平面向量专题整理复习(15页).doc

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1、- 教学内容：知识点归纳 一. 向量的基本概念与基本运算1向量的概念：向量：既有大小又有方向的量向量一般用来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法 ，；坐标表示法 向量的大小即向量的模（长度），记作|即向量的大小，记作 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件（注意与0的区别）单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量1平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到

2、同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点

3、的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”3向量的减法 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，

4、它的长度与方向规定如下：（）；（）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的

5、始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则3

6、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则向量的减法三角形法则向量的乘法是一个向量,满足:0时,与同向;0时,与异向;=0时, =向量的数量积是一个数或时,=0且时,三平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ；6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实

7、数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O巩固练习例1 给出下列命题： 若|，则=； 若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/； 若

8、/，/，则/，其中正确的序号是 例2 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：， 例3设非零向量、不共线，=k+，=+k (kR)，若，试求k例4 已知向量，且，求实数的值例5已知点,试用向量方法求直线和（为坐标原点）交点的坐标例6已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角例7 已知，按下列条件求实数的值 （1）；（2）；例8已知，且与夹角为120求； ； 与的夹角。例9已知向量=，= 。求与； 当为何值时，向量与垂直？ 当为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向？例10已知=，= ，=，设是直线上一点，是坐标原点求使取最小值时的； 对（1）中的点，求的余弦值。例11在中，为

9、中线上的一个动点，若 求：的最小值。平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2。如（1）若，则_（答：）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. （答：B）；（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_（答：）；（4）已知中，点在边上，且，则的值是_（答：0）2平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）ABC中，则_（答：9）；

10、（2）已知，与的夹角为，则等于_（答：1）；（3）已知，则等于_（答：）；（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为_（答：）3在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。如已知，且，则向量在向量上的投影为_（答：）5向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的计算公式：；。如（1）已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：或且）；（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_（答：）；（3）已知与之间有关系式，用表示；求的最小

11、值，并求此时与的夹角的大小（答：；最小值为，）12、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，若，则其重心的坐标为。如若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_（答：）；为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（4）向量中三终点共线存在实数使得且.如平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,若点满足,其中且,则点的轨迹是_（答：直线AB）已知O，N，P在所在平面内，且，且，则

12、点O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 内心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 内心在四边形ABCD中，=（1，1），则四边形ABCD的面积是 设斜的外接圆圆心为，两条边上的高的交点为，则实数= 。 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心（四）向量与解析几何在解析几何中，熟练掌握下列结论，有助于更好地运用向量：（1）A、B、C三点共线等价于存在实数，使得（）；（2）的重心G的坐标公式为（3）直线的方向向量是什么？ 给定两点：，那么，这也就是方向向量，横坐标单位化，得：，也就

13、是说：直线的方向向量是，直线的法向量是例如：已知为坐标原点，点的坐标分别为,点运动时，满足，（1）求动点的轨迹的方程 （2）设、是轨迹上的两点，若，求直线的方程体验练习题一：一、选择题1已知平面向量a= ，b=， 则向量( )A平行于轴 B平行于第一、三象限的角平分线 C平行于轴 D平行于第二、四象限的角平分线 2一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( ) A 6 B 2 C D 3设P是ABC所在平面内的一点，则（）A B C D4设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 ( ) .

14、A B C D5已知，向量与垂直，则实数的值为（ ） （A） （B） （C） （D）6 8在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则（ ）ABCD7 3已知平面向量，且/，则（ ）A、 B、 C、 D、8 5已知平面向量，与垂直，则是( )A 1 B 1 C 2 D 29 4若向量满足，与的夹角为，则( ) A B C D210已知平面向量，则向量( ) 11在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是( )（A） （B） （C） （D） 12已知向量，若与垂直，则( )A B C D4二、填空题1若平面向量，满足，平行于轴，则 2已知向量和向量的夹角为，则向量和向量的数量积

15、= 3已知向量和的夹角为，则 4已知向量，且，则= 5设O、A、B、C为平面上四个点，且，则_6在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点若，则_（用表示）7. 设向量，（1）若与垂直，求值；（2）求的最大值；（3）若，求证：.8已知向量和，且求的值.体验练习题二：一、选择题：1若向量a =（1，2），b =（1，-3），则向量a与b的夹角等于（ ） A B C D 2在平面直角坐标系中作矩形,已知,则的值为（ ）A 0 B 7 C 25 D3向量,的夹角为120，2，则（）等于（ ）A B 2 C D 64已知向量，|1，对任意实数t，恒有|t|，则（ ）A B() C() D(

16、)()5已知，向量与垂直，则实数的值为（） （A） （B） （C） （D）6已知向量，如果，那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向7已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向二填空题：8已知向量若向量，则实数的值是 ； 9设O为坐标原点，向量 将绕着点 按逆时针方向旋转 得到向量 , 则的坐标为_10设集合平面向量，定义在上的映射，满足对任意x，均有(x) =x（R且）若a= b 且a、b不共线，则( a) (b)（a+b）=_；若，且，则_11若把函数的图象按向量平移，得到函数的图象，则向

17、量的坐标为 12设向量则的最大值为 _13已知向量，如果，那么( ) A且与同向 B且与反向 C且与同向 D且与反向14已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么（ ） A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向三、解答题：15四边形中， （1）若，试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。16 在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点.（1）求向量的坐标；（2）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线C为图象的函

18、数在上的解析式；（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.解析：因为=（1，1）,所以四边形ABCD为平行四边形,所以 则四边形ABCD的面积为解法一：=由已知,得又，。解法二：由已知，得。解（1）设点，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1关于点P2的对称点A2的坐标为，所以， （2）解法一的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，基线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当解法二设若当 （3）由于，本次课后作业：*资料*页*题 或者老师事先准备好的专项练习等学生对于本次课的评价： 特别满意 满意 一般 学生签字：教师评定：1、 学生上次作业评价： 好 较好 一般 差2、 学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差 教师签字：导师签字： 主任签字: 南京龙文教育总部-第 15 页-