【0323数学课】25等比数列的前n项和1.ppt

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1、2.5.1 等比数列的前等比数列的前 n 项和项和 (1) 问题问题1：263122264S=?陛下赏小陛下赏小人几粒麦人几粒麦就搞定就搞定!OK263? =264 1= 18446744073709551615,2 1 ,4 1 ，8 1 ,16 1 ,32 1 ,64 1 ,128 1 ,256 1 问题问题2：每日截下的部分构成一个数列：每日截下的部分构成一个数列：n2121212132 问：问：n日共截下了多少日共截下了多少？=?问题问题1：6322221 64S=?探索：探索： 1S 2S 3S 4S121 2221 3 7 322221 15 12 122 123 124 64S6

2、322221 1264 （不完全归纳法）（不完全归纳法）猜想：猜想：1+2 + 22 +262 + 2632S64 =S64=2 + 22 + 23 + 263 +264由由 得得: S64= 1 264S64= 264 1.即即（错位相减法）（错位相减法）问题问题2：n2121212132 nS=?解：解：nnS2121212132 nS2113221212121 nn由由 得得:1212121 nnS.211nnS 即即（错位相减法）（错位相减法）Sn =已知等比数列已知等比数列an的首项为的首项为a1,公比为公比为q,则则Sn= a1+a1q +a1q2 +a1qn-2 + a1qn-1

3、 (1)qSn = a1q + a1q2 +a1qn-2 +a1qn-1 + a1qn (2)两式相减有两式相减有 (1 q)Sn = a1 a1 q n （错位相减法）（错位相减法）1(1)1nnaqSq 当当q=1时时，1nSna 当当q1时时，?a1 + a2 + a3 + .+ an-1 + an 思考：思考：等式等式(1)两边除以两边除以q可否可否推出公式推出公式？等比数列等比数列 an 的前的前n 项和公式：项和公式： )1(1)1()1(11qqqaqnaSnn想一想：想一想：还有其它推导方法吗还有其它推导方法吗？（用等比定理推导）（用等比定理推导） 12aa 23aa 34aa

4、 1nnaaq 1321432nnaaaaaaaaqqaSaSnnn 1 )1(1)1(11qqqaaqnaSnn方法方法2 2：qaaSqnn 1)1(即即（分母不为（分母不为0） )1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn借助和式的代数特征进行恒等变形借助和式的代数特征进行恒等变形nnaaaaS .321).(13211 naaaaqa)(1nnaSqa )1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn方法方法3 3：qaaSqnn 1)1(方程思想方程思想前前n项和公式：项和公式：两个公式共有两个公式共有5个基本量个基本量:可知可知“三求二三求二”. 通项公式：

5、通项公式：11nnaa q )1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnnnnSanqa，1例例1.若数列若数列an是各项为正的等比数列，前是各项为正的等比数列，前n项和为项和为80，其中最大项为其中最大项为54，前，前2n项和为项和为6560，求，求 S100.解：解：由已知得，由已知得，1(1)80 ,1nnaqSq 212(1)6560 .1nnaqSq 由由 得得182 ,nq81 ,nq 代入得：代入得：11 ,1aq 11 ,aq0 ,na 110 ,aq1 ,q an是递增数列是递增数列.最大项为最大项为,54 na即即1154 ,na q 18154 ,aq解得解得

6、12 ,3 ,aq1001100(1)1aqSq . 13100 例例2. 数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且a1=1， 11,3nnaS 求：（求：（I）a2，a3，a4的值及数列的值及数列an的通项公式；的通项公式； （II） 的值的值.2462naaaa解：解：（I）由）由a1=1， 11,3nnaS 得得2113aS 3213aS 113a 1,3 121()3aa 4,9 4313aS 1231()3aaa 16,27 由由111()3nnnnaaSS 11,3nnaS 1,3na （n2） 得得143nnaa （n2） 又又21,3a 21 4( )3 3nna （n2

7、） 2111 4( )23 3nnnan （II）由（）由（I）可知）可知 是首项为是首项为 ，242,naaa13公比为公比为24( ) ,3项数为项数为n的等比数列，的等比数列，2241( )13431( )3n 2462naaaa234( )1.73n例例2. 数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且a1=1， 11,3nnaS 求：（求：（I）a2，a3，a4的值及数列的值及数列an的通项公式；的通项公式； （II） 的值的值.2462naaaa解：解：主要内容主要内容: :思想方法：思想方法：(1) (1) 重要的求和方法：重要的求和方法：(2) (2) 重要的数学思想：重要的数学思想：等比数列等比数列 的前的前n项和公式的推导及运用项和公式的推导及运用课堂小结课堂小结na11(1)111nnaqqSqnaq11111nnaa qqqSnaq或错位相减法错位相减法方程思想、分类讨论思想方程思想、分类讨论思想乐学七中：乐学七中：2.5.1等比数列求和等比数列求和预习：预习： 等比数列求和（等比数列求和（2） 作作 业：业：