土塑性力学(41页).doc

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1、-第一章第二章第三章第四章 土塑性力学-第 44 页第五章 绪论土塑性力学的研究对象及其特点一、 弹塑性材料：变形包括弹性变形、塑性变形两种。物体外力作用下会产生变形，能恢复的那部分变形为弹性变形，不能恢复的那部分变形为塑性变形。弹性变形阶段： 应力与应变一一对应，采用弹性理论进行研究弹塑性变形阶段：应力与应变不一一对应，采用塑性理论进行研究弹性变形 线弹性（各向同性、各向异性）非线弹性 几何（大变形：描述方法：拉格朗日法，殴拉法） 材料1. 金属材料的基本试验：（1）钢材拉伸试验：比例极限，弹性极限，屈服应力，强度极限钢材圆柱形试件在常温下的典型应力-应变曲线。弹性变形阶段与弹塑性阶段有较明

2、确的界限。卸荷载弹性变形，塑性变形，加工硬化 加载应力 卸荷后重新加载没有出现强化现象，被称为理想塑性或塑性流动阶段。卸荷曲线与加荷曲线构成一个滞后回线，其平均斜率与初始阶段的弹性模量相近，可理想化为一条直线。卸荷阶段一般金属不变，卸荷模量与初始模量相同。单向压缩压缩一般也有类似情况，压缩时候的弹性极限与拉伸时候的弹性极限相近。包辛格效应（包氏效应）拉伸塑性变形后，使得压缩屈服应力有所降低，反之成立。有些材料没有包氏效应即：（2）静水压力试验：试验表明：在压力不大的情况下，体积应变实际上与静水压力成线性关系。对于一般金属材料，可以认为体积变化基本上是弹性的，除去静水压力后变形可以完全恢复，没有

3、残余的体积变形。因此，在传统塑性理论中常常假定不产生塑性体积变形，而且在塑性变形过程中，体积变形与塑性变形相比，往往是可以忽略的，因此在塑性变形较小时，忽略体积变化，认为材料是不可压缩的假设是有实验基础的。 在压力不大的情况下，静水压力对材料的屈服极限的影响完全可以忽略。因此在传统塑性力学中，完全不考虑体积变形对塑性变形的影响。但也有一些金属例外，如铸造金属等。2. 岩石类介质的压缩试验结果OA段曲线缓慢增大，反映岩石试件内裂缝逐渐压密，体积缩小。进入AB段斜率为常数或接近常数，可视为弹性阶段，此时体积仍有所压缩，B点称为屈服强度。BC段随着载荷继续增大，变形和载荷呈非线性关系，这种非弹性变形

4、是由于岩石内微裂缝的发生与发展，以及结晶颗粒界面的滑动等塑性变形两者共同产生。对于脆性非均质的岩石，前者往往是主要的，这是破坏的先行阶段。B点开始，岩石就出现剪胀现象（即在剪应力作用下出现体积膨胀）的趋势，通常体应变速率在峰值C点达到最大，并在C点附近总体积变形已从收缩转化为膨胀。CD段曲线下降，岩石开始解体，岩石强度从峰值强度下降至残余强度，这种情况叫做应变软化或加工软化，这是岩土类材料区别于金属材料的一个特点。在软化阶段内，岩土类材料成为不稳定材料，传统塑性力学中的一些结论不适用这种材料。另外，从上述试验还可以看出还具有剪胀性。OA段压密，AB段弹性阶段，BC段非线性，CD段加工软化阶段（

5、剪胀、）当反复加载时，实际上应力应变曲线形成一定的滞环，但通常仍可近似按直线代替。OA段可以忽略，卸载是弹性的。弹塑性耦合与弹塑性不耦合（与金属材料不同）：卸载模量与初始阶段模量相等与否。围压对应力应变曲线和岩体塑性性质有明显影响：围压低：软化性质明显；围压高：塑性性质增加。真三轴试验；普通三轴试验；刚性三轴试验机：获得全应力-应变曲线。岩石类介质在一般材料试验机上不能获得全应力应变曲线，它仅能获得破坏前期的应力应变曲线，因为岩石在猛烈的破坏之后便失去了承载力。这是由于一般材料试验机的刚度小于岩石试块刚度的缘故。因此，在试验中，试验机的变形量大于试件的变形量，试验机贮存的弹性变形能大于试件贮存

