三年高考20152017数学理试题分项版分析Word版含分析专题07导数应用求函数最值单调性等.doc

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1、【2017年】1.【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】试题分析：由题可得因为，所以，故令，解得或，所以在单调递增，在单调递减所以极小值为，故选A。【考点】函数的极值；函数的单调性2.【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】试题分析：原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D【考点】导函数的图象【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识

2、来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间3.【2017课标II，理】已知函数，且。(1)求；(2)证明：存在唯一的极大值点，且。【答案】(1)；(2)证明略。【解析】试题解析：（1）的定义域为。设，则，等价于。因为，因，而，得。若，则。当时，单调递减；当时，单调递增。所以是的极小值点，故综上，。（2）由（1）知，。设，则。当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增。又，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，当时，。因为，所以是的唯一极大值点。由得，故。由得。因为是在（0,1）的最大值点，由，得。所以。【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值4.【201

3、7课标3，理21】已知函数.（1）若，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，求m的最小值.【答案】(1)；(2) 【解析】试题分析：(1)由原函数与导函数的关系可得x=a是在的唯一最小值点，列方程解得；(2)利用题意结合(1)的结论对不等式进行放缩，求得，结合可知实数的最小值为试题解析：解：（1）的定义域为.若，因为，所以不满足题意；若，由知，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.由于，所以当且仅当a=1时，.故a=1.(2)由(1)知当时，.令得.从而.故.而，所以的最小值为.【考点】导数研究函数的单调性；导数研究函数的最值；利用导数证明不等式5.【

4、2017浙江，20】（本题满分15分）已知函数f(x)=（x）（）（）求f(x)的导函数；（）求f(x)在区间上的取值范围【答案】（）；（）0，【解析】试题分析：（）利用求导法则及求导公式，可求得的导数；（）令，解得或，进而判断函数的单调区间，结合区间端点值求解函数的取值范围试题解析：（）因为所以=（）由解得或因为x（）1（）（）-0+0-f（x）0又，所以f（x）在区间）上的取值范围是【考点】导数的应用6.【2017江苏，20】已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：;（3）若,这两个函数的所有极

5、值之和不小于，求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】解：（1）由，得.当时，有极小值.因为的极值点是的零点.所以，又，故.因为有极值，故有实根，从而，即.时，故在R上是增函数，没有极值；时，有两个相异的实根，.列表如下x+00+极大值极小值故的极值点是.从而，因此，定义域为.因为，所以，故，即.因此.（3）由（1）知，的极值点是，且，.从而记，所有极值之和为，因为的极值为，所以，.因为，于是在上单调递减.因为，于是，故.因此a的取值范围为.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【2016年】1.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）已知函数.设.（1）求方程的根;（2）

6、若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。【答案】（1）0 4（2）1【解析】试题解析：（1）因为，所以.方程，即，亦即，所以，于是，解得.由条件知.因为对于恒成立，且，所以对于恒成立.而，且，所以，故实数的最大值为4.（2）因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，则，从而对任意，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.若，同

7、理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点2.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设函数,，其中(I)求的单调区间；(II) 若存在极值点，且，其中，求证：；（）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（）详见解析（）详见解析（）详见解析【解析】试题分析：（）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：当时，有恒成立，所以的单调增区间为.当时，存在三个单调区间（）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究当时，当时，当时，.试题解析

8、：（）解：由，可得.当变化时，的变化情况如下表： 00单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（）证明：因为存在极值点，所以由（）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；（）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：（1）当时，由（）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以.所以在区间上的取值范围为，因此.（3）当时，由（）和（）知，所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1

9、.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域(定义域优先)；(2)求导函数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内求不等式f(x)0或f(x)0的解集(4)由f(x)0(f(x)0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间3.(本小题满分14分)设函数f(x)(x1)exkx2(kR).(1)当k1时,求函数f(x)的单调区间；(2)当k时,求函数f(x)在0,k上的最大值M.【答案】(1)详见解析 (2)详见解析【解析】(1)当k1时,f(x)(x1)exx2,f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2),令f(x)0,得x

10、10,x2ln2,当x变化时,f(x),f(x)的变化如下表：x(,0)0(0,ln2)ln2(ln2,)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知,函数f(x)的递减区间为(0,ln2),递增区间为(,0),(ln2,).(2)f(x)ex(x1)ex2kxxex2kxx(ex2k),令f(x)0,得x10,x2ln(2k),令g(k)ln(2k)k,k,则g(k)10,所以g(k)在上单调递增.所以g(k)ln21ln2lne0.从而ln(2k)k,所以ln(2k)(0,k).所以当x(0,ln(2k)时,f(x)0；当x(ln(2k),)时,f(x)0；所以Mmaxf(0),f(k)max

11、1,(k1)ekk3.令h(k)(k1)ekk31,则h(k)k(ek3k),令(k)ek3k,则(k)ek3e30.所以(k)在上单调递减,而(1)(e3)0,所以存在x0使得(x0)0,且当k时,(k)0,当k(x0,1)时,(k)0,所以(k)在上单调递增,在(x0,1)上单调递减.因为,h(1)0,所以h(k)0在上恒成立,当且仅当k1时取得“”.综上,函数f(x)在0,k上的最大值M(k1)ekk3.【考点定位】本题考查导数的应用,属于拔高题其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值4.【2016高考新课标3理数】设函数，其中，记的最大值为（）求；（）求；（）证明【答案】（）；（）；

