高考理科数学一轮复习：8.6-空间向量及空间位置关系（含答案）.pptx

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1、第6节空间向量及空间位置关系,最新考纲1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直；4.理解直线的方向向量及平面的法向量；5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.,知 识 梳 理,1.空间向量的有关概念,大小,方向,相同,相等,相反,相等,平行,重合,同一个平面,2.空间向量的有关定理,(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在

2、实数，使得_. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在_的有序实数对(x，y)，使p_. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_，其中，a，b，c叫做空间的一个基底.,ab,唯一,xayb,xaybzc,3.空间向量的数量积及运算律,非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b. (2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a)b(ab)； 交换律：abba； 分配律：a(bc)abac.,0，,互相垂直,4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1

3、，b2，b3).,a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,5.直线的方向向量和平面的法向量,(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量.,平行或重合,6.空间位置关系的向量表示,n1n20,nm0,nm0,微点提醒,3.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但不满足结合律，即(ab)ca(bc)不一定成立. 4.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平

4、面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)直线的方向向量是唯一确定的.() (2)若直线a的方向向量和平面的法向量平行，则a.() (3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.() (4)若ab0，则a，b是钝角.() (5)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(),解析(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个； (2)a；(3)若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，不能构成一个基底； (4)若a，b，则ab0，故不正确；(5)两个平面可能平行或重合. 答案(1)(2)(3)(4)(

5、5),2.(选修21P104练习2改编)已知平面，的法向量分别为n1(2，3，5)，n2(3，1，4)，则() A. B. C.，相交但不垂直 D.以上均不对 解析n1n2，且n1n2230，相交但不垂直. 答案C,3.(选修21P118A6改编)已知a(cos ，1，sin )，b(sin ，1，cos )，则向量ab与ab的夹角是_.,解析ab(cos sin ，2，cos sin )， ab(cos sin ，0，sin cos )， (ab)(ab)(cos2 sin2 )(sin2 cos2 )0，,4.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC

6、法向量的是(),解析设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，,答案C,5.(2018合肥月考)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.,答案垂直,考点一空间向量的数量积及应用典例迁移,【例1】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,【迁移探究1】 本例的条件不变，求证：EGAB.,【迁移探究2】 本例的条件不变，求EG的长.,【迁移探究3】 本例的条件不变，求异

7、面直线AG和CE所成角的余弦值.,规律方法1.利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算. 2.空间向量的数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题. (1)a0，b0，abab0；,【训练1】 如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.,(1)求AC1的长； (2)求证：AC1BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值.,考点二用空间向量证明平行和垂直问题,(1)求证：AE平面BCF； (2)求证：CF平面AEF.,证明取BC中点H，连接OH，则OHBD， 又四边形ABCD为正方形，

8、 ACBD，OHAC，,(1)设平面BCF的法向量为n(x，y，z)，,又四边形BDEF为平行四边形，,又AEAFA，AE，AF平面AEF，CF平面AEF.,规律方法1.证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算. 2.用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)

9、面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示.,求证：(1)A1B1平面AA1C； (2)AB1平面A1C1C. 证明因为二面角A1ABC是直二面角，四边形A1ABB1为正方形， 所以AA1平面BAC.,所以CAB90，即CAAB， 所以AB，AC，AA1两两互相垂直，,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.,设AB2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2).,设平面AA1C的一个法向量n(x，y，z)，,取y1，则n(0，1，0)，,所以A1B1平面AA1C.,设平面A1C1C的一个法向量m(x1，y1，z1)

10、，,令x11，则y11，z11， 即m(1，1，1).,又AB1平面A1C1C，所以AB1平面A1C1C.,考点三用空间向量解决有关位置关系的探索性问题多维探究 角度1与平行有关的探索性问题 【例31】 (2018西安八校联考)已知某几何体的直观图和三视图如图，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.M为AB的中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP平面CNB1？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由.,解由几何体的三视图可知AB，BC，BB1两两垂直，ANABBC4，BB18.如图，分别以AB，BB1，BC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则A(

11、4，0，0)，B(0，0，0)，C(0，0，4)，N(4，4，0)，B1(0，8，0)，C1(0，8，4). 设平面CNB1的法向量为n(x，y，z).,令x1，可得平面CNB1的一个法向量为n(1，1，2). 设P(0，0，a)(0a4).,在线段CB上存在一点P，使得MP平面CNB1，此时BP1.,角度2与垂直有关的探索性问题 【例32】 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知BC4，ABAD2.,(1)求证：ACBF；,(1)证明平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AFAD，AF平面ADEF， AF平面ABCD. AC平面ABCD，AF

12、AC.,ABAFA，AC平面FAB， BF平面FAB，ACBF.,(2)解存在.由(1)知，AF，AB，AC两两垂直.,假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P不与点B，E重合，,设平面PAC的法向量为m(x，y，z).,【训练3】 (2019桂林模拟)如图，棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱长都等于2，ABC和A1AC均为60，平面AA1C1C平面ABCD.,(1)求证：BDAA1； (2)在直线CC1上是否存在点P，使BP平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由.,(1)证明设BD与AC交于点O，则BDAC，连接A1O，在AA1O中，AA12，AO1，A1AO6

13、0，,由于平面AA1C1C平面ABCD，且平面AA1C1C平面ABCDAC，A1O平面AA1C1C，A1O平面ABCD.,(2)解假设在直线CC1上存在点P，使BP平面DA1C1，,取n3(1，0，1)，因为BP平面DA1C1，,即点P在C1C的延长线上，且C1CCP.,思维升华 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键. 4.向量的运算有线性运算和数量积运算两大类，运算方法有两种，一种是建立空间坐标系，用坐标表示向量，向量运算转化为坐标运算，另一种是选择一组基向量，用基向量表示其它向量，向量运算转化为基向量的运算.,5.用向量的坐标法证明几何问题，建立空间直角坐标系是关键，以下三种情况都容易建系：(1)有三条两两垂直的直线；(2)有线面垂直；(3)有两面垂直. 易错防范,2.找两个向量的夹角，应使两个向量具有同一起点，不要误找成它的补角. 3.用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标.,