【全国2卷-B版】高考数学文科一轮课件：15-极坐标与参数方程（含答案）.ppt

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1、第十五章极坐标与参数方程,高考文数 (课标专用),考点一参数方程 1.(2018课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为 (t为参数). (1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,解析(1)曲线C的直角坐标方程为+=1. 当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2c

2、os +sin )t-8=0. 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0. 又由得t1+t2=-,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=tan =-2. 注:因为在教材中,参数方程与普通方程对应,极坐标方程与直角坐标方程对应,所以本题中的“直角坐标方程”更改为“普通方程”更合适.,方法总结以角为参数的参数方程,一般利用三角函数的平方关系sin2+cos2=1化为普通方程;而弦的中点问题常用根与系数的关系或“点差法”进行整体运算求解.,2.(2018课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,O的

3、参数方程为(为参数),过点(0,-)且倾斜角为的直 线l与O交于A,B两点. (1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,解析本题考查参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系. (1)O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当=时,l与O交于两点. 当时,记tan =k,则l的方程为y=kx-. l与O交于两点当且仅当1, 即或. 综上,的取值范围是. (2)l的参数方程为 . 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin +1=0. 于是tA+tB=2sin ,tP=sin .,又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是

4、 .,思路分析(1)将O的参数方程化为 普通方程分直线斜率存在与不 存在两种情况讨论由点到直线的距离公式 得到关于斜率的不等式得出斜率的取值范围,进而得 到倾斜角的取值范围 (2)利用中点坐标公式建立A、B、P坐标的关系,即可求P的轨迹方程.,易错警示容易忽略直线斜率不存在的情形,求倾斜角时要注意斜率是否存在.,解后反思将参数方程化为普通方程的方法: (1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的结构特征选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数的关系式消参,如sin2+cos2=1等. (2)将参数方程化为普通方

5、程时,要注意两种方程的等价性,不要增解.,3.(2017课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t 为参数). (1)若a=-1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.,解析本题考查极坐标与参数方程的应用. (1)曲线C的普通方程为+y2=1. 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0. 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3,0),. (2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos ,sin )到l的距离为d=. 当a-4时,d的最大值为, 由题设得=,

6、所以a=8;,当a-4时,d的最大值为, 由题设得=,所以a=-16. 综上,a=8或a=-16.,方法总结极坐标与参数方程的应用. (1)极坐标方程与直角坐标方程的相互转化. (为参数). (2)参数方程转化为普通方程. 消去参数,若参数为“”,一般利用sin2+cos2=1消去,若参数为“t”,一般直接代入消参即可.,4.(2015课标,23,10分,0.332)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x轴正半轴为 极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:=2cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与

7、C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.,解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和. (2)曲线C1的极坐标方程为=(R,0), 其中0. 因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2cos ,). 所以|AB|=|2sin -2cos |=4. 当=时,|AB|取得最大值,最大值为4.,评析本题考查了极坐标和参数方程,考查了最值问题.利用极径的几何意义建立关系式是求解关键.,5.(2016课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系

8、xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以x轴的 正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=2. (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.,解析(1)C1的普通方程为+y2=1. C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分) (2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos ,sin ).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2 的距离d()的最小值,d()=.(8分) 当且仅当=2k+(kZ)时,d()取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分),思路分析求圆上一动

9、点到直线上点的距离的最小值时,利用圆的参数方程化为三角函数的最值问题,能极大提高解题效率.,评析本题考查了参数方程和极坐标方程.掌握“互化”的方法是求解的关键.,6.(2014课标,23,10分,0.387)选修44:坐标系与参数方程 已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.,解析(1)曲线C的参数方程为(为参数). 直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离为 d=|4cos +3sin -6|,

10、 则|PA|=|5sin(+)-6|,其中为锐角, 且tan =. 当sin(+)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为. 当sin(+)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.,7.(2017课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m 为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos +sin )-=0,M为l3与C的交 点,求M的极径.,解析(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-

11、2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2). 设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y0). (2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,). 联立 得cos -sin =2(cos +sin ). 故tan =-,从而cos2=,sin2=, 代入2(cos2-sin2)=4得2=5,所以交点M的极径为.,考点二极坐标方程 1.(2018课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为

12、2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.,解析(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=

13、-或k=0. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点; 当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点. 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=. 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点; 当k=时,l2与C2没有公共点. 综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.,方法技巧极坐标方程与直角坐标方程互化的技巧: (1)巧用极坐标方程两边同乘或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有cos ,sin ,2的形式,然后利用公式代入化简得到直角坐标方程. (2)巧借两角和、差公式转化成sin()或cos()的结构形式,进而利用互化公式得到直角