6、的弹性变形能。这样当试件破坏时，试验机储存的大量弹性能也立即释放，并对试件产生冲击作用，使试件产生剧烈破坏，实际上，多数岩石从开始破坏到完全失去承载能力，是一个渐变过程。采用刚性试验机和伺服控制系统，控制加载速度以适应试件变形速度，就可以得到岩石全过程应力应变曲线。在开始阶段就出现非线性；与围压有关；与排水条件有关；应变软化二、 塑性力学与弹性力学属于连续介质力学的不同分支。塑性力学研究物体处于弹塑性变形阶段时的应力和变形。它与弹性力学有着密切的关系。弹性力学中大部分的基本概念和处理问题的方法都可以在塑性力学中得到应用。相同点：平衡方程、几何方程不同点：本构方程 （弹性力学：广义虎克定律；塑性

7、力学：各种弹塑性本构方程）本构关系自然界的一个作用与其产生结果反应的关系本构方程本构关系的数学表达式。本构方程应力应变关系的数学表达式；塑性力学基本方程和弹性力学基本方程的差别在于应力-应变关系。在弹性状态下，应变惟一地取决于应力状态；在塑性状态下，应变不仅与应力现状有关，还与加载历史、加卸载的状态、加载路径以及物质微观结构的变形等有关。因此，现在常用本构关系这个名词代替应力-应变关系，它更能反映物质本性的变化。由于加、卸载时规律不同，因此在塑性状态下，我们通常只能建立应力与应变之间的增量关系。但如果加载路径已知，则可通过对增量的应力-应变关系的积分，得到应力应变之间的全量关系。三、 弹塑性变

8、形阶段，应力应变关系的特点：1. 非线性2. 不可逆：不存在单值对应关系。3. 与应力历史有关：物体产生的应变不仅与当前的应力状态有关，而且与应力路径（或者说加荷历史）有关。四、 金属塑性力学与土塑性力学金属塑性力学是以金属材料试验为基础的，主要研究对象是金属材料。土塑性力学的试验基础是土工试验，主要研究对象是工程用土。（1）组成结构金属 人工（工厂） 晶体结构，比较均匀土 天然 三相体、多矿物组合体（2）变形特性：金属 无塑性体积变形，弹性体积变形很小，对塑性变形无影响。土 不仅有塑性剪切变形而且有塑性体积变形，还有剪胀性和压密性。应变软化，抗拉压不等性，初始各向异性，应力各向异性，弹塑性耦

9、合。金属材料的屈服准则是建立在剪切屈服的基础上，而土体的屈服准则不仅要考虑剪切屈服还要考虑静水压力对土体屈服的影响。在广义塑性力学中三个塑性面确定三个分量的方向，三个屈服面确定三个分量的大小。可以考虑塑性变形增量方向与应力增量的相关性及主应力轴旋转产生的塑性变形。传统塑性力学基于金属材料的变形机制发展起来。它的理论是传统的塑性位势理论，亦即只采用一个塑性势函数或一个塑性势面，并服从德鲁克塑性公设，采用关联流动法则（屈服面与塑性势面相同），塑性应变增量正交于屈服面。由此得出塑性应变增量方向与应力具有惟一性的假设。（势函数确定塑性应变增量总量的方向，屈服函数确定塑性应变增量总量的大小）广义塑性力学

10、是在研究岩土类材料的变形机制和在传统塑性力学的基础上发展起来的，它消除了传统塑性力学中的一些假设。既适用于岩土类材料，也适用于金属材料，传统塑性力学是它的特例。广义塑性力学的基础是广义塑性位势理论，它要求采用三个塑性势函数或三个塑性势面。它不服从德鲁克塑性公设，需采用非关联流动法则。与传统塑性力学不同，它可以反映塑性变形增量方向与应力增量的相关性及主应力轴旋转产生的塑性变形。可见广义塑性力学是传统塑性力学的重大发展，也是多重屈服面理论和非正交流动法则与应力主轴旋转理论的进一步完善。另外岩土塑性力学，需要考虑材料塑性剪切变形而且有塑性体积变形，还有剪胀性和压密性。应变软化，抗拉压不等性，初始各向

11、异性，应力各向异性，弹塑性耦合。五、 用塑性力学研究土工问题求解一个具体的工程问题，首先要提出反映这一问题的基本方程的具体表达式，以及边界条件和初始条件。这是一个从实际的工程问题，简化成物理模型，进而抽象成数学模型的过程。通过这一过程，工程问题的求解转化成数学问题的求解。1. 在土工试验基础上，建立本构模型：没有任何一个模型能够考虑所有的影响因素，也不可能有一个模型能够适用于所有的土类以及各种土工问题。一般情况下，岩土本构模型的建立，需要通过实验手段，确定各类岩土的屈服条件，以及选用合理的试验参数，再引用塑性力学的基本理论，从而建立起岩土本构模型。模型还要通过试验与现场测试的严整，这样才算形成

