高中数学优质课件精选——人教版必修五：3.4 基本不等式.1 探究导学课型 .ppt

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1、3.4基本不等式： 第1课时基本不等式,1.理解基本不等式及其证明过程. 2.能用基本不等式证明不等式及比较大小.,重要不等式与基本不等式 (1)重要不等式：a2+b2_2ab，条件：a，bR；“=”成立的 条件是：_. (2)基本不等式：_，条件：a0，b0，“=”成立的 条件是_. (3)有关概念：_叫做正数a，b的算术平均数，_叫做正 数a，b的几何平均数.,a=b,a=b,1.a，b，c是互不相等的正数，且a2+c2=2bc，则下列关系中可能成立的是() A.abcB.bca C.bacD.acb,【解析】选C.因为a，c均为正数，且ac， 所以a2+c22ac， 又因为a2+c2=2

2、bc，所以2bc2ac， 所以ba，可排除A，D.取a=1，b=2， 则有c2-4c+1=0，解得c=2 ， 当c=2- 时，有bac.,2.不等式a+12 (a0)中等号成立的条件是 . 【解析】a+12 可变形为 等号成立的条件为a=1. 答案：a=1,3.若P=x2+1，Q=2x，则P与Q的大小关系是 . 【解析】根据重要不等式知P=x2+12x，故PQ. 答案：PQ,基本不等式 探究1：观察如图所示图形，其中AB是O的直径，点C是AB上的一点，CDAB，AC=a，BC=b，据此思考下列问题：,(1)用a，b如何表示CD？ 提示：由条件知RtACDRtDCB，所以CD2=CACB，所以

3、CD= . (2)AB与DE的大小关系怎样？ 提示：ABDE.,(3) 成立吗？ 提示：成立.因为ABDE，即a+b2 ，所以 (4)C点在何位置时，上述不等式等号成立？ 提示：当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.,探究2：根据基本不等式及其成立的条件， 回答下列问题： (1)若a，b同号，则 的关系如何？ 提示：当a，b0时， 当a，b0，,(2)当a，b异号时，不等式 成立吗？ 提示：一定不成立，因为当a，b异号时，ab0，所以 无意 义，故不等式一定不成立.,【探究总结】对基本不等式的四点说明 (1)“当且仅当”的含义是a=b (2)基本不等式的几何意义是：圆的半径不小于垂直于

4、直径的半弦长. (3)基本不等式亦可表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. (4)基本不等式 与不等式a2+b22ab成立的条件不同，前者是a，bR+，后者是a，bR.,【拓展延伸】基本不等式的常用结论 (1)当x0时，x+ 2；当x0时， 当ab0时， (3)若a，bR，则 ab，当且仅当a=b时，等 号成立. (4)若a，bR+，则 当且仅当 a=b时，等号成立.即调和平均数几何平均数算术平均数 平方平均数.,类型一 利用基本不等式比较大小 1.(2014济宁高二检测)设a0，b0，则下列不等式中，不成 立的是( ) 2.若ab1，P= Q= (lg a+lg b)，R= 试

5、比较P，Q，R的大小关系.,【解题指南】1.对每一选项利用基本不等式逐一判断. 2.在ab1的条件下，可得lgalgb0，进而可利用基本不等式比较P与Q的大小；再根据基本不等式及对数函数的单调性得出Q与R的大小.,【自主解答】1.选D.对于A： 不等式成立. 对于B：因为 相乘得 成立. 对于C：因为 又 成立. 对于D：因为,2.因为ab1，所以lg alg b0，所以Q= (lg a+lg b) =P； Q= 所以PQR.,【规律总结】利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等

6、式时，一定要注意条件是否满足a0，b0.,【变式训练】已知a，b，c都是非负实数，试比较 与 (a+b+c)的大小. 【解析】因为a2+b22ab，所以2(a2+b2)(a+b)2，,类型二利用基本不等式证明不等式 1.(2014天津高二检测)设a，b是正实数，以下不等式： a|a-b|-b；a2+b24ab-3b2；ab+ 2. 其中恒成立的是() A.B.C.D. 2.设a，b，c都是正数，试证明不等式：,【解题指南】1.根据基本不等式及其变形形式证明. 2.原不等式左边可化为 再利用基本不等式证明.,【自主解答】1.选D.由题知，a0，b0.中 可化 为a+b 缺少两者相等的情况，故错误

7、.中，因为a+b |a-b|成立，所以a|a-b|-b，故正确.中a2+b24ab-3b2， 可化为a2+4b24ab，由基本不等式知，缺少两者相等的情况， 故错误.中， 故正确.,2.因为a0，b0，c0，所以 所以 6，当且仅当 即a=b=c时，等号成立.所以 6.,【延伸探究】在题2条件不变的情况下，证明ab(a+b)+bc(b+c) +ca(c+a)6abc. 【证明】因为a，b，c都是正数，所以ab(a+b)+bc(b+c)+ ca(c+a)=a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2=(a2b+bc2)+(b2c+ca2)+ (c2a+ab2) =6abc，所以原不等 式成立，

8、当且仅当a=b=c时，等号成立.,【规律总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题 (1)基本不等式成立的前提条件. (2)通过加减项的方法拼凑成可以使用基本不等式的形式. (3)注意“1”的代换. (4)灵活变换基本不等式的形式并注意其变形形式的运用. 提醒：(1)多次使用基本不等式时，注意等号能否成立. (2)利用不等式性质累加时，注意等号成立的条件.,【拓展延伸】基本不等式的推广 设aiR+(i=1，2，n)，这n个数： (1)算术平均数An= (2)几何平均数Gn= (3)调和平均数Hn= (4)平方平均数Qn= 则以上平均值的关系是：HnGnAnQn.,【变式训练】已知a，b，c为正实数，且a+b+c=1， 求证： 【解题指南】 其他同样放缩.,【证明】因为a，b，c为正实数，且a+b+c=1， 所以 同理， 上述三个不等式两边均为正， 相乘得 当且仅当a=b=c= 时，取等号.,