14、坐标方程. (3)将直角坐标方程中的x转化为cos ,将y转化为sin ,即可得到其极坐标方程.,2.(2017课标全国,22,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.,解析本题考查直线和圆的极坐标方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,三角形面积的最值. (1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题

15、设知|OP|=,|OM|=1=. 由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos (0). 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0). (2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos ,于是OAB的面积S=|OA|Bsin AOB =4cos =22+. 当=-时,S取得最大值2+. 所以OAB面积的最大值为2+.,3.(2014课标,23,10分,0.462)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos ,. (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处

16、的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的 坐标.,解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0y1). 可得C的参数方程为 (t为参数,0t). (2)设D(1+cos t,sin t). 由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=. 故D的直角坐标为,即.,4.(2016课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴 正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说

17、明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分) 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.(4分) (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 (6分) 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,(8分) 由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,从而1-a2=0, 解

18、得a=-1(舍去)或a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上. 所以a=1.(10分),易错警示对“互化”过程不熟悉,对参数和极坐标的几何意义理解不透彻是失分的主要原因.,评析本题考查了圆的极坐标方程和参数方程.熟练掌握极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化是求解的关键.,5.(2015课标,23,10分,0.720)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为=(R),设C2与C3的交

19、点为M,N,求C2MN的面积.,解析(1)因为x=cos ,y=sin ,所以C1的极坐标方程为cos =-2,C2的极坐标方程为2-2cos -4sin +4=0.(5分) (2)将=代入2-2cos -4sin +4=0,得2-3+4=0,解得1=2,2=.故1-2=,即|MN|= . 由于C2的半径为1,所以C2MN的面积为.(10分),评析本题考查了极坐标方程,通过极径求出线段的长是解题关键.,6.(2016课标全国,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标

20、方程; (2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.,解析(1)由x=cos ,y=sin 可得圆C的极坐标方程为2+12cos +11=0.(3分) (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为=(R). 设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+12cos +11=0. (6分) 于是1+2=-12cos ,12=11. |AB|=|1-2|=.(8分) 由|AB|=得cos2=,tan =.(9分) 所以l的斜率为或-.(10分),方法总结利用整体运算的技巧可以大大提高解题效率.,评析本题考查了直线和圆的极

21、坐标方程,考查了极坐标的几何意义的应用,利用方程的思想方法是求解的关键.,考点一参数方程 1.(2016江苏,21C,10分)选修44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为 (为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.,B组 自主命题省（区、市）卷题组,解析椭圆C的普通方程为x2+=1. 将直线l的参数方程代入x2+=1,得 +=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-. 所以AB=|t1-t2|=.,评析本题主要考查直线和椭圆的参数方程、参数方程与普通方程的互化以及直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算

22、求解能力.,2.(2014辽宁,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.,解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为C上点(x,y),依题意,得 由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1. 故C的参数方程为(t为参数). (2)由解得或 不妨令P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于

23、是所求直线方程 为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2cos -4sin =-3,即=.,评析本题考查了图象的伸缩变换、椭圆的参数方程及极坐标等知识,考查了运算求解能力.,考点二极坐标方程 1.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为=2sin ,则曲线C的直角坐标方程为.,答案x2+y2-2y=0,解析由=2sin ,得2=2sin ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.,2.(2014陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点到直线sin=1 的距离是.,答案1,解析将极坐标转

24、化为直角坐标为(,1).极坐标方程sin=1转化为直角坐标方 程为x-y+2=0,则点(,1)到直线x-y+2=0的距离d=1.故填1.,3.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2cos2=sin 与cos =1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为.,答案(1,2),解析将2cos2=sin 两边同乘以,得2(cos )2=sin ,化为直角坐标方程为2x2=y,C2:cos =1化为直角坐标方程为x=1,联立可解得所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).,4.(

25、2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为(cos +sin )=-2,曲线C2的参数方程为(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为 .,答案(2,-4),解析曲线C1:cos +sin =-2的直角坐标方程为x+y=-2, 曲线C2:的普通方程为y2=8x, 由解得则C1与C2交点的直角坐标为(2,-4).,评析本题考查直线的极坐标方程向直角坐标方程的转化,及抛物线的参数方程向普通方程的转化,考查学生的基本运算能力、转化能力,属中档难度题.,5.(2018江苏,21C,10分)选修44