12、一个比较完善的本构模型。从实用的角度来说，一个合理的本构模型除了要符合力学和热力学的基本原则和反映岩土实际状态外，还必须进行适当的简化，使参数的选择和计算方法的处理上尽量的简便。比较实用的办法：结合具体的土工问题，建立的本构模型要反映主要影响因素，模型参数要尽可能少，物理意义明确、试验确定简单，却又最说明问题；当前采用的岩土本构模型，一般是根据岩土材料的特性，对传统塑性位势理论加以改造与扩充，是之适应岩土材料的变形机制。还有一些岩土本构模型基于塑性内时理论，它是一种没有屈服面概念，而引入反映材料累计塑性应变的材料内部时间的新兴塑性理论，但这类模型没有得到广泛的应用。2. 参数的选择重视参数选择

13、合理性的研究和分析，以及经验积累：任何一个本构模型的可靠性都是以合适参数的选用为基础的。如果参数不符合具体土工问题的实际情况，理论上再完善的模型也不能提供正确的解答。根据各国学者几十年在这方面的经验，现在已经认识到参数的测定和选用相对来说是影响计算结果非常关键的因素。3. 选择合理的计算方法： 数值计算方法： 有限元，有限差分六、 基本假定：由于塑性变形十分复杂，因此无论传统塑性力学还是岩土塑性力学都要作一些基本假设，只不过岩土塑性力学所作的假设条件要比传统塑性力学少些。这是因为影响岩土材料变形的因素比较多，不产生塑性体积变形。然而岩土材料中必须考虑这种变形。塑性力学最基本的假设如下：1. 连

14、续性假设：假设土体是连续介质，土塑性力学还是属于一般的连续介质力学范畴，而且假设材料有无限塑性变形能力而不考虑它的破坏和破裂。与弹性力学一样，一般情况下还要求假设材料：2. 均质、各向同性、小变形。岩土材料的显著特点是肉眼可见的尺度范围内，就呈现不均一性和不连续性。因此严格来说，应采用能反映颗粒成分影响的细观力学模型。然而在多数情况下只要在宏观上考虑岩土材料的某些变形特性，仍可把这些材料近似看作为连续介质。那就是说，这里是在更大的尺度范围内来考虑各种力学量的统计平均值。在某些情况下，岩土介质宜视作非连续介质，如在破裂和有裂隙的岩体中采用非连续介质力学方法更为适合。3. 忽略温度时间的影响。就一

15、般岩土而言，温度变化通常是不大的。多数情况下在时间不太长的情况下，可以忽略蠕变和松弛的效应，在应变率不太大的情况下，可以忽略应变率对塑性变形规律的影响。作了这个假设以后，在描述一个塑性变形过程中，时间度量的绝对值对问题的分析没有影响，只要任意取一个单调变化的量作为时间参数，以代表载荷或变形先后次序就可以。对于另一些岩土工程问题，需要考虑时间影响，即粘弹塑性问题，一般归流变学中研究。下标号法与求和约定：对于含有3个独立量的集用一个标号表示，如xi表示（x1, x2, x3）;对于9个量的集用两个下标符号表示如xij 这样3n个量的集可用n个下标集来表示。在给出声明后，i,j也可取值1，2，n。求

16、和约定当在同一项中，有一个下标出现两次时，则对此下标从1到3求和，并限定在同一项中不能出现三次或三次以上。在三维笛卡尔直角坐标系中，考虑一线素，其长度的平方为：若我们定义Kronecker-符号，则上式可写成为：在定义由Einstein提出的置换记号eijk也称为排列记号，因i,j,k三数经偶数次置换成为（1，2，3）时，其值取为1，如果经奇数次置换成为（1，2，3）时，其值取为-1。Kronecker-符号和置换记号有如下的恒等式：由此得到：和。举例：1. 三阶行列式：2. 三维笛卡尔直角坐标系中的基向量为，有如下等式：和3. 两个向量和的点积可利用上式得到：4. 同理，两个向量和的叉积：，

17、所以叉积的结果仍然是一个向量，其方向两向量构成的平面相正交，而且取右手系确定。5. 三向量的混合积是一个标量，其定义为：这一求和规则也适用于含有导数的项对于同一项内不重复出现的下标则称自由下标，用自由下标表示一般项，它可取1，2，3中任一值，在同一方程式中各项的自由标号应该相同，并表示该方程式对所有自由标号的值都成立。如表示：第六章 连续体力学的基本概念在详细论述土的本构模型理论之前要介绍一下连续介质力学的基本概念。虽然土和岩石是自然历史得产物，是由固体颗粒、水和气体组成得多相体，在微观上不连续、不均匀和各向异性的。但是对许多岩土工程问题，我们感兴趣的几何尺寸是非常大的，在这个大尺度上，微观上

