数学十字交叉法(7页).doc

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1、-数学十字交叉法-第 7 页2014备考之数学十字交叉法一般情况下，我们是在“溶液问题”中引入“十字交叉法”，原理如下所示：重量分别为A和B的溶液，浓度分别为a和b，混合后的浓度为r。可得：AaBb(AB)r十字交叉法主要用于解决加权平均型问题，即由两个不同的“数值”混合在一起形成新的“平均值”的问题。十字交叉最终得到的是一个比例，关键在于确定这个比例是什么量的比例！十字交叉法常用的情况有以下五种：一、溶液混合问题两种不同浓度的溶液混合，得到的混合浓度大小居中，十字交叉所得到的比例为混合前溶液的质量之比或体积之比。【例1】要将浓度分别为20%和5%的A、B两种食盐水混合配成浓度为15%的食盐水

2、900克。问5%的食盐水需要多少克？（ ）A. 250B. 285C. 300D. 325【答案】C【解析】本题考查溶液混合。浓度为20%的溶液与浓度为5%的溶液混合后得到的混合溶液的浓度为15%，混合浓度大小居中。十字交叉法表示如下：即，故B溶液的质量为900300。因此，本题选择C选项。【例2】烧杯中装了100克浓度为10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水。问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？（假设烧杯中盐水不会溢出）【答案】B【解析】浓度为10%的溶液与浓度为50%的溶液混合后得到的混合溶液的浓度为25%，十字交叉法表示如下：即，可得50%浓度的溶液

3、需要60克。601444，即至少需要加5次。因此，本题选择B选项。二、增长率混合总量的两个分量增长率混合，得到的混合增长率大小居中，十字交叉所得到的比例为两个分量的基期量之比。【例3】某公司2011年前三季度营业收入7650万元，比上年同期增长2%，其中主营业务收入比上年同期减少2%，而其他业务收入比上年同期增加10%，那么该公司今年前三季度主营业务收入为（ ）。【解析】本题考查增长率的混合。十字交叉法表示如下：可得2010年前三季度主营业务收入与其他业务收入之比为2：1，主营业务收入占总收入的比重为。2010年前三季度营业收入为7650（12%）7500（万元），主营业务收入为万元，则201

4、1年前三季度主营业务收入为5000（12%）4900万元。因此，本题选择C选项。【例4】某人持有两只股票，某日收盘时A股损失2%，B股上涨10%，其两只股票总价值为22950元，总体上涨2%，则收盘时A股价值为（ ）元。A. 15000B. 14700C. 15450D. 7500【答案】B【解析】本题考查增长率问题。十字交叉法表示如下：可得A、B两股的总价值之比为，因此A股的原价值为元，收盘时损失2%，则收盘时的价格为15000（12%）14700（元）。因此，本题选择B选项。三、平均数混合两组数据混合，得到的混合平均数大小居中，十字交叉所得到的比例为两组数据的数量之比。【例5】在环保知识竞

5、赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为（ ）。【答案】B【解析】平均数混合，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分，利用十字交叉法可得：可得男选手与女选手的人数比为7：8，因此总人数应该是15的倍数，而已知全部选手人数在35到50之间，其中只有45是15的倍数，则全部选手人数为45人。因此，本题选择B选项。【例6】某班一次数学测试，全班平均91分，其中男生平均88分，女生平均93分，则女生人数是男生人数的多少倍？（ ）B. 1D. 2【解析】本题考查平均数混

6、合。男生的平均分为88分，女生的平均分为93分，男女混合后总的平均分是91分，大小介于男生和女生之间，十字交叉法表示如下：则女生人数与男生人数的比值为3：2，即女生人数是男生的1.5倍。因此，本题选择C选项。【例7】某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员平均年龄为几岁？（ ）A. 34B. 36C. 35D. 37【答案】C【解析】本题属于平均数问题。利用十字交叉法算得A、B两部门的人数之比为3：4，B、C两部门的人数之比为4：5，故A、B、C三部门的人数之比为3：4：5，则平

7、均年龄为岁。因此，本题选择C选项。四、利润率混合两种不同利润率的商品混合，得到的混合利润率大小居中，十字交叉得到的比例为两种利润率混合前所对应商品的销量之比。【例8】甲、乙两种商品，其成本价共100元，如甲乙商品分别按30%和20%的利润定价，并以定价的90%出售，全部售出后共获得利润14.3元，则甲商品的成本价是（ ）。【答案】C【解析】设甲、乙两种商品的成本价分别为x、y元，甲产品售出后的利润率为，乙产品的利润率为，总的利润率为，十字交叉如下：可得出甲、乙的成本之比为，而甲、乙的总成本为100元，则甲产品的成本为70元。因此，本题选择C选项。【例9】商店花10000元进了一批商品，按期望获

8、得相当于进价25%的利润来定价。结果只销售了商品总量的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，亏本1000元。问商店是按定价打几折销售的？（ ）A.九折B.七五折C.六折D.四八折【答案】C【解析】商品分为两部分，30%的利润率为25%，总的利润为-10%，设剩余70%的利润率为x%，十字交叉如下：可得，解得。设共购买100件商品，进价为100元，定价为125元，70%的实际售价为元，折扣为。因此，本题选择C选项。五、折扣混合两种不同折扣的商品混合，得到的混合折扣大小居中，十字交叉得到的比例为混合前所对应商品的总定价之比。【例10】一批手机，商店按期望获得100%的利

9、润来定价，结果只销售掉70%。为了尽早销售掉剩下的手机，商店决定打折出售，为了获得的全部利润是原来期望利润的91%，则商店所打的折是（ ）。A. 六折B. 七折C. 八五折D. 九折【答案】C【解析】设打折的30%的商品的利润率为x%，用十字交叉法可得：则可得到，解得x70，剩余30%的商品的折扣为。因此，本题选择C选项。【例11】校长去机票代理处为单位团购机票10张，商务舱定价1200元/张，经济舱定价700元张。由于买的数量较多，代理商就给予优惠，商务舱按定价的9折付钱，经济舱按定价6折付钱，如果他付的钱比按定价少31%，那么校长一共买了经济舱几张？（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9C 本题考查折扣混合。商务舱的折扣为9折，经济舱的折扣为6折，混合后的折扣为6.9折（131%=69%），混合折扣大小介于商务舱和经济舱之间，十字交叉法表示如下：可以得到商务舱的原价：经济舱的原价3：7，假设计划购买商务舱为x张，经济舱为y张，则可得，即，则计划购买商务舱为张，经济舱为8张。因此，本题选择C选项。在数学运算中，当题干中出现了两部分混合时，特别是出现“溶液混合”、“平均数混合”、“增长率混合”、“利润率混合”、“折扣混合”的情况时，优先考虑十字交叉法，这样可以比较迅速的得出答案。