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1、第二章 高斯光学,本章是本课程的理论基础 也是本课程的重点。,2,2.1 近轴光学系统的光路计算,大多数光学系统都是由折、反射球面或平面组成的共轴球面光学系统 折射球面系统具有普遍意义 所以首先讨论单个折射球面折射的光路计算问题，再过渡到整个光学系统,3,一 基本概念和符号规则,1.基本概念 子午面：通过物点和光轴的截面 一条光线，可以用两个量来确定位置：截距和孔径角 物方截距：LOA，像方截距：L=OA 物方孔径角:U，像方孔径角：U,入射光线,出射光线,4,2. 符号规则： 线段:方向自左向右为正,由下向上为正 起点沿轴:以顶点O为原点， L，r，L 角度：方向顺时针为正 起始轴 光线与光

2、轴的夹角：光轴转向光线 -U，U， 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I 光轴与法线的夹角：光轴转向法线 ,反射情况：P26,注：几何图形上所有值标注绝对值,5,或,（2-1）,在E点，由折射定律得,（2-2）,由图可知,在给定单个折射球面的结构参量 n、n 和r 时，由已知入射光线坐标 L 和U，计算折射后出射光线的坐标L 和U 在AEC中，应用正弦定理有,二 单个折射球面的光路计算,A,E,L,-L,n,n,h,A,O,D,C,-U,U,I,I,r,6,所以,（2-3）,同样，在三角形AEC中应用正弦定理有,化简后得像方截距,（2-4）,（2-1）（2-4）式就是计算光线光路的 基本公式

3、。给出一组L、U，可计算L、U,7,由公式可知，L是U的函数。不同 U 的光线经折射后不能相交于一点，点斑,单个折射球面对轴上物点成像是不完善的，这种成像缺陷称为像差，是以后将会讨论到的球差。,8,三单个折射球面近轴光线的光路计算,1.近轴光：如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出的光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光 光轴附近的一个小区域称为近轴区。 研究近轴区的物象关系的光学称为近轴光学。 在近轴几何光学中，经常用到以下近似公式（一级泰勒展开）,9,l和u无关（i、i、u 和u成线性关系） 很小，cos 1，光程和 无关 在近轴区内，对一给定l值，不论u为何值， l 均为定值。表明

4、由物点发出的一束细光束经折射后仍交于一点，其像是完善的像，又称为高斯像。通过高斯像点且垂直于光轴的像面，称为高斯像面。,2.近轴光路计算公式,(2-11),10,（2-12）,（2-14）,（1-13）,一个公式的三种不同表示形式，便于不同场合的应用,3.近轴光线经折射球面计算的其他形式,11,近轴区物像大小关系式,垂轴放大率,B,BC对于该球面来说也是光轴，称为辅轴 ABy，AB=-y ,ABC 和ABC相似,得,1）,当求得一对共轭点的截距l 和l 后，可求得通过该共轭点的一对共轭面上的垂轴放大率。 仅和共轭面位置有关。,根据 确定物体的成像特性(即像的正倒，虚实，放大缩小）：,当 1，为

5、放大像；当| 1，为缩小像,2）,3）,球面反射镜,在折射面的公式中，只要使n = n，便可直接得到反射球面的相应公式。,1球面反射镜的物象位置公式,将n = n 代入（2-13）式，可得,14,3 球面反射镜的放大率公式,将n = n 代入下式,可得,15,2.轴向放大率 指光轴上一对共轭点沿轴移动量之间的关系 物点沿轴移动一微小量dl，相应的像移动dl,由（1-20）式微分得到：,讨论： 恒为正，当物点沿轴向移动时，像点沿轴同向移动 一般， ，即空间物体成像后要变形。如正方体 只有在dl 很小时才适用,16,如果物点沿轴移动有限距离，如图所示，此距离显然可以用物点移动的始末两点A1和A2的