18、的不连续、不均匀的影响能够因平均化而消失。土或岩石的力学性质及其在数学上的特征能够在概念和解决问题的基本方法，许多是从连续介质力学中借用过来或引申过来的。土介质的本质特性虽然比金属材料要复杂得多，但其变形和运动都服从连续介质力学得基本定律质量守恒、动量平衡、能量守恒。所以对土力学连续介质力学的一个分支的研究，总是在连续介质力学基本理论的指导下进行的，因此我们有必要2.1 应力分析一、 一点的应力状态、应力张量：岩土介质中一点的应力可以这样考虑：考虑介质中某点M处附近的一个小微元，它的法向单位矢量为，作用在它上面的合力为，当时，的极限称作与法向的微元面相关的M点应力矢量：由于是矢量，可用三个坐标

19、轴来表达：，在上面的讨论中，过M点的平面是任选的。显然，过M点可以做无穷多个这样的平面，不同平面上的应力是不同的，这样就产生一个到底如何描绘一点处的应力状态的问题。为研究一点的应力状态，沿坐标轴x,y,z方向取一个微小平行六面体，应力均匀分布，当时，六面体上的应力就代表该点处的应力状态。由剪应力互等定理，为对称，9个分量中有6个分量是独立，斜微分面上的应力矢量与坐标有关在任意点O附近取一微小四面体单元OABC，斜面ABC的外法线为n，令斜面ABC的面积为1，则三角形OBC，OAC，OAB的面积分别为ABC面上应力矢量沿坐标轴的方向分量PX, Py,Pz, 由微小四面体单元的平衡条件得出：写成张

20、量形式： 微分面上的法向应力 微分面上的剪应力 如果作用下微分面上只有正应力，而没有剪应力，则作用在该微分面上的总应力就是主应力，微分面的法线方向：若上式nj不全为零，则 将上述行列式展开，得： 应力状态特征方程式中：三个实根1，2，3就是主应力并约定，当时，主应力方向相互垂直，该三个垂直的方向就称为主方向。按主方向排列的右手坐标系称为应力主轴。I1，I2，I3与所选取的坐标无关，称为应力张量的三个不变量。（五）坐标变换时的应力设新直角坐标系为（x, y, z），它与旧直角坐标系（x, y, z）之间转换关系为， 新旧坐标系各轴对旧坐标各轴的方向余弦应满足，在新直角坐标系中应力中应力张量称为二

21、阶张量。矢量称为一阶张量，坐标变换时：二、八面体应力，应力张量的分解：所以有：一点的应力状态可以用主应力来表示，也可以用另外三个量来表示，即八面体正应力，八面体剪应力以及八面体剪应力的方位角。在一般情况下，应力张量可以分解成两个分量：式中：为平均正应力球形应力张量，相当于各向等压的状态；Sij应力偏张量，相当于纯剪切状态，二阶对称张量，主方向与应力主方向一致。其表达式为：，其主值应满足三次代数方程式为：，式中：在Xi坐标系中一点的应力状态为，如果在某个坐标中能求得：则该点的应力状态称为.纯剪应力状态。纯剪应力相差不大。二、 应力圆和应力Lode参数：应力圆：在主应力空间由上式可得： 应力状态已

22、定，则任一，应满足：（1） 对某一应力状态，迭加一个附加的各向均匀的应力状态时，三个应力圆的直径并不改变，只是整个图形沿水平轴移动。（2） Lode参数用来描述应力偏张量的形式，与应力摩尔圆的三个直径之间的比例对应。对于单向压缩：对于单向拉伸：对于纯剪切： Lode参数与八面体剪应力的方位角之间的关系：三、 应力空间、应力路径在土塑性力学中，常用的应力空间有三维主应力空间，p,q应力平面，以及应力平面等。等倾线在主应力空间中，通过原点O，与三条坐标轴成相同夹角的直线L称为等倾线，或称为主对角线。其直线方程为： 平面在主应力空间中，通过主应力空间原点O，与等倾线垂直的平面称为平面，其平面方程为：

23、 平面在主应力空间中，与平面平行的其它平面称为平面，其方程为：子午面在主应力空间中，包括等倾线的平面称为子午面。（二）、应力路径举例：各向等压力固结试验三轴试验2.2 应变分析一、一点的应变状态：土体的变形用应变来描述，其中一点的应变状态可用应变张量来描述：在小变形下 分别表示为原来与x,y,z轴平行的矢量的单位长度的伸长或压缩，称为线应变或正应变，而分别表示变形前与坐标轴xy, yz, zx致的两正交线段在变形后的夹角减小量，对应于xy, yz, zx平面内的相对剪切，称为工程剪应变或角应变，而称为纯剪应变。前者多用于实践工作，数值分析，后者多用于理论推导。 z y 在小变形条件下：应变张量

