人教版高中数学人教A版选修2-3第一章：132“杨辉三角”与二项式系数的性质（共23张PPT）.ppt

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1、1.3.2“杨辉三角”与二项式系数 的性质 人教A版选修2-3 第一章复习二项式定理(a+b)n= Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn展开式的第k+1项为Tk+1= Cnkan-kbk计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?每行两端都是1 Cn0= Cnn=1从第二

2、行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+九章算术九章算术杨辉杨辉详解九章算法详解九章算法中记载的表中记载的表 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看， 可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 , ,其定义域是：其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距

3、离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴：图象的对称轴：2nr 增减性与最大值增减性与最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定knC1Cknkkn1由由：2111nkkkn 二项式系数二项式系数前前半部分是半部分是逐渐增大逐渐增大的，由的，由对称性可知它的对称性可知它的后后半部分是半部分是逐渐减小逐渐减小的，且的，且中间项取得最大值中间项取得最大值。 21nk 可知，当可知，当 时，时，增减性与最大值增减性与最大

4、值 因此因此, ,当当n为偶数时为偶数时, ,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时, ,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 各二项式系数的和各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)( n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnn

5、nn这是组合总数公式这是组合总数公式 例1 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1, 1 bannnnnnnnCCCCC) 1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCC题型一 奇数项与偶数项的二项式系数的关系课堂练习课堂练习例例2题型二 求展开式的各项系数和题后反思 求展开式各项系数的和与差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数的和特征来进行.例例2题型二 求展开式的各项系数和

6、变式变式题型二 求展开式的各项系数和题后反思 求展开式各项系数的和与差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根据所求的展开式系数的和特征来进行.一般地，若一般地，若f(x)=a0a1xa2x2anxn，则则f(x)展开式展开式中各项系数之和中各项系数之和为为f(1)，奇数项系数之和为奇数项系数之和为a0a2a4=偶数项系数之和为偶数项系数之和为a1a3a5= f 1f 12-， f 1f1.2课堂练习课堂练习做一做做一做 (1) (1) 的展开式中二项式系数最大的项是第的展开式中二项式系数最大的项是第_项项(2)(2)已知已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5，若，若a2=80，则，则a0+a1+a2+a5=_.111()xx6和和71(3)(3)已知已知( (1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a10(1-x)10，则，则a a8 8=( )=( )A.180 B.90 A.180 B.90 C.-5 C.-5 D.5D.5(4) (4) 的展开式中各项系数之和为的展开式中各项系数之和为729729，则该展开式中，则该展开式中x x2 2项项的系数为的系数为_._.312nxxA160课后小结课后小结要交作业要交作业思考思考