6、截距差 l2l1 来表示，相应于像点移动的距离应为l 2 l 1,17,对A1和A2点分别用（1-20）可得,移项整理得,即,其中1 和2 分别为物在A1和A2两点的垂轴放大率,3. 角放大率,共轭光线与光轴夹角u 和u 的比值，称为角放大率,4. 三个放大率之间的关系,5. 拉亥不变量J,在公式 y y =nlnl 中，利用公式 =l l=u u，,此式称为拉格朗日亥姆霍兹恒等式，简称拉亥公式。其表示为不变量形式，用J 表示，简称拉亥不变量。 J 表征了这个光学系统的性能，即能以多高的物、多大孔径角的光线入射成像。 J 值大，表明系统能对物体成像的范围大，成像的孔径角大，传输光能多。同时，孔

7、径角还与光学系统分辨微细结构的能力有关。所以 J 大的系统具有高的性能。,三共轴球面系统 2.2 球面光学成像系统,已知（1） 各球面曲率半径 r1,r2,rk （2）各表面顶点的间隔 d1, d2, . ,dk-1 （3） 折射率 n1, n2, , nk+1 讨论经共轴球面系统成像的几个光路计算问题。,21,1.由入射光线求出射光线 对一个面的操作 + 过渡 上面讨论的单个折、反射球面的光路计算及成像特性，对构成光学系统的每个球面都适用。 只要找到相邻两个球面之间的光路关系（过渡公式），就可以解决整个光学系统的光路计算问题，并分析成像特性。,22,单面公式,（1-33）,各面截距的过渡公式

8、,（1-34）,公式（1-33）和（1-34）对近轴光适用，对远轴光也同样适用,23,光线在折射面上入射高度h的过渡公式。 利用（1-33）式的第二式和（1-34）式的对应项相乘,（1-35）,（1-35）,2. 共轴球面系统的拉亥公式,（1-42）,拉亥不变量J不仅对一个折射面的两个空间是不变量，而且对整个光学系统的每一个面的每一个空间都是不变量。 J是光学系统的一个重要特征量。和单个折射球面的相同，J 值越大，光学系统就具有更高的功能。,25,3.成像放大率,总的放大率为各折射球面放大率的乘积 例如照相机的变焦镜头通常是由四部分组成：前固定组、变倍组、补偿组和后固定组。变焦镜头的放大率就等

9、于四部分放大率之积。 三个放大率之间的关系与单个折射球面的完全一致,26,1.理想光学系统定义 球面系统只有在近轴区范围时，才能够成完善像（J） 实际使用的光学仪器 把光学系统在近轴区成完善像的理论认为推广到任意大的空间，即任意宽的光束成完善像的光学系统称理想光学系统,2.3 理想光学系统 Perfect Optical System,27,2.成像性质,点 共轭点 直线 共轭直线，平面 共轭面 主光轴上任一点的共轭点仍在主光轴上。任何垂直于主光轴的平面，其共轭面仍与主光轴垂直。 对垂直于光轴的共轭平面，横向放大率为常量 只有垂直于光轴的平面才具有物像相似的性质 一个共轴理想光学系统，如果已知

10、两对共轭面的位置和放大率，或者一对共轭面的位置和放大率，以及轴上的两对共轭点的位置，则其他一切物点的像点都可以根据这些已知的共轭面和共轭点来表示,28,注意：,理想光学系统是一种假设 用作实际光学系统设计的初步计算，用它近似地表示实际光学系统所成像的位置和大小 理想光学系统的像可作为衡量光学系统成像质量的标准 把理想光学系统计算公式计算出来的像，称为实际光学系统的理想像，实际像与理想像的差别就是像差,29,2.4 基点与基面,只要知道了两对共轭面的位置和放大率，或者一对共轭面的位置和放大率以及轴上两对共轭点的位置，则任意物点的像点就可以根据这些已知的共轭面和共轭点求得 因此，该光学系统的成像性

11、质就可以用这些已知的共轭面和共轭点来表示，称为共轴系统的基点和基面 一般选择特殊的面和共轭点作为基面和基点,30,F及F面的性质 平行于光轴入射的任一条光线，经系统出射后必通过F点 斜平行光束，经系统出射后，交于F面上一点 F及F面的性质 过F点入射的任一光线，经系统后平行于光轴出射 过F面上任一点发出的光线，经系统后为一斜平行光束出射 注意：F和F 彼此之间不共轭，F面和F面之间不共轭,一 焦点和焦面（Focus length and Planes）,31,物、像方主面是一对=1的物像共轭面 主平面的性质 物空间任一条光线与物方主平面的交点为Q，则它的共轭出射光线和像方主平面交于Q，且Q与Q