24、各分量与位移分量的关系为过一点任意方向上的线应变可表示为： 式中，nx,ny,nz为单位方向矢量n在x、y和z轴方向的分量。该点处任意两个相互垂直的方向（设其方向矢量在坐标轴方向的分量分别为和）之间的剪应变为：主应变方向：体积应变、八面体剪应变二、应变的张量分解及应变Lode参数三、应变空间、应变路径主应变空间以三条应变主轴作为坐标轴构成的三维空间。物体中一点的应变状态可以用应变空间中的一点或矢量来描述，分别称为应变点或应变矢量。也可以通过应变矢量在平面和法线方向的投影来描述。前者与应变偏张量相对应，后者与应变球张量相对应。四、应变率张量在小应变下一点的应变率张量可表示为：五、应变增量张量和自

25、然应变应变增量张量可表示为上式可以用来描述比较大的变形。这些比较大的变形可以用无限小的变形增量的总和而获得。例如考虑沿着与轴相重合的柱体的轴作单向拉伸时，则有 则的总和即是所谓自然应变，表达式为，式中：l=柱体的瞬时长度；dll的无限小增量；l0原始长度如果变形时应变主轴不旋转，则积分具有简单的物理意义，它等于相应的自然应变。在一般情况下，积分是计算不出来的，并且没有确定的物理意义。2.3 多相连续体力学基本方程 平衡方程 固体力学 几何方程力学本构方程 平衡方程 多相连续体 几何方程力学（土） 力学本构方程 有效应力原理：反映各相间应力约束关系 变形连续方程：反映各相间变形约束关系（）（渗流

26、本构方程）第七章 土的弹性模型4.1 引言 变形 线弹性模型经典土力学 稳定性 刚塑性模型土的变形特性非常复杂，目前还没有一种土的本构模型能考虑土的所有变形特征。土的本构模型分类：实用模型；理论模型精细的理论模型的弱点：参数确定困难；计算方法复杂实用的方法：结合具体工程问题建立实用模型。 4.2 理想弹性模型 4.3 横观各向同性弹性体模型Cauchy弹性模型超弹性模型或次弹性模型4.5 EB非线性弹性模型E切线弹性模量；B切线体积模量；切线泊桑比：切线弹性模量：非线性弹性模型的分类：拟合曲线： 折线，双曲线， 指数曲线弹性常数： EV KG非线性弹性模型是指根据广义虎克定律，建立刚度矩阵D，

27、不过此时包含矩阵D中的弹性常数E，V是随着应力状态变化而改变的变量。当土体处于某一应力状态时，施加微小的应力增量时则可用该应力状态下的弹性常数形成刚度矩阵来计算。（一） 切线弹性模量康纳等人对于粘土和砂土的应力应变关系，可用双曲线表示： 式中，轴向应变；主应力差；a,b试验常数；由1式得： 由2式得：，所以：所以： 是曲线的初始切线模量的倒数，即。根据Janbu(1963)的建议，式中：Pa-单位压力值（或大气压力值）；k,n1.0之间，对于正常固结土为1，K对于不同土类变化较大。定义破坏比因此有：，式中破坏比卸荷和重复加荷时弹性模量值Eur表达式为：;(二)切线体积模量B：，对于常规三轴试验

28、，在压缩过程中有：，于是有 ；B与围压的关系：讨论：（1） 邓肯模型中是通过常规三轴试验确定增量虎克定律中的弹性常数。由增量虎克定律，如果只沿某一方向（z方向）给土体施加应力增量而保持其它方向的应力不变，则有，,土体常规三轴试验是在围压不变的情况下施加轴向应力，因此可根据常规三轴试验确定增量增量虎克定律中的弹性常数。（2） 邓肯模型反映了土体变形的主要规律，如：非线形，把总变形中的塑性变形部分当作弹性变形来处理，通过弹性常数的调整来近似考虑；用于增量计算，能近似反映应力路径的影响。它通过回弹模量和加荷模量的差别部分体现加荷历史对变形的影响。（3） 它没有反映固结压力增加与降低的差别，也没有反映

