GCT工程硕士数学讲义2(41页).doc

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1、-GCT工程硕士数学讲义2-第 41 页第四部分 一元函数微积分在25个考题里面占6个，主要考在一元微分学部分，微分学占到了，现在微分学的题目有四个，积分学可能有两个题目。从题目的难度说，04、06两年，微积分的题目计算量是偏大的，03、05两年题目的难度不大，但也有难题。从出题目的类型说，只有一个题目没有复习，就是渐近线的问题。今年渐近线可以不管，已经考过了。微积分 一元微积分内容总结一、有关函数进一步讨论：二、极限；极限的概念、极限的性质和极限的四则运算、两个重要极限和无穷大量和无穷小量概念及其关系、无穷小量的比较等。掌握极限的保号性质； 1无穷大与无穷小的关系；理解无穷小比较； f(x)

2、=o(g(x)（c0，c1）第三章 连续函数连续的定义，左右连续的定义，连续与左右连续的关系，间断点，间断点的分类，连续函数的运算性质，连续函数的性质。给出一个函数，给出一点，判断函数在这点是否存在左极限和右极限存在且相等，相等就是连续的。给出具体函数找间断点。1.先找有定义的点；2.单独给出定义的点；最大值存在性和最小值的存在性；第四章 导数和微积分的概念、导数的运算1.概念；2.性质；可导定连续；反之不成立。可导和可微是等价的；反之亦成立。3.运算；基本初等函数的导数要记住；加减乘除的求导法则记住；复合函数的联导法则要记住；一、两类概念1反映函数局部性质的概念极限、连续、可导（导数）、可微

3、（微分）、极值（点）等2反映函数整体性质的概念有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函数、定积分等二、三种运算1极限运算常用方法：四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等2求导运算需要掌握：定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式3积分运算（1）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法（2）定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法三、几个应用1单调性、极值、最值问题（不等式、方程的根）2凹凸性、拐点问题3平面图形的面积问题一元微积分中的常见问题一、 求函数表达式

4、的问题1已知, 求的表达式解：令 得 ，故2已知 求解：） 3已知，求解： 因为，所以 因此 4设，求解：因为 ，所以 因此 5已知，求，解：因为 ，所以因此 ，二、研究函数的奇偶性的问题1奇函数2解：因为对任意的，都有定义，且所以是奇函数；3研究函数的奇偶性解：因为对任意的，都存在，且所以是偶函数三、函数在一点的性质1求极限解：2指出函数的间断点及其类型答案：，跳跃型；，可去型；，第二类3已知函数在上连续，求的值解：由于 所以，；根据连续性可知 解得 4讨论函数在处的连续性、可导性答案：连续，可导因为5设在可导，则满足 A （A） （B）（C） （D）四、有关无穷小比较的问题1若， ，求与的

5、值 解：因为 ，所以2已知，则当时，下列函数中与是等价无穷小的是 C A B C D 解：由得3确定的值，使解： 因为，所以 ，因此又 ，所以 .4. 设，求解:五、有关导数概念的问题1求极限 解：2设在点某邻域内可导，且当时，已知，求极限解：3已知，求解：因为 所以六、 求简单复合函数、简单隐函数、幂指函数的导数和微分的问题12已知函数由确定，求曲线在处的切线方程与法线方程解：由 得当 时，得 ，所以要求的切线与法线方程分别为3，七、 研究函数单调性、求函数极值的问题1单调性、极值问题例如：求函数的单调区间和极值点解：，由得单增区间为，单减区间为和是极小值点，是极大值点2最值问题，3证明不等

6、式问题，（1）证明：证明：因为 ，所以 .（2）证明：证明：令，则，所以当时，即 ，故（3）证明：证明：令，由得，由于，所以函数在区间上的最大、最小值分别为和，从而有 4证明等式问题例如：设函数在上可导、单增且，证明证明：令，则 ，又 ，所以 ，故 证法2：因为所以注：也可用定积分的几何意义证明5研究方程根的问题例如：讨论方程实根的情况解：令 ，由 得 ，从而是函数的单减区间，和是函数的单增区间，极大值为，极小值为由于 ，所以：当时，原方程只有一个实根，位于内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于内；当时，原方程有三个不同实根，分别位于，内；当时，原方程有两个不同实根，一个为，一个位于