12、距光轴同侧等高,焦距f、f的正负是以相应的主点为原点来确定的,二 主点和主面 (Principle Points and Planes),32,一个光学系统不管什么结构，只要知道了一对主点和一对焦点的位置，其物像关系特性也就确定了，不同的光学系统，只表现为这些基点的相对位置不同而已。它们构成了一个光学系统的基本模型。 总是用一对主平面和两个焦点的位置来代表一个光学系统,单个折射球面 球面镜 薄透镜,为什么讨论基点与基面？,33,可供选择的典型光线 平行于光轴的光线 过物方焦点的光线 倾斜于光轴入射的平行光束 自物方焦平面上一点 共轭光线在主平面上的投射高度相等,2.5 理想光学系统的物像关系I

13、mage Formation of Perfect Coaxial System,34,1.轴外物点B或一垂轴线段AB的图解法求像 过B点作两条入射光线： 2. 轴上点A发出的任意光线 认为是由无限远轴外物点发出的倾斜光束平行光束中的一条 认为光线是由物方焦平面上的点B发出的,一 图解法求像,35,二 解析法,1.牛顿公式 以 F、F为原点,M,M,36,2.高斯公式 以 H、H为原点,代入牛顿公式,37,共轴球面系统的过渡公式,上节回顾,38,理想光学系统 理想光学系统的基点与基面,例：实际光学系统的基点位置和焦距的计算，P19 长60mm,折射率为1.5的玻璃棒，在其两端磨成曲率半径为10

14、mm的凸球面，试球其焦距及基点位置,39,2.5 理想光学系统的物像关系Image Formation of Perfect Coaxial System,作图法 轴外点B或者垂轴线段 轴上点A发出的任意光线,H,F,H,F,B,例,H在H前,H,F,H,F,A,40,H,F,B,H,F,B,A,B,B,K,K,H,H,A,F,F,41,解析法 1.牛顿公式,42,2.高斯公式 以 H、H为原点,代入牛顿公式,后面会看到,和单折射球面公式的联系？,43,3.两焦距间的关系与拉赫公式,把x= - yf y ， x= - yf y代入上式得,44,近轴区,若 n=n,则f = -f，如空气中折射系

15、统,若 n=-n, 则 f = f ,如反射球面,若 包括k个反射面,理想光学系统的拉赫公式,与薄透镜公式同,45,4.光束的会聚度与光焦度,光焦度等于像方光束会聚度与物方光束会聚度之差它表征光学系统偏折光线的能力。 单位：屈光度以米为单位的焦距的倒数。 眼镜的度数=屈光度数100,折合物距,折合像距,倒数，会聚度,V V,(-)表示发散光束 (+)表示会聚光束,折合焦距,倒数，光焦度,(-)表起发散作用 (+)表其会聚作用,回忆单个折射球面时讲述的光焦度,46,各种表面的光焦度,f0,f 0,47,2.5 理想光学系统的放大率,1.垂轴放大率 Lateral magnification 2.

16、 Longitudinal - 像与物沿轴移动量之比,与 l，l有关。当l一定时，与 y的大小无关,立体物像不再相似,48,3.Angular-像方与物方倾角的正切之比,角放大率只和物体的位置有关，而与孔径角无关 在同一对共轭面上，任一对共轭光线与光轴的夹角正切之比恒为常数,49,讨论,依然成立 三种放大率都与共轭面的位置有关，故对于同一光学系统来说，物（像）面位置的不同，对应的放大率是不同的 n=n时， ，对某一共轭面，只要给定任意一个放大率，其它两个放大率便随之确定,50,2.6 节点 Nodal points,1.定义 系统光轴上角放大率为1的一对共轭点,51,2.性质,52,当处于同一