29、加荷、卸荷对V的影响。模型本身没有考虑中主应力对E、V和强度指标的影响。由于使用广义虎克定律，不能反映剪胀性，只能考虑硬化，不能考虑软化，也不能反映各向异性。4.6 一组同时考虑各向异性和非线性的弹性参数实用方程式依据：（1）上海金山粘土K0固结三轴试验；（2）对软粘土地基各向异性的探讨。1. K0固结三轴试验应力应变曲线K0固结三轴试验土样在无侧向变形条件下固结，然后进行三轴试验；2. 应力水平和强度发挥度3. 正常固结粘土排水切线模量方程式和切线泊松比方程：由前面试验结果：式中结合可得：对于归一方程，与邓肯双曲线方程比较有：由邓肯模型有切线泊松比4. 一组同时考虑各向异性和非线性的弹性参数

30、实用方程式：由土体结构和地基中初始各向不等压应力两种原因造成的各向异性，分别称为土体固有各向异性和土体应力各向异性。对于横观各向同性体，5个弹性系数（）就可以完全描述其应力-应变关系。思路：通过两个假定用两个参数来近似考虑五个参数：模量比值不变，泊松比相等。4.7 考虑球张量和偏张量交叉影响的非线弹性模型沈珠江建议按初应变法考虑土体的剪胀性：剪切引起的体积应变，其表达式为：如果定义为土体的剪胀系数，则 其中 一、由常规压缩试验和常规三轴试验确定d1，d2，p：在常规压缩试验和常规三轴试验中有： （4）在常规压缩试验中： ，如果定义切线单轴压缩模量： ， 在常规三轴试验中：，如果按下式定义切线模

31、量和切线泊松比： （7）， （8）由式（8）得：所以：代入（7）式：由：，第五章 弹塑性模型理论弹塑性模型理论 全量型 不能反映应力路径，适用于等比例加载或简单加载 增量型 前者用广义虎克定律确定，后者用塑性增量理论计算，塑性增量理论包括a. 屈服面理论 弹性状态与塑性状态的分界面；b. 流动规则理论：确定的方向；c. 加工硬化规律：确定的大小。5.2 屈服面的概念对于简单拉伸材料： 时 弹性阶段 时 弹性阶段对于复杂应力状态，有六个独立的分量，不能任取其中的一个应力分量数值作为判断材料是否进入塑性状态的标准。根据不同的应力路径所进行的试验，可以在各自的应力路径上定出物体的屈服应力点，在应力空

32、间中将这些屈服应力点连接起来，就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面，通常为一空间曲面，简称为屈服面。当应力点位于此曲面上，材料发生屈服，产生塑性变形，描述这个屈服面的数学表达式称为屈服函数或屈服条件、屈服准则等。由于在弹性区内,应力与应变有唯一的关系,所以屈服条件既可以用应力的函数来表示，也可以用应变的函数来表示。用应力的函数表示屈服条件的一般表达式：对于各向同性材料，屈服条件与坐标轴方向的选取无关，因此可以写成应力不变量或的函数。例如，可表示为：或写成只是主应力的函数：因此，它可以用主应力空间中的一个曲面来表示。在应力平面，平面或子午面上常用屈服曲线来表示。由于各向同性的假设，在平面上，若是

33、屈服曲线上的一点，则也必然是屈服曲线上一点，因此屈服曲线对图5-2中O1轴对称。同理，屈服曲线对图5-2中O2轴以及O3轴对称。于是，平面上的屈服曲线有三条对称线，我们只需用试验确定平面上范围内的屈服曲线，然后利用对称性，就可以确定平面上的整个屈服曲线。屈服曲线必然是封闭的，而且和从原点出发的射线只能交于一点，否则将导致同一应力状态既对应于弹性状态，又对应于塑性状态。可以采用应变的函数来表示材料的屈服条件，其一般表达式可记为：其次讨论加工硬化材料。加工硬化材料在荷载作用下性状如何呢？当应力点位于屈服面所包围的范围内，材料只产生弹性应变；当应力点位于屈服面上，材料可能产生塑性变形。继续加荷使材料

34、同时引起了新的弹性变形和塑性变形。随着塑性变形的发展屈服面不断变化，每一个应力状态对应有相应的屈服面，材料发生加工硬化。换句话说，加工硬化材料的屈服面不是一个固定的面，而是随着塑性变形发展不断扩大着的，是连续变化的一系列屈服曲面。从弹性变形状态进入弹塑性变形状态最初出现的屈服面称为初始屈服面，其数学表达式称为初始屈服条件。随着塑性变形发生，屈服应力提高形成的新屈服面称为后继屈服面，或称加载曲面。后继屈服面是随苏醒变形不断变化的。描述后继屈服面形状及其变化的数学表达式称为后继屈服面条件，或称加载条件。其一般表达式为： （5.2.8）式中硬化参数，与塑性变形有关，一般可以表示为塑性变形的函数。在应