26、:坐标系与参数方程在极坐标系中,直线l的方程为sin =2,曲线C的方程为=4cos ,求直线l被曲线C截得的弦长.,解析本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力. 因为曲线C的极坐标方程为=4cos , 所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆, 因为直线l的极坐标方程为sin=2, 所以直线l过点(4,0),倾斜角为, 设A(4,0),则A为直线l与圆C的一个交点. 设另一个交点为B,则OAB=. 连接OB,因为OA为直径,所以OBA=, 所以AB=4cos=2. 因此,直线l被曲线C截得的弦长为2.,一题多解把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程得到l:x-y-4=

27、0,C:x2+y2-4x=0,则C: (x-2)2+y2=4,半径R=2,圆心C(2,0)到l的距离d=1,因此,直线l被曲线C截得的弦长为2= 2.,6.(2015陕西,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴 建立极坐标系,C的极坐标方程为=2sin . (1)写出C的直角坐标方程; (2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.,解析(1)由=2sin ,得 2=2sin ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3. (2)设P,又C(0,), 则|PC|=, 故当t=0时

28、,|PC|取得最小值, 此时,P点的直角坐标为(3,0).,考点一参数方程 1.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:(t 为参数)平行,则常数a的值为.,C组 教师专用题组,答案4,解析由直线l1:(s为参数),消去参数s得l1的普通方程为x-2y-1=0,由直线l2:(t 为参数),消去参数t得l2的普通方程为ay-2x+a=0,因为l1与l2平行,所以斜率相等,即=, 所以a=4.,2.(2013课标,23,10分,0.374)选修44:坐标系与参数方程 已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为

29、PQ的 中点. (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.,解析(1)依题意有P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此M(cos +cos 2,sin +sin 2). M的轨迹的参数方程为(为参数,02). (2)M点到坐标原点的距离d=(02).当=时,d=0,故M的轨迹过坐标原 点.,3.(2010课标全国,23,10分)坐标系与参数方程 已知直线C1:(t为参数),圆C2:(为参数). (1)当=时,求C1与C2的交点坐标; (2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当变化时,求P点

30、轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.,解析(1)当=时,C1的普通方程为y=(x-1), C2的普通方程为x2+y2=1. 联立得 解得C1与C2的交点为(1,0),. (2)C1的普通方程为xsin -ycos -sin =0. A点坐标为(sin2,-cos sin ), 故当变化时,P点轨迹的参数方程为 (为参数). P点轨迹的普通方程为+y2=. 故P点轨迹是圆心为,半径为的圆.,评析本题考查直角坐标系下参数方程知识,参数方程与普通方程的互换,参数方程在求轨迹中的应用,考查推理论证能力,运算求解能力以及化归与转化思想.,考点二极坐标方程 1.(2013课标,23,10分,0.505)选

31、修44:坐标系与参数方程 已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立 极坐标系,曲线C2的极坐标方程为=2sin . (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(0,02).,解析(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将代入x2+y2-8x-10y+16=0得 2-8cos -10sin +16=0. 所以C1的极坐标方程为2-8cos -10sin +16=0. (2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0. 由 解得或 所以C1与C2交点的极坐标分别为,.

32、,2.(2013辽宁,23,10分)选修44:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为=4sin ,cos=2. (1)求C1与C2交点的极坐标; (2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(tR为 参数),求a,b的值.,解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4, 直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0. 解得 所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分) 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直

33、角坐标方程为x-y+2=0. 由参数方程可得y=x-+1, 所以解得a=-1,b=2.(10分),3.(2012课标全国,23,10分)已知曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为. (1)求点A,B,C,D的直角坐标; (2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.,解析(1)由已知可得A,B2cos+,2sin+,C2cos+,2 sin+,D2cos+,2sin+, 即A(1,),B(-,1),C

34、(-1,-),D(,-1). (2)设P(2cos ,3sin ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2+36sin2+16=32+20sin2. 因为0sin21,所以S的取值范围是32,52.,4.(2011课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数).M是C1 上的动点,P点满足=2,P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程; (2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线=与C1的异于极点的交点为A,与C2 的异于极点的交点为B,求|AB|.,解析(1)设P(x,y),则由条件知M.由于M点在C1上,所以 即

35、从而C2的参数方程为(为参数). (2)曲线C1的极坐标方程为=4sin ,曲线C2的极坐标方程为=8sin . 射线=与C1的交点A的极径为1=4sin,射线=与C2的交点B的极径为2=8sin. 所以|AB|=|2-1|=2.,考点一参数方程 1.(2017新疆乌鲁木齐三模)已知直线l的参数方程为,以坐标原 点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=2cos . (1)讨论直线l与圆C的公共点个数; (2)过极点作直线l的垂线,垂足为P,求点P的轨迹与圆C相交所得弦长.,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,解析(1)由题意知直线l过点A(0,1),倾斜角在