7、内；当时，原方程只有一个实根，位于内八、研究函数的凹凸性、求函数拐点的问题1.当为何值时，点可能为的拐点，此时函数的凹凸性如何？解:由点在曲线上和拐点处的二阶导数为零，得解得 由于 ，所以为函数的下凸区间，为函数的上凸区间，点是的拐点2. 设函数在上二阶连续可导，且，试判断是否为的极值点？是否为的拐点？ 解：因为 ，所以在附近，从而，因此不是的拐点由于，所以单增，又，从而易知是的极小值点九、不定积分（凑法、分部积分法）1已知的一个原函数为，求，解：2解：3解：4解：或 5解：6解：因为所以 十、定积分求值的问题1利用定积分性质（几何意义、奇偶性、周期函数等）2分段函数、绝对值函数、带有根号的函

8、数求定积分例如：3已知一个积分值，求另一个积分值（1）已知，求的值解：（2）已知，求解：4已知一个积分方程，求一个积分值例如：已知，求，解：因为 ，所以因此 ，十一、有关变限定积分函数的问题1导数运算（1）已知函数由方程确定，求解：因为 ，所以，因此 （2）求极限 解：（3），求解：，（4）已知，求解：2研究奇偶性、单调性、凹凸性，求极值点和拐点例如：求函数的单调区间和极值点解：由 ，得当时，单调减小，当时，单调增加，是的一个极小值点；当时，单调减小，是的一个极大值点；当时，单调增加，是的一个极小值点十二、定积分的几何应用问题（面积与旋转体的体积）1切线、法线，2. 最大、最小面积（1）求由及

9、在处的法线所围图形的面积及此图形绕轴旋转所得旋转体的体积解: 在处的法线方程为 此法线与轴的交点是 ，所以（2）求曲线段的一条切线，使该切线与直线及此曲线段所围平面图形的面积最小解：曲线在处的切线方程为曲线在处的切线与直线及此曲线段所围平面图形的面积为由 ，得由于当时，；当时，所以最小，故所求切线方程为 样题与真题一、函数（2005）设函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 分析：考虑得解得即正确选项为D二、函数在一点的性质1设函数，则在点处 （极限、连续、导数定义）2（2003）如果在处可导，则极限 A等于B等于C等于*D不存在注：特殊值代入法。3（2005）设在点处可

10、导，且则=（ ）A.0 B.1 C.2 D.3分析：因为在点处可导，所以其在点处连续，从而，即正确选项为C注：特殊值代入法。4（2006）设，且导数存在，则（ ）。A. 0 B. C. D. 答：D分析：（本题是一元函数微分学题目。考查导数概念与复合函数的求导公式）根据导数定义，极限是复合函数在点的导数，所以其值为。注：特殊值代入法与排除法。三、连续函数性质（2003）甲乙两人百米赛跑成绩一样，那么 A甲乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B甲乙两人每时刻的瞬时速度都不一样C甲乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样*D甲乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样注：排除法。四、极限运算1极限 （极限运算）2 （极

11、限运算）3极限 （极限运算）五、导数运算1设函数，则 （求导运算）2设函数，则 （求导运算）3如图，是两个逐段线性的连续函数，设，则的值为（ A ）A*BCD12345678xy6f(x)g(x)分析：由于，所以六、导数应用1（2003）设，则的极值点的个数是 AB* CD2（2003）方程的实根个数是 AB*CD2（2004）如下不等式成立的是（ B ）A在区间上，B在区间上，*C在区间上，D在区间上，分析：令 ，则，又，所以在区间上，有，即3（2005）函数在上有（ ）A1条垂直渐进线，1条水平渐进线；B1条垂直渐进线，2条水平渐进线C 2条垂直渐进线，1条水平渐进线；D2条垂直渐进线，2

12、条水平渐进线分析：因为，所以曲线在上有2条垂直渐进线，2条水平渐进线即正确选项为D4（2005）若的二阶导数连续，且，则对任意常数必有=（ ）A. B.1 C.0 D. 分析：根据微分中值定理可知，存在介于和之间的使得由于，所以即正确选项为A注：特殊值代入法。5（2006）曲线在（0，2）区间内有（ A ）。A. 2个极值点，3个拐点 B. 2个极值点，2个拐点C. 2个极值点，1个拐点 D. 3个极值点，3个拐点分析：根据易知分别是函数的极大值点和极小值点。由于且在不存在，易判断经过三点时二阶导数都变号，所以这三点都是函数的拐点。6（2006）设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r，在正

13、圆锥的体积最大时，（C ）。A. B. 1 C. D. 分析：圆锥体积为 ，所以由得（易知这时体积最大），从而，故。7（2006）如右图，曲线表示某工厂十年期间的产值变化情况，设是可导函数，从图形上可以看出该厂产值的增长速度是（A）。P0 2 5 10 t(年) A. 前两年越来越慢，后五年越来越快B前两年越来越快，后五年越来越慢C前两年越来越快，后五年越来越快D前两年越来越慢，后五年越来越慢分析：由图可知，前两年的图像上凸，二阶导小于零，一阶导单减；后五年的图像下凸，二阶导大于零，一阶导单增。七、积分运算1如果函数在区间上连续，且，则 （积分运算）2（为常数）（积分运算）3（2003）设，则