35、变空间，后继屈服条件一般可表示为： （5.2.8）如果把材料进入无限塑性状态时称作破坏。加工硬化材料首先 初始屈服面，经过加工硬化阶段，最后达到破坏。破坏面是极限状态的后继屈服面。对理想弹塑性材料，随着加载，应力点到达屈服面，材料发生屈服，它没有加工硬化阶段，屈服面的形状、大小是不变的。随着塑性变形的发展，材料发生破坏。对理想弹塑性材料屈服条件荷破坏条件是相同的。在实际工程中通常把发生一定数量的变形作为破坏条件。最后讨论加工软化材料。加工软化材料在荷载作用下形状如何呢？当应力点位于屈服面所包围的范围内，材料只产生弹性应变；当应力点位于屈服面上，材料进入弹塑性变形阶段。加工软化材料弹塑性变形阶段

36、可分为硬化和软化阶段。继续加荷使材料产生硬化。在硬化阶段，其性状与加工硬化材料相同，随着塑性变形发展后继屈服面是不断扩大的。应力到达峰值后，继续加载材料开始进入软化阶段。材料发生软化后，应力骤减，塑性变形继续发展。在应力空间，软化阶段的后继屈服面是随着塑性变形的发展不断收缩的。待收缩到最终屈服面时，材料进入无限流动状态，认为材料发生破坏。此时的屈服面又称为破坏面，也称为残余破坏面。在应变空间，无论是加工硬化材料，还是加工软化材料，还是理想弹塑性材料，其屈服面的变化有时是比较方便的。近年来有人开展了应变空间各种屈服条件表达式的研究。一、 Tresca屈服条件和广义Tresca屈服条件： 不能考虑

37、静水压力的影响 可以考虑静水压力的影响广义Tresca屈服条件在平面上的屈服曲线为正六角形，在应力空间的屈服面为一正六角棱锥体面，中心轴线与等倾线重合。二、 Von Mise 屈服条件和广义Von Mise 屈服条件：或 在平面上Von Mise 屈服条件是一个圆，在应力空间，是一个正圆柱面，其中心轴与等倾线重合。常数C也可以由简单拉伸屈服试验或纯剪切屈服试验确定。在平面上如果我们用简单拉伸试验确定常数，Tresca正六角形将内接于Von Mise圆，并有对Von Mise 屈服条件对Tresca屈服条件如果采用纯剪试验确定常数，在平面上，在01, 02和03轴形成的角平分线上Tresca屈服

38、条件和Von Mise 屈服条件重合，于是Tresca正六角形将外切于Von Mise圆。对Von Mise 屈服条件对Tresca屈服条件Von Mise 屈服条件也可以解释为：当材料八面体上的剪应力达到某一极限值时，材料开始屈服。在材料力学中，用Von Mise 屈服条件作为强度理论使用时，通常称为第四强度理论。Von Mise 屈服条件不能反映球应力张量对材料屈服的影响，由此Von Mise 屈服条件推广为广义Von Mise 屈服条件。在应力空间中为一圆锥形屈服面，中心线与等倾线重合。三、 Mohr-Coulomb 屈服条件：通常，土体任何一个受力面上的极限抗剪强度可用Coulomb定

39、律表示：在图中还可用一曲线表示值随值的增加而变化，这是更一般的情况，称为准则。在静水压力不很大的情况，可用=常数的直线代替，因而上式又称为Mohr-Coulomb 屈服条件。Mohr-Coulomb 屈服条件在平面上的屈服曲线为不等角的等边六边形，在应力空间的屈服面为一棱锥面，中心轴线与等倾线重合。四、 双剪应力屈服条件材料的屈服取决于两个较大的主剪应力，即最大剪应力和中间主剪应力或。其表达式为： 当时 当时五、 三剪应力屈服条件材料的屈服取决于三个剪应力的屈服条件称为三剪应力屈服条件。例如：Matsuoka-Nakai(1974)屈服条件属于三剪应力屈服条件，它是建立在空间滑动面理论基础上的

40、。土体屈服是由空间滑动面上剪应力与正应力的比值决定的。其屈服条件的表达式为：六、 Lade屈服条件依据砂土进行的大量真三轴试验资料，提出下述土的屈服和破坏条件表达式： K硬化参数，是应力水平的函数。破坏时K=Kf，Kf为材料常数。屈服面与破坏面形式相似，破坏面是极限屈服面。在平面上的屈服曲线为曲边三角形，在应力空间是锥面，中心轴线为等倾线，如图5-11。屈服面随着应力水平的提高，不断扩大，直至破坏面。七、 修正剑桥模型屈服条件依据临界状态土力学理论提出的，其屈服面方程为：在平面为椭圆形，在主应力空间为为一锥面加一椭球面帽子。椭球面帽子屈服面随着加工硬化而不断向外扩大。5.4 主应力空间屈服面一

