巧用“旋转”求解一类几何最值问题(2页).doc

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1、-巧用“旋转”求解一类几何最值问题-第 2 页巧用“旋转”求解一类几何最值问题【模型1】如图，正方形ABCD的边长为2，在对角线BD上有一点P，求当PA+PC+PB的值最小时，则这个最小值为多少？【解析】如图，将ABP以点B为中心逆时针旋转60，得到EBQ，连接PQ，则BPQ和ABE均为等边三角形。设y=PA+PC+PB，则y=EQ+QP+PC，故当点E、Q、P、C在同一条直线上时y最小，即y的最小值为CE的长度。过点E作EMBC，交CB延长线于点M，易知，EBM=30，EM=2/2，BM=32/2=6/2；CE=（2/2）+（6/2+2）=4+23=（3+1），CE=3+1，即当PA+PC+

2、PB的和最小时，最小值为3+1。通过求解过程我们发现，点P在不在BD上与结果并无关系，可以认为点P为ABC内部的一点，当ABC=90，BA=BC=2时，PA+PB+PC的最小值仍然是3+1。于是我们设想当ABC为其他特殊角，BA和BC不相等时，PA+PB+PC的最小值可以求得吗？【模型2】在ABC中，BAC=30，AB=6，AC=8，点P为ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。【解析】如图，将ABP以点A为中心逆时针旋转60，得到ABP，连接PP。则APP为等边三角形。则PA+PC+PB=BP+PP+PC，故当PA+PC+PB最小时，点B、P、P、C在同一条直线上，即

3、PA+PC+PB的最小值为BC的长度。易知，BAC=30+60=90，AB=AB=6，BC=10，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为10。【模型3】在ABC中，BAC=60，AB=23，AC=4-3，点P为ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。 【解析】如图，将ABP以点A为中心逆时针旋转60，得到ABP，连接PP。则APP为等边三角形。则PA+PC+PB=BP+PP+PC，故当PA+PC+PB最小时，点B、P、P、C在同一条直线上，即PA+PB+PC的最小值为BC的长度。过点B作BDAC，交CA延长线于点D，易知，BAD=60，BD=233/2=3，AD=3；CD=4-3+3=4，BC=5，即当PA+PC+PB的和最小时，最小值为5。【模型4】在ABC中，BAC=90，AB=23，AC=33-3，点P为ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。【提示】如下图，与【模型1】情况类似，最小值为30。【模型5】在ABC中，ABC=75，AB=22，BC=2，点P为ABC内一点，连接PA，PB，PC，求PA+PB+PC的最小值。【提示】如下图，通过旋转可知PA+PC+PB的最小值为CD的长度。过点D作DMBC，交CB延长线于点M，易知，DBM=45。最小值为25。