17、种介质中时，节点和主点重合 重合的该点同时具有主点和节点性质 置于空气中的薄透镜有一条特殊光线，它通过光心不发生偏折 过物方节点入射的光线，从像方节点平行射出,53,3.应用,作图求像 过节点J入射的光线，出射光线过J点，且与入射光线平行 利用节点性质测量系统的主点位置,作图求像 过节点J入射的光线，出射光线过J点，,光学系统绕J左右摆动,JP不动,像点不会左右移动,测量方法： 一边摆动光学系统，同时连续改变转轴位置，并观察像点，当像点不动时，转轴的位置便是像方节点的位置,54,转机摄影,只能使小部分A1B1成像于底片上的A1B1 ,物镜的转轴与J不重合,物镜转动时A点的像将在A1上移动,照片

18、模糊,摄影方法：物镜绕J转动，可把整个对象AB成像在底片AB上,55,上节回顾,H在H前,H,F,H,F,A,一、理想光学系统的物象关系 1.作图法 平行于光轴的入射光线 过物方焦点的入射光线 倾斜于光轴入射的平行光束 自物方焦平面上一点发出的光线 共轭光线在主平面上的投射高度相等 过节点的共轭光线方向相同,56,2.解析法,3.两焦距间的关系与拉赫公式,57,二 理想光学系统的放大率,1.垂轴放大率 Lateral magnification 2. Longitudinal - 像与物沿轴移动量之比,58,3.Angular-像方与物方倾角的正切之比,59,三节点,1.过物方节点入射的光线，

19、从像方节点平行射出 2.当处于同一种介质中时，节点和主点重合,60,测定焦距,用左图，可得到 F,但 f=?,必须用轴外平行光,61,焦距测定必须提供一定角度的平行光平行光管 在平行光管物镜的焦平面上设置一刻有几对已知间隔线条的分划板，用以产生平行光束,62,无限远物体的理想成像公式,无限远的轴外像点对应的物高,注意：当节点与主点不重合时不能直接使用公式,是否所有光学系统对无限远物体成像时，都适用呢？,单折射球面，节点在球心,63,2.7 理想光学系统的组合,一 双光组组合 问题：已知 F1,F1,H1,H1,F2,F2,H2,H2以及d() （光学间隔）,求总光组的 F,F,H,H 解决：

20、图解组合 找出分光组与等效总光组之间的关系 求出 f,f,确定H,H,F,F的位置 合成光组的像方参量xF,xH,lF,lH 以F2 ，H2 为起始点 合成光组的物方参量xF,xH,lF,lH，以F1、H1为起始点,64,1.作图 平行光轴入射的光线，出射光线与光轴的交点就是F 平行光轴的入射光线和出射光线的交点Q，一定位于象方主平面上 2.求F、F的位置,65,3.求焦距,66,4.求主点,5.求组合放大率,对于两个光组组合的系统，其垂轴放大率亦可由物点对应于第一光组的物距 x1 直接求得,67,5.组合光焦度,当两个系统位于同一种介质中时，,两个有一定焦距的系统组合，系统的总焦距或光焦度除

21、与各自的光焦度有关外，还与间隔d及介质n有关,68,二 多光组组合,为求组合系统的焦距，可以追迹一条投射高度为h的平行光轴的光线,关键是求出hk、 Uk,69,正切计算法,通常取 tgu1= 0，h1= f1 (计算方便),70,2.8 透镜,71,一、单个折射球面的主点和焦距,折射球面的两个主点H、H和球面顶点重合,H、H共轭,72,二单透镜的基点与基面,已知r1,r2,d,n n1= 1, n1= n2 = n, n2 = 1,73,由光组组合公式可得透镜的焦距,设 = r，2 = r2 把上式写成光焦度的形式,74,75,讨论：不同类型透镜基点位置的讨论,76,可看成正透镜平行平板,77

22、,H、H位于透镜之外,78,79,实际应用中的透镜其厚度都是比较小的。,80,三 薄透镜,透镜厚度为零的透镜称为薄透镜，实际中dr或df,81,作业： 9，10，12，15,82,2.9矩阵运算在几何光学中的应用,一 平移矩阵Translation Matrix 子午光线与光轴同处一平面的光线 对子午光线，光线的状态可用它与参考平面交点的坐标，和该光线与光轴的夹角来完全确定,0,z,y,Q,RP1,y,-,n,考虑介质折射率情况,设光线所在平面为yz平面，光轴为z轴，参考面为RP,则y和就决定了光线在面RP中的位置、方向。,83,光线由一个参考面射向另一个参考面，在后一个参考面上的坐标发生变化