41、般表达式一、 屈服面形状的特点：多数屈服条件的屈服面在主应力空间子午面上为直线，或二次曲线或蛋形曲线，或直线和曲线的组合。在平面上为圆，或多边形，或由多段曲线组成。二、主应力空间一般表达式 式中 表示平面上屈服曲线随Lode角变化的规律，f和h函数表示子午面上屈服面形状。如下形式：式中、和n材料常数，可由试验测定。这些材料常数决定了子午面上屈服面的形状。平面上屈服面形状由函数确定。的确定，通常可分为三类：一类从理论假设出发；一类通过试验成果的拟合得到；还有一类是为了数值计算方便对上述两类修正得到。属于第一类的有Tresca屈服条件，Von Mise 屈服条件，Mohr-Coulomb 屈服条件

42、，双剪应力屈服条件、三剪应力屈服条件等。属于第二类的有Lade准则。属于第三类大多数为对Mohr-Coulomb 屈服条件的修正。Mohr-Coulomb 屈服面存在尖顶和棱角，使数值计算变繁和收敛缓慢，为此通过修正消除平面上的屈服曲线的奇异点。5.5 关于屈服条件的几点讨论意义：屈服条件是弹塑性模型的必要组成部分。了解它有助于进一步学习弹塑性本构理论。（1）建立屈服条件的思路：a. 通过假设建立屈服条件，然后通过试验验证；b. 通过拟合试验成果曲线建立屈服条件；（2）材料性状是客观的、复杂的，屈服条件是主观的。只能用建立的屈服条件去描述、结实材料的真实性状。屈服条件的多样性完全是由于材料的屈

43、服性状复杂性造成的。（3）几个屈服条件之间的关系：（4） 稳定材料在平面的屈服曲线都处在双剪应力屈服条件和摩尔-库仑屈服条件之间。（5） 材料抗压和抗拉强度变化时的双剪应力屈服条件和摩尔-库仑屈服条件。具有相同的极限图形。5.6 加载和卸载准则1. 理想弹塑性材料的加载和卸载准则（见书上）5.7 Drucker(杜拉克)塑性公设和伊留申塑性公设结论意义：屈服面必定外凸（前者为加工硬化材料，后这所有材料）一、Drucker(杜拉克)塑性公设Drucker塑性公设可陈述为：对于处于某一状态下的材料单元，借助一个外部作用，在其原有的应力状态上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在附加应力的施加和卸除的循

44、环内，附加应力所做的功是非负的。设在时，原来的应力状态为，它可位在屈服面上，也在屈服面内。现假设在屈服面内，时，应力点正好到达屈服面上，此时应力为，此后即为加载过程，直到。在期间应力增加到，并产生塑性应变，然后卸去附加应力，在时应力又回到。在这样的一个闭合的应力循环内，应力在弹性应变上所作的功为零，而塑性变形只在内增加了一个小量。根据Drucker塑性公设，闭合的应力循环内，外部作用所做的功为：（5.7.1）如果处在屈服面之内，在上式中略去高阶项得到： （5.7.2）如果处在屈服面上，有： （5.7.3）（1）下面说明以上两个不等式的几何意义。为此，我们将应力空间合应变空间的坐标重合。 式（5

45、.7.2）表示： （5.7.4）式中向量 分别表示和，向量 分别表示和。这表示向量的夹角成锐角或直角。过A点作垂直于向量AB的平面，则式（5.7.4）要求A0点必须在平面的一侧，这只有屈服面为外凸才有可能。如果屈服曲面是凹的，则A0点可能跑到平面的另一侧去，这与式（5.7.2）矛盾。因此，屈服曲面必须是外凸的。这里外凸包括屈服面是平的情况。（2）其次讨论代表的向量AB的方向问题。设在屈服面A点的外法线向量为，如果响亮AB不与向量重合，则可以找到这样的，使式（5.7.4）不成立。只有向量AB和重合后，才能保证向量AB与向量A0A的夹角不会超过直角。这样，的方向就可以用数学形式表示成： （5.7.5）式中：d一非负的比例系数。（3）下面讨论式（5.7.3）的几何意义。它可以写成两向量的点积大于等于零， （5.7.6）它表示当不为零时，必须指向屈服面的外法线一侧，这就是加载准则，这时： （5.7.7）如果不指向屈服面的外法