36、内,圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 当=时,直线l与圆C有1个公共点;当时,直线l与圆C有2个公共点. (2)依题意,知点P在以OA为直径的圆上,可得点P的轨迹的极坐标方程为=sin . 联立得=. 点P的轨迹与圆C相交所得弦长是.,2.(2017宁夏中卫二模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中为参数), 曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C1,C2的极坐标方程; (2)射线l:=(0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O),求|AB|的值.,解析(1)C1的普通方程为+y2=1, 则C1的极坐标

37、方程为2+2sin2-2=0,即2=,同理,得C2的极坐标方程为=2sin . (2)把=分别代入到C1和C2的极坐标方程中,得|OB|=2sin =,|OA|2=,即|OA|= , 则|AB|=|OB|-|OA|=-.,3.(2016重庆第一中学模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数).以O 为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C的极坐标方程; (2)直线l的极坐标方程是2sin=3,射线OM:=与圆C的交点为O、P,与直线l的交点 为Q,求线段PQ的长.,解析(1)将圆C的参数方程:(为参数) 消去参数化为普通方程为(x-1)2+y2=1,展开可得x2+y2

38、-2x=0, 利用互化公式可得圆C的极坐标方程为2-2cos =0,即=2cos . (2)把=代入圆C的极坐标方程可得=2cos =1, P. 把=代入直线l的极坐标方程可得2sin=3,解得=3,Q. |PQ|=3-1=2.,4.(2017东北三省四市教研联合体高考模拟(一)已知曲线C:(为参数),直线l1:kx- y+k=0,l2:cos -2sin =. (1)写出曲线C和直线l2的普通方程; (2)l1与C交于不同两点M,N,MN的中点为P,l1与l2的交点为Q,l1恒过点A,求|AP|AQ|.,解析(1)C:(x+3)2+(y-4)2=16,l2:x-2y-4=0. (2)l1的参

39、数方程为(t为参数),将其代入C的普通方程得t2+4t(cos -2sin )+4=0,t1+t 2=4(2sin -cos ),|AP|=2|2sin -cos |, 将代入x-2y-4=0中,整理得t=,AQ=, |AP|AQ|=2|2sin -cos |=10.,考点二极坐标方程 1.(2018内蒙古呼和浩特质量普查)选修44:坐标系与参数方程 在极坐标系中,圆C是以点C为圆心,2为半径的圆. (1)求圆C的极坐标方程; (2)求圆C被直线l:=(R)所截得的弦长.,解析(1)圆C是将圆=4cos 绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程 是=4cos. (2)将=-代入圆

40、C的极坐标方程=4cos,得=2, 所以,圆C被直线l:=,即直线=-所截得的弦长为2.,2.(2017甘肃天水一中三诊)已知直线l的参数方程是(t是参数),以坐标原点为极 点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为=4cos. (1)判断直线l与曲线C的位置关系; (2)过直线l上的点作曲线C的切线,求切线长的最小值.,解析(1)由直线l的参数方程消去参数t得l的普通方程为y=x+4. =4cos=2cos -2sin , 2=2cos -2sin , 曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0, 即(x-)2+(y+)2=4. 圆心(,-)到直线l的距离d=62, 直线

41、l与圆C相离. (2)由直线l上的点向圆C引切线,则切线长为 =4, 即切线长的最小值为4.,3.(2016陕西安康第三次联考)在极坐标系中,直线l的方程为(3cos -4sin )=2,曲线C的方程为=m(m0). (1)求直线l与极轴的交点到极点的距离; (2)若曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为,求实数m的取值范围.,解析(1)直线l的方程为(3cos -4sin )=2, 令=0,得(3cos 0-4sin 0)=2,即3=2,= 直线l与极轴的交点到极点的距离为. (2)直线l的直角坐标方程为3x-4y-2=0,曲线C的直角坐标方程为x2+y2=m2, 曲线C表示以原点为圆心,m

42、为半径的圆,且原点到直线l的距离为, 曲线C上恰好存在两个点到直线l的距离为. m. 实数m的取值范围是.,4.(2017内蒙古包头一模,22)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以 坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C的极坐标方程; (2)直线l的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=,l与C交于A,B两点,求|AB|的值.,解析(1)圆C的普通方程为x2+(y+6)2=25, 把x=cos ,y=sin 代入圆C的方程,得圆C的极坐标方程为2+12sin +11=0. (2)设A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得2+1

