解决非线性系统的仿真问题。 离散化过程中对原连续系统引入虚拟采样开关和零阶（一阶）保持器，造成的滞后使得仿真计算误差增大，严重时会引起系统数值计算的不稳定。,