14、 ABCD*分析：。4（2004）设为连续函数，且，则（ C ）ABC*D分析：因为且，所以5（2005）设是的一个原函数，则不定积分=（ ）A. B. C. D.3分析：由于，所以即正确选项为C注：选项验证法。6（2006）设，则在0，a上方程根的个数为（B）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3分析：记，则所以 至少有一个根。又因为 ，所以只有一个根。八、积分应用1（2004）过点作曲线的切线，设该曲线与切线及轴所围成的面积为，曲线与直线及轴所围成的面积为，则（ D ），所以ABCD*分析：由于2（2004）如图，抛物线把曲线与轴所构成的区域面积分为与两部分，则（ B ）AB*CD与的大小

15、关系与的数值有关分析：解得由于 ，所以3（2005）设连续函数在内严格单调递增，且，若是的反函数，则=( )A. B. C. D. 分析：aaAB如图，根据定积分的几何意义可知：，所以即正确选项为B注：也可利用4（2006）如右图所示，函数是以2为周期的连续周期函数，它在0，2上的图形为分段直线，是线性函数，则（B）。 0 1 2xy1A B. 1 C. D. 分析：根据图形可知 ，且函数在每个长度为的区间上的积分值相等，所以第五部分 线性代数线性代数中的常见问题一、行列式求值1（2003）行列式展开式中的系数是 A*B CD2设行列式，第2行各元素的代数余子式之和的值为 (A)(B)(C)(

16、D)解：3设是三阶方阵，若行列式 ，则（1）中必有一零行；（2）中必有两行的对应元素成比例；（3）必有非零矩阵，使得；（4）对任给的3维列向量，方程组没有惟一解；（5）中必有一行可用另外两行的线性组合表示上面的命题中，正确的共有（ C ）(A)1个 (B)2个 (C) 3个(D) 4个二、矩阵运算1设均是阶矩阵，则（1）；（2）；（3）；（4）上述命题中，正确的命题有（ C ）(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个2已知，求解：根据 得 ，所以 又 ，所以3设，则（ D ）(A)(B)(C)(D)解：4已知，求解：5设是一个阶方阵，且的行列式，则 C (A)(B) (C)(D)解：由于 ，所

17、以 从而6已知，求解：三、求逆矩阵1利用公式，2利用初等行变换，3利用逆矩阵定义例如：已知，证明可逆，并求解：因为，所以4利用性质例如：已知都可逆，证明也可逆，并求解：四、向量组线性相关、线性无关的概念1维向量组线性无关的充分条件是 C (A) 都不是零向量(B) 中任意两个向量都不成比例(C) 中任一个向量都不能由其余向量线性表出2已知线性相关，线性无关，证明：（1）可由线性表出； （2）不能由线性表出证明：（1）由于线性相关，所以存在不全为零的数使得若，则，又因为线性无关，所以必有，这与不全为零矛盾故 ，即可由线性表出（2）若能由线性表出，则存在实数使得 这与线性无关矛盾3已知（1）当为何

18、值时，向量组线性相关？ （2）当为何值时，可由向量组线性表出解：当时，向量组线性相关；当时，可由向量组线性表出五、矩阵的秩、向量组的秩1设，若，则的值为 (A)(B)(C)(D)解：利用初等行变换得 ，由于，所以，解得另解：由得2设都是阶非零矩阵，且，则和的秩 (A) 必有一个等于零（B)都小于(C)一个小于，一个等于 (D)都等于解：因为 ，所以 ，又因为 都是阶非零矩阵，所以，从而便知选项（B）正确另解：排除法若设 ，则矩阵可逆，从而由便得 ，这与条件矛盾3若向量组的秩为，则（ C ）(A) 向量组中只有一个极大线性无关组(B) 向量组中任何个向量都线性无关(C) 向量组中任何个线性无关向

19、量构成的向量组都是一个极大线性无关组(D) 向量组中任何个向量都线性无关4已知，求向量组的极大线性无关组和秩解：由于 ，所以的秩为，一个极大线性无关组是六、线性代数方程组1当 A 时，方程组有非零解(A)(B)(C)(D)2设为矩阵，是矩阵，则齐次线性方程组（ D ）(A) 当时只有零解(B) 当时必有非零解(C) 当时只有零解(D) 当时必有非零解3设是线性方程组的两个不同的解，是方程组导出组的基础解系，则程组的通解是 D (A)(B) (C) (D) 其中是任意常数4设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且秩，是任意常数，则的通解是（C ）(A) (B) (C)(D) 5设是齐次线性方程组