43、2sin 0+11=0, 于是1+2=-12sin 0,12=11, |AB|=|1-2|=, tan 0=,即=,结合sin20+cos20=1,解得sin20=,所以|AB|=6.,B组20162018年高考模拟综合题组 (时间:40分钟分值:80分) 解答题(共80分) 1.(2018吉林长春质量监测(三)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:=4cos ,C2:cos =3. (1)求C1与C2的交点的极坐标; (2)设点Q在C1上,=,求动点P的极坐标方程.,解析(1)联立得cos =,0,=,=2,交点坐标为. (2)设P(,),Q(0,

44、0),则0=4cos 0,0,由=,得=4cos , 点P的极坐标方程为=10cos ,.,2.(2018东北三省三校二模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲 线C2:x2+=1.以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极 坐标系. (1)求曲线C1,C2的极坐标方程; (2)射线=(0)与曲线C1的异于极点的交点为A,与曲线C2的交点为B,求|AB|.,解析(1)曲线C1的参数方程为(为参数), 化为普通方程为x2+(y-1)2=1, 由可得曲线C1的极坐标方程为=2sin , 曲线C2的极坐标方程为2(1+cos2)=2. (2)射线

45、=(0)与曲线C1的交点A的极径为1=2sin =, 射线=(0)与曲线C2的交点B的极径满足=2,解得2=, 所以|AB|=|1-2|=-.,3.(2018黑龙江齐齐哈尔一模)选修44:坐标系与参数方程已知直线l过原点且倾斜角为0,0,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sin2=4cos . (1)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程; (2)已知直线l过原点且与直线l相互垂直,若直线l,l与曲线C的异于极点的交点分别为M,N,求OMN面积的最小值.,解析(1)依题意,直线l的极坐标方程为=0 曲线C:sin2=4cos ,即2sin2=4cos

46、,转化为直角坐标方程为y2=4x. (2)把=0代入sin2=4cos ,得M=. 易知直线l的极坐标方程为=0+(R), 将其代入sin2=4cos ,得Ncos20=-4sin 0,所以N=-, 则SOMN=|OM|ON|=|M|N|=16(当且仅当0=或时,取“=”), 即OMN面积的最小值为16.,4.(2018海南第二次联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:x2+y2-6x=0,直线l1:x-y=0,直线l2: x-y=0,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)写出曲线C的参数方程以及直线l1,l2的极坐标方程; (2)若直线l1与曲线C分别交于O,A两点,直线

47、l2与曲线C分别交于O,B两点,求AOB的面积.,解析(1)曲线C:x2+y2-6x=0,即曲线C:(x-3)2+y2=9,故曲线C的参数方程是(为参 数), 因为直线l1:x-y=0,直线l2:x-y=0,所以l1,l2的极坐标方程为l1:=(R),l2:=(R). (2)易知曲线C的极坐标方程为=6cos , 把=代入=6cos ,得1=3,所以A, 把=代入=6cos ,得2=3,所以B, 所以SAOB=12sinAOB=33sin=.,5.(2017青海西宁二模)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程为 (为参 数),以直角坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线

48、l的极坐标方程为cos=2. (1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程; (2)设点P为曲线C上的动点,求点P到直线l距离的最大值及此时点P的直角坐标.,解析(1)由(为参数)可得cos =,sin =,则曲线C的普通方程为+=1. 方程cos=2化简为cos +sin =4, 直线l的直角坐标方程为x+y=4. (2)设点P的坐标为(2cos ,sin ), 则点P到直线l的距离d=,其中sin =,cos =. 显然当sin(+)=-1时,dmax=, 此时+=2k+,kZ, cos =cos=-sin =-, sin =sin=-cos =-, 即点P的坐标为.,6.(2017甘肃

49、兰州一中冲刺模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参 数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C的极坐标方程; (2)直线l的极坐标方程是2sin=5,射线OM:=与圆C的交点为O、P,与直线l的交点 为Q,求线段PQ的长.,解析(1)由圆C的参数方程(为参数)知,圆C的圆心为(0,2),半径为2,圆C的普 通方程为x2+(y-2)2=4. 将x=cos ,y=sin 代入x2+(y-2)2=4, 得圆C的极坐标方程为=4sin . (2)设P(1,1),则由解得1=2,1=. 设Q(2,2),则由解得2=5,2=. 所以|PQ|=|1-2|=3.,名师点睛参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如cos2+sin2=1等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程;利用关系式 等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化.,7.(2017重庆巴蜀中学三模)已知曲线C1:(为参数),C2:(t为参数). (1)曲线C1,C2的交点为A,B,求|AB|; (2)以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,过极点的直线l1与C1交于O,C两点,与直线s