12、（）见解析【解析】试题分析：（）直接可求；（）分两种情况，结合三角函数的有界性求出，但须注意当时还须进一步分为两种情况求解；（）首先由（）得到，然后分，三种情况证明试题解析：（）（）当时，因此，4分当时，将变形为令，则是在上的最大值，且当时，取得极小值，极小值为令，解得（舍去），又，所以综上，9分（）由（）得.当时，.当时，所以.当时，所以.考点：1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性5.【2016高考浙江理数】（本小题15分）已知，函数F（x）=min2|x1|，x22ax+4a2，其中minp，q=（I）求使得等式F（x）=x22ax+4a2成立的x的取值范围；（II）（i

13、）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在区间0,6上的最大值M（a）.【答案】（I）；（II）（i）；（ii）【解析】试题分析：（I）分别对和两种情况讨论，进而可得使得等式成立的的取值范围；（II）（i）先求函数，的最小值，再根据的定义可得的最小值；（ii）分别对和两种情况讨论的最大值，进而可得在区间上的最大值试题解析：（I）由于，故当时，当时，所以，使得等式成立的的取值范围为（II）（i）设函数，则，所以，由的定义知，即（ii）当时，当时，所以，考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式6.【2016年高考四川理数】（本小题满分14分）设函数f(x)=ax2-a-lnx

14、，其中a R.（）讨论f(x)的单调性；（）确定a的所有可能取值，使得在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的底数).【答案】（）当时，0，单调递增；（）.【解析】试题分析：（）对求导，对进行讨论，研究的正负，可判断函数的单调性；（）要证明不等式在上恒成立，基本方法是设，当时，的解不易确定，因此结合（）的结论，缩小的范围，设=，并设=，通过研究的单调性得时，从而，这样得出不合题意，又时，的极小值点，且，也不合题意，从而，此时考虑得，得此时单调递增，从而有，得出结论试题解析：（I）0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时，0，单调递增.所以在区间内单调递增.又由=0，有0，从而当时，

15、0.当，时，=.故当在区间内恒成立时，必有.当时，1.由（I）有,从而，所以此时在区间内不恒成立.当时，令，当时，因此，在区间单调递增.又因为，所以当时，即恒成立.综上，考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【2015年】1.【2015新课标1理12】设函数=,其中a1，若存在唯一的整数，使得0，则的取值范围是（ ）(A)-，1）(B)-，）(C)，）(D)，1）【答案】D【解析】设=，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方.因为，所以当时，0，当时，0，所以当时，=，当时，=-1，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得1，故选D.【考点定位】本题主要通过利用导数研究

16、函数的图像与性质解决不等式成立问题2.【2015课标2理12】设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】记函数，则，因为当时，故当时，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且当时，则；当时，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质3.【2015陕西理12】对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A是的零点 B1是的极值点C3是的极值 D.点在曲线上【答案】A【解析】若选项A错误时，选项B、C、D正确，因为是的极值点，是的

17、极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值【名师点晴】本题主要考查的是函数的零点和利用导数研究函数的极值，属于难题解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”和“错误”，否则很容易出现错误解推断结论的试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊值进行4.【2015天津理11】曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.【答案】【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积.【考点定位】

18、定积分几何意义与定积分运算.5.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数()证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围【答案】()详见解析；（）【解析】()若，则当时，；当时，若，则当时，；当时，所以，在单调递减，在单调递增（）由()知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值所以对于任意，的充要条件是：即，设函数，则当时，；当时，故在单调递减，在单调递增又，故当时，当时，即式成立当时，由的单调性，即；当时，即综上，的取值范围是【考点定位】导数的综合应用6.【2015高考山东，理21】设函数，其中. （）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （）若

19、成立，求的取值范围.【答案】（I）：当时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；（II）的取值范围是.【解析】函数的定义域为令，（1）当时，在上恒成立所以，函数在上单调递增无极值；（2）当时，当时，所以，函数在上单调递增无极值；当时，设方程的两根为因为所以，由可得：（3）当时，由可得：当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；因此函数有一个极值点综上：当时，函数在上有唯一极值点；当时，函数在上无极值点；当时，函数在上有两个极值点；（2）当时，由，得所以，函数在上单调递增，又，所以，时，符合题意；（3）当时，由，可得所以时，函数单调递减；又所以，当时，不符合题意

20、；（4）当时，设因为时，所以在上单调递增，因此当时，即： 可得：当时，此时，不合题意.综上所述，的取值范围是【考点定位】1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.7.【2015高考安徽，理21】设函数.（）讨论函数在内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（）记，求函数在上的最大值D；（）在（）中，取，求满足时的最大值.【答案】（）极小值为；（）；（）1.【解析】（），.，.因为，所以.当时，函数单调递增，无极值.当时，函数单调递减，无极值.当，在内存在唯一的，使得.时，函数单调递减；时，函数单调递增.因此，时，函数在处有极小值.（）时，当时，取，等号成立，当时，取，等号成立，由

21、此可知，函数在上的最大值为.（），即，此时，从而.取，则，并且.由此可知，满足条件的最大值为1.【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.8.【2015高考重庆，理20】 设函数 （1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程； （2）若在上为减函数，求的取值范围。【答案】（1），切线方程为；（2）.【解析】 (1)对求导得因为在处取得极值，所以，即.当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得(2)由(1)得，,令由，解得.当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；当时，,故为减函数；由在上为减函数，知，解得故a的取值范围为.【考点定位】复合函数的导数，函数

22、的极值，切线，单调性考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力9.【2015高考四川，理21】已知函数，其中.（1）设是的导函数，评论的单调性；（2）证明：存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【答案】（1）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）详见解析.【解析】（1）由已知，函数的定义域为，所以.当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.（2）由，解得.令.则，.故存在，使得.令，.故当时，有，从而；当时，有，从而；所以，当时，.综上所述，存在，使得在区间内恒成立，且在内有唯一解.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.