【人教A版】高考数学一轮课件：第7章-立体几何与空间向量 第2节 空间点、直线、平面的位置关系.pptx

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1、第2节空间点、直线、平面的位置关系,考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义；2.了解四个公理和一个定理.,知 识 梳 理,1.平面的基本性质,(1)公理1：如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过_的三点，有且只有一个平面. (3)公理3：如果两个不重合的平面有_公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,两点,不在同一条直线上,一个,2.空间点、直线、平面之间的位置关系,3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线_. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别

2、对应平行，那么这两个角_. 4.异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).,互相平行,相等或互补,锐角(或直角),微点提醒,1.公理2的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面. 2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)两个平面，有一个公共点

3、A，就说，相交于过A点的任意一条直线.() (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.() (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.() (4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.(),解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误. (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于a不平行于平面，且a，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则

4、异面直线B1C与EF所成角的大小为(),A.30 B.45C.60 D.90 解析连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角. 又B1D1B1CD1C，D1B1C60. 答案C,3.(必修2P45例2改编)已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是() A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形,解析如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC，又FGBD，所以EFG或其补角为AC与BD所成的角，而AC与BD所成的角为90，所以EFG90，故四边形EFGH为矩形. 答案B,4.(2019聊城调研)是一个平面，m

5、，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是() A.垂直 B.相交 C.异面 D.平行 解析依题意，mA，n，m与n异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. 答案D,5.(一题多解)(2017全国卷)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(),解析法一对于选项B，如图(1)所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可证选项C，D中均有AB平面MNQ.因此A项中直线AB与

6、平面MNQ不平行.,图(1),图(2),法二对于选项A，其中O为BC的中点(如图(2)所示)，连接OQ，则OQAB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行. 答案A,6.(2018宁波月考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条.,解析在EF上任意取一点M，如图， 直线A1D1与M确定一个平面， 这个平面与CD有且仅有1个交点N， 当M取不同的位置就确定不同的平面， 从而与CD有不同的交点N， 而直线MN与这3条异面直线都有交点. 故在空间中与三条直线A1D1，

7、EF，CD都相交的直线有无数条. 答案无数,考点一平面的基本性质及应用,【例1】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：,(1)E，C，D1，F四点共面； (2)CE，D1F，DA三线共点.,证明(1)如图，连接CD1，EF，A1B， 因为E，F分别是AB和AA1的中点，,又因为A1D1綉BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形. 所以A1BCD1，所以EFCD1， 所以EF与CD1确定一个平面. 所以E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面.,所以四边形CD1FE是梯形， 所以CE与D1F必相交.设交点为P， 则PCE平面ABCD， 且PD1F

8、平面A1ADD1， 所以P平面ABCD且P平面A1ADD1. 又因为平面ABCD平面A1ADD1AD， 所以PAD，所以CE，D1F，DA三线共点.,规律方法1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上. 3.证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.,【训练1】 如图，在

9、空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.,(1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.,证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.,GHBD，EFGH. E，F，G，H四点共面. (2)EGFHP，PEG，EG平面ABC， P平面ABC.同理P平面ADC. P为平面ABC与平面ADC的公共点. 又平面ABC平面ADCAC， PAC，P，A，C三点共线.,考点二判断空间直线的位置关系 【例2】 (1)(一题多解)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平

10、面的交线，则下列命题正确的是() A.l与l1，l2都不相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l至少与l1，l2中的一条相交,(2)将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(),A.相交且垂直 B.相交但不垂直 C.异面且垂直 D.异面但不垂直,解析(1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.,法二如图

11、(1)，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图(2)，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.,(2)折起前ADBC，折起后有ADBD，ADDC，所以AD平面BCD，所以ADBC.又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直. 答案(1)D(2)C,规律方法1.异面直线的判定方法： (1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面. (2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. 2.点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，

12、常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.,【训练2】 (1)(2018湘潭调研)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(),A. B. C. D.,(2)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则() A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能,解析(1)由题意，可知题图中，GHMN，因此直线GH与MN共面；题图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图中，连接MG，则GMHN，因此直线GH与M

13、N共面；题图中，连接GN，G，M，N三点共面，但H平面GMN，所以直线GH与MN异面.故选C.,(2)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是mn1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误.故选D.,答案(1)C(2)D,考点三异面直线所成的角多维探究 角度1求异面直线所成的角或其三角函数值,解析法一如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角.,答案C,角度2由异面直线所成角求其他量 【例32】 在四面体ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角

14、为60，且BDAC1，则EF的长为_.,解析如图，取BC的中点O，连接OE，OF. 因为OEAC，OFBD，,规律方法用平移法求异面直线所成角的一般步骤： (1)作角用平移法找(或作)出符合题意的角； (2)求角转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出角的大小.,【训练3】 (2019杭州模拟)三棱锥ABCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为(),解析连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO， M是AD的中点， MOAN， BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角. 设三棱锥ABCD的所有棱长为2，,在BMO中，由余弦定理得,答案D

15、,思维升华 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线. (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.,3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想. 易错防范 1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交. 2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.,