23、，可用平移矩阵（过渡矩阵）来表示,0,z,y,M,Q,n,n=n,y,y,-,定义：,为平移矩阵，,也可写为：,传递矩阵表示出了光线在同一介质内直线传播时的关系,RP1,RP2,d,设光从M点传到Q点,-,84,二 折射矩阵(Refraction Matrix),n,n,y=y,A,O,D,C,-,U,I,I,r,-,85,折射矩阵表征了光线在介质界面上的传输情况,折射矩阵,86,三 系统矩阵System matrix,设,A系统矩阵 当已知系统的结构参数（r,d,n）即可求得矩阵元，他们是光学系统的r,d,n的常数。用这四个量可以表示光学系统的高斯光学性质（基点位置、焦距等），矩阵元即为系统

24、的高斯常数,光线在光学系统中的传播=介质内的直线传播+界面上的折射 如光在一个透镜的传播情况,87,则,对一光学系统而言，系统矩阵是所有折射矩阵和传递矩阵的连乘积，且按光线的变换次序，从右到左相乘。 系统定，则系统矩阵A就定,88,89,四 物象矩阵 Object-image Matrix,物像矩阵,90,y与有关，但按理想成像的关系，y应与无关 S210,91,物象大小，垂轴放大率可由S直观知晓, S210，detS=1,92,五 用高斯常数表示系统的基点位置和焦距 1.主点,H,H,F,F,Ok,O1,-lH,llH,llF,-lF,-f,f,93,2.焦点 焦点的截距 焦点到球面顶点的距

25、离,4.节点,3.焦距,94,六透镜系统的矩阵运算,1.Thick lens,设两球面的光焦度分别为P1，P2，而间距为d,透镜介质折射率为n2,95,带入上面几式,设n=n=1,2.Thin lens,96,结论,平移矩阵：表示光线经过一段间隔（透镜厚度、透镜间间隔、物距和像距等）后在不同参考面上的交点坐标的变化 折射矩阵：描述单个折射面或单个薄透镜的折射作用，即光线通过他们以后方向的变化。参考面和单个折射面或薄透镜重合 系统矩阵：光线通过光学系统前、后光线方向的变化以及光线在最后折射面（参考面）上的交点的坐标相对于光线在第一折射面（参考面）上交点坐标的变化，并可由高斯常数求的系统的基点位置

26、和焦距 物象矩阵：由物空间的过渡矩阵、系统矩阵、和像空间的过渡矩阵相乘而得。它描述了一对共轭面上得物象关系，如系统焦距、垂轴放大率和角放大率等,97,Graded Index (GRIN) Lenses,1.Selfocus lenses,自聚焦透镜又称为梯度变折射率透镜，是指其折射率分布是沿径向渐变的柱状光学透镜。具有聚焦和成像功能。,98,2.简介 阶跃型光纤 渐变（梯度）折射率光纤,99,当光线在空气中传播当遇到不同介质时，由于介质的折射率不同会改变其传播方向 传统的透镜成像是通过控制透镜表面的曲率，利用产生的光程差使光线汇聚成一点,100,Spherical lens & GRIN l

27、ens, 均匀折射率分布材料 依靠弯曲的光学界面 实现光学成像 通过非球面来克服像差， 提高成像质量, 渐变折射率分布材料 依靠光线轨迹的弯曲 实现光学成像 通过优化折射率分布， 提高成像质量,101,3.自聚焦透镜在不同截距下光的传播轨迹,102,4.自聚焦透镜的特点,平方率折射率分布（抛物线型） 光线轨迹为cos或sin曲线 从一点发出的不同角度的光线将会聚于另一点，形成“自聚焦” 具有独到特点： 体积小、平端面 超短焦距 组合透镜成像特性 可以弯曲成像 成像特性：与透镜长度有关,103,5.应用,由于自聚焦透镜具有端面聚焦及成像特性，以及其圆柱状的外形特点，因而可以应用在多种不同的微型光学系统中。自聚焦透镜的主要功能是聚焦、准直和成像,104,激光光纤耦合系统中的应用：耦合聚焦,105,106,医用内窥镜和工业窥镜,107,