20、的一个基础解系，试证明 也是齐次线性方程组的一个基础解系证明：要证三件事：每个向量都是解、含有三个解向量、解向量组线性无关设，则由于线性无关，所以因为，所以必有7设为阶方阵，为矩阵，证明为单位阵证明：因为，所以，即的每一列都是方程组的解由为矩阵且可知的列向量组满秩，因此方程组只有零解，故的每一个列向量都是零向量，从而为单位阵七、特征值与特征向量问题1向量是矩阵的属于特征值 D 的特征向量(A)(B)(C)(D)解：2设是阶可逆矩阵，若与相似，试证与相似，与相似证明：因为，所以，即与相似；因为，所以，即与相似样题与真题一、行列式1设行列式，第2行各元素的代数余子式之和 (A)(B)(C)(D)2

21、（2003）行列式展开式中的系数是 A*B CD3（2004）设，则行列式（ A ）ABCD分析：4（2005）设是方程的三个根，则行列式的值等于（ ）A.1 B.0 C.-1 D.-2分析：根据题意可知所以，从而即正确选项为B二、矩阵1设，若，则的值为 (A)(B)(C)(D)2设都是阶非零矩阵，且，则和的秩 (A) 必有一个等于零（B)都小于(C)一个小于，一个等于 (D)都等于3（2003）设，则必有 AB CD*4（2003）为阶非零矩阵，其伴随矩阵的秩，则等于 A或*B或C或D或5（2004）设，则矩阵中，第3行第2列的元素是（ B ）ABCD分析：因为，所以矩阵中，第3行第2列的元

22、素是6（2005）已知为维单位列向量，为的转置，为单位矩阵，若=，则等于（ ）A. B. C.1 D. 分析：，即正确选项为A7（2006）设E为三阶单位矩阵，若三阶矩阵满足关系，则的第一行的行向量是（C）。A. B. C. D. 分析：因为，所以，从而，故的第一行的行向量是。三、向量组1设向量组，向量组的一个极大线性无关组是 (A)(B)(C) (D) 2（2004）若向量线性无关，而向量线性相关，则（ D ）ABCD分析：因为向量线性相关，所以存在不全为零的使得即 ，又向量线性无关，故由非零解，从而，即3（2005）设向量，则向量组的一个极大线性无关组是（ ）A. B. C. D. 分析：

23、因为，所以向量组的一个极大线形无关组是即正确选项为D4（2006）三阶矩阵A的秩是方程组的三个解向量，则常数k=（D）。A. -2 B. -1 C. 2 D. 3分析：根据题意，方程组的基础解系只含有两个线性无关的解向量，所以向量组线性相关，从而解得。5（2006）已知向量组线性无关，则线性无关的（C）。A. 充分必要条件 B. 充分条件，但非必要条件C.必要条件，但非充分条件D. 既非充分条件也非必要条件分析：因为，当线性无关时，所以线性无关的必要条件但非充分条件。四、方程组1当 时，方程组有非零解(A)(B)(C)(D)2设是线性方程组的两个不同的解，是方程组导出组的基础解系，则程组的通解

24、是 (A)(B) (C) (D) 其中是任意常数3（2003）为的非零矩阵，方程组只有零解的充分必要条件是 A的列向量组线性无关*B的列向量组线性相关C的行向量组线性无关D的行向量组线性相关4（2004）设矩阵，三阶矩阵，且满足，则（ A ）A，的秩B，的秩C，的秩D，的秩分析：根据题意可知有非零解，所以，故又由于，且，所以的秩五、特征值、特征向量1向量是矩阵的属于特征值 的特征向量(A)(B)(C)(D)2设，其中彼此相似的矩阵是 (A)(B)(C)(D)3（2003）已知三阶矩阵的特征值为，它们对应的特征向量为，则矩阵为 ABCD*4（2004）下列矩阵中，与对角阵相似的矩阵是（ ）ABCD分析：与对角阵相似的矩阵对应于特征值应有两个线性无关的特征向量，由于秩 等于2、秩 等于2、秩 等于1、秩 等于2，所以矩阵对应于特征值有两个线性无关的特征向量，故其与对角阵相似5（2005）设A=，则A的对应于特征值2的一个特征向量是（ ）A. B. C. D. 分析：因为，所以A的对应于特征值2的一个特征向量是即正确选项为D6矩阵，若A的特征值和B的特征值对应相等，则其中（ B ）。A. B. C. D. 分析：方阵的特征值为，由对成立得。从而根据可知方阵的